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1.【传统文化】日晷是我国古代广泛使用的计时仪器，晷面靠近外圈的环形区域被分为十二个全等的图形，分别标注“十二地支”.如图1所示，晷面内圈的半径OA为24 cm，若晷针投影的长度不变，投影的端点始终落在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“午”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）描过的图形面积（图中阴影部分）是（
A.$16π\ \mathrm{cm}^2$
B.$144π\ \mathrm{cm}^2$
C.$384π\ \mathrm{cm}^2$
D.$400π\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$16π\ \mathrm{cm}^2$
B.$144π\ \mathrm{cm}^2$
C.$384π\ \mathrm{cm}^2$
D.$400π\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.B
解析
【分析】
本题要求阴影部分的面积，观察可知阴影是圆心角对应时辰跨度、半径为24cm的扇形，解题思路如下：首先，12个全等的地支图形将整个圆周平均分成12份，先算出每份对应的圆心角度数；其次，确定从“午”到“申”跨越的份数，求出扇形的圆心角；最后代入扇形面积公式计算，匹配选项即可。
【解析】
∵晷面被平均分为12个全等的图形，
∴每个图形对应的圆心角为 $360° ÷ 12 = 30°$。
从“午”到“申”共跨越3个等份，因此阴影扇形的圆心角 $n = 3 × 30° = 90°$，扇形半径 $r = OA = 24\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式 $S_{\mathrm{扇形}} = \frac{nπ r^2}{360}$，代入数据得：
$S = \frac{90 × π × 24^2}{360} = \frac{90 × 576π}{360} = 144π\ \mathrm{cm}^2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 圆心角计算
【点评】
本题结合古代计时仪器日晷的背景考查几何计算，将传统文化和数学知识结合，解题的核心是准确找到扇形的圆心角，牢记扇形面积公式就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题要求阴影部分的面积，观察可知阴影是圆心角对应时辰跨度、半径为24cm的扇形，解题思路如下：首先，12个全等的地支图形将整个圆周平均分成12份，先算出每份对应的圆心角度数；其次，确定从“午”到“申”跨越的份数，求出扇形的圆心角；最后代入扇形面积公式计算，匹配选项即可。
【解析】
∵晷面被平均分为12个全等的图形，
∴每个图形对应的圆心角为 $360° ÷ 12 = 30°$。
从“午”到“申”共跨越3个等份，因此阴影扇形的圆心角 $n = 3 × 30° = 90°$，扇形半径 $r = OA = 24\ \mathrm{cm}$。
根据扇形面积公式 $S_{\mathrm{扇形}} = \frac{nπ r^2}{360}$，代入数据得：
$S = \frac{90 × π × 24^2}{360} = \frac{90 × 576π}{360} = 144π\ \mathrm{cm}^2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 圆心角计算
【点评】
本题结合古代计时仪器日晷的背景考查几何计算，将传统文化和数学知识结合，解题的核心是准确找到扇形的圆心角，牢记扇形面积公式就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
2.【传统文化】有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先过圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心且垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分。请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
。答案
2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
解析
【分析】
首先梳理操作得到的几何条件：两条互相垂直且过圆心的直径，会在圆心处形成4个大小均为90°的相等圆心角。四等分圆周的本质是将圆周分成4段长度相等的弧，此时结合圆的相关定理可知，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，由此即可解释该方法的合理性。
【解析】
已知两条直径都过圆心且互相垂直，因此以圆心为顶点的四个圆心角都等于90°，即四个圆心角大小相等。根据圆的相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得这四个圆心角分别对应的四段弧长度相等，因此两条直径的四个端点恰好将圆周四等分。
【答案】
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【知识点】
圆心角与弧的关系，圆的基本性质
【点评】
本题结合古代工艺的传统文化背景，考查圆的基础定理的实际应用，要求学生能将实际操作转化为几何条件，锻炼知识迁移和逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.8
首先梳理操作得到的几何条件：两条互相垂直且过圆心的直径，会在圆心处形成4个大小均为90°的相等圆心角。四等分圆周的本质是将圆周分成4段长度相等的弧，此时结合圆的相关定理可知，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，由此即可解释该方法的合理性。
【解析】
已知两条直径都过圆心且互相垂直，因此以圆心为顶点的四个圆心角都等于90°，即四个圆心角大小相等。根据圆的相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可得这四个圆心角分别对应的四段弧长度相等，因此两条直径的四个端点恰好将圆周四等分。
【答案】
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【知识点】
圆心角与弧的关系，圆的基本性质
【点评】
本题结合古代工艺的传统文化背景，考查圆的基础定理的实际应用，要求学生能将实际操作转化为几何条件，锻炼知识迁移和逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.8
1.已知:如图3,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD.
求证:A,B,C,D四点共圆.
求证:A,B,C,D四点共圆.
答案
1.证明:延长BA,交CD的延长线于点E，
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠ABC.
∵在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB.
∵∠EAD+∠DAB=180°，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
故四边形ABCD对角互补.
∴A,B,C,D四点共圆.
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠ABC.
∵在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB.
∵∠EAD+∠DAB=180°，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
故四边形ABCD对角互补.
∴A,B,C,D四点共圆.
解析
【分析】
要证明四点共圆，常用判定方法之一是：若四边形的一组对角互补，则该四边形的四个顶点共圆。因此本题只需证明等腰梯形ABCD的对角互补即可。我们可以结合等腰梯形同一底上内角相等的性质，以及平行线的同位角相等、邻补角和为180°的性质，通过等量代换推导得到对角互补，进而完成证明。
【解析】
证明：延长BA，交CD的延长线于点E。
因为AD平行于BC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EAD=∠ABC。
又因为等腰梯形ABCD中，AB=CD，根据等腰梯形的性质，同一底上的两个角相等，所以∠ABC=∠DCB，通过等量代换得∠EAD=∠DCB。
由于∠EAD和∠DAB是邻补角，所以∠EAD+∠DAB=180°，再次等量代换可得∠DCB+∠DAB=180°，即四边形ABCD的一组对角互补。
根据对角互补的四边形内接于圆的判定定理，可推出A、B、C、D四点共圆。
【答案】
证明:延长BA,交CD的延长线于点E，
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠ABC.
∵在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB.
∵∠EAD+∠DAB=180°，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
故四边形ABCD对角互补.
∴A,B,C,D四点共圆.
【知识点】
等腰梯形的性质、四点共圆的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将特殊四边形的性质与圆的判定相结合，解题的关键是熟练掌握四点共圆的判定条件以及等腰梯形的角的性质，通过简单的角度等量代换即可完成推导，有助于夯实几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明四点共圆，常用判定方法之一是：若四边形的一组对角互补，则该四边形的四个顶点共圆。因此本题只需证明等腰梯形ABCD的对角互补即可。我们可以结合等腰梯形同一底上内角相等的性质，以及平行线的同位角相等、邻补角和为180°的性质，通过等量代换推导得到对角互补，进而完成证明。
【解析】
证明：延长BA，交CD的延长线于点E。
因为AD平行于BC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EAD=∠ABC。
又因为等腰梯形ABCD中，AB=CD，根据等腰梯形的性质，同一底上的两个角相等，所以∠ABC=∠DCB，通过等量代换得∠EAD=∠DCB。
由于∠EAD和∠DAB是邻补角，所以∠EAD+∠DAB=180°，再次等量代换可得∠DCB+∠DAB=180°，即四边形ABCD的一组对角互补。
根据对角互补的四边形内接于圆的判定定理，可推出A、B、C、D四点共圆。
【答案】
证明:延长BA,交CD的延长线于点E，
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠ABC.
∵在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB.
∵∠EAD+∠DAB=180°，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
故四边形ABCD对角互补.
∴A,B,C,D四点共圆.
【知识点】
等腰梯形的性质、四点共圆的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将特殊四边形的性质与圆的判定相结合，解题的关键是熟练掌握四点共圆的判定条件以及等腰梯形的角的性质，通过简单的角度等量代换即可完成推导，有助于夯实几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图4,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE交于点H.
求证:(1)C,D,H,E四点共圆；
(2)A,B,D,E四点共圆.
求证:(1)C,D,H,E四点共圆；
(2)A,B,D,E四点共圆.
答案
2. 证明:(1)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠HDC=∠HEC=90°.
∴∠HDC+∠HEC=180°，
∴C,D,H,E四点共圆.
(2)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°.
又
∵D,E在弦AB同侧，
A,B,D,E四点共圆.
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠HDC=∠HEC=90°.
∴∠HDC+∠HEC=180°，
∴C,D,H,E四点共圆.
(2)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°.
又
∵D,E在弦AB同侧，
A,B,D,E四点共圆.
解析
【分析】
要证明四点共圆，可结合四点共圆的判定条件推导：
(1) 要证C、D、H、E四点共圆，观察四边形CDHE的内角，已知AD⊥BC、BE⊥AC，可推出∠HDC和∠HEC均为直角，两角和为180°，满足“对角互补的四边形的四个顶点共圆”的判定规则，即可得证；
(2) 要证A、B、D、E四点共圆，已知AD⊥BC、BE⊥AC可得∠ADB和∠AEB均为直角，两个角都是对线段AB的张角，且D、E在AB的同侧，满足“同侧对同一条线段的张角相等的四点共圆”的判定规则，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠HDC=∠HEC=90°，
∴∠HDC+∠HEC=180°，
∴C、D、H、E四点共圆。
(2) 证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
又
∵D、E在弦AB同侧，
∴A、B、D、E四点共圆。
【答案】
(1)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠HDC=∠HEC=90°，
∴∠HDC+∠HEC=180°，
∴C,D,H,E四点共圆；
(2)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
又
∵D,E在弦AB同侧，
∴A,B,D,E四点共圆。
【知识点】
四点共圆的判定、垂直的定义
【点评】
本题是四点共圆判定的基础应用题，解题的关键是结合已知的垂直条件找到对应角的数量关系或位置关系，熟练掌握四点共圆的常用判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明四点共圆，可结合四点共圆的判定条件推导：
(1) 要证C、D、H、E四点共圆，观察四边形CDHE的内角，已知AD⊥BC、BE⊥AC，可推出∠HDC和∠HEC均为直角，两角和为180°，满足“对角互补的四边形的四个顶点共圆”的判定规则，即可得证；
(2) 要证A、B、D、E四点共圆，已知AD⊥BC、BE⊥AC可得∠ADB和∠AEB均为直角，两个角都是对线段AB的张角，且D、E在AB的同侧，满足“同侧对同一条线段的张角相等的四点共圆”的判定规则，即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠HDC=∠HEC=90°，
∴∠HDC+∠HEC=180°，
∴C、D、H、E四点共圆。
(2) 证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
又
∵D、E在弦AB同侧，
∴A、B、D、E四点共圆。
【答案】
(1)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠HDC=∠HEC=90°，
∴∠HDC+∠HEC=180°，
∴C,D,H,E四点共圆；
(2)
∵AD⊥BC,BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
又
∵D,E在弦AB同侧，
∴A,B,D,E四点共圆。
【知识点】
四点共圆的判定、垂直的定义
【点评】
本题是四点共圆判定的基础应用题，解题的关键是结合已知的垂直条件找到对应角的数量关系或位置关系，熟练掌握四点共圆的常用判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
