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1.计算$\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}$的结果是（
A.$\frac{x+2}{x}$
B.$\frac{2}{x}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
D
）.A.$\frac{x+2}{x}$
B.$\frac{2}{x}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查同分母分式的加法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为x，属于同分母分式相加，根据同分母分式加法的运算法则，分母保持不变，只将分子相加，最后对得到的分式进行约分，即可得到最终结果，计算时注意分子合并同类项不要出错。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加。
$\begin{aligned}\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}&=\frac{(x-1)+1}{x}\\&=\frac{x-1+1}{x}\\&=\frac{x}{x}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察同分母分式的加减运算规则，易错点是部分同学会误将分母也进行相加，只要牢记同分母分式加减的运算规则，细心计算分子的合并、正确约分就可以顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的加法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为x，属于同分母分式相加，根据同分母分式加法的运算法则，分母保持不变，只将分子相加，最后对得到的分式进行约分，即可得到最终结果，计算时注意分子合并同类项不要出错。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加。
$\begin{aligned}\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}&=\frac{(x-1)+1}{x}\\&=\frac{x-1+1}{x}\\&=\frac{x}{x}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察同分母分式的加减运算规则，易错点是部分同学会误将分母也进行相加，只要牢记同分母分式加减的运算规则，细心计算分子的合并、正确约分就可以顺利得分。
【难度系数】
0.9
2.计算$\frac{2x+3}{x+1}-\frac{2x}{x+1}$的结果是(
A.1
B.3
C.$\frac{3}{x+1}$
D.$\frac{x+3}{x+1}$
C
).A.1
B.3
C.$\frac{3}{x+1}$
D.$\frac{x+3}{x+1}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题属于同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先回忆同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。观察题目中两个分式的分母均为$x+1$，属于同分母分式，可直接套用法则计算分子部分，再合并分子的同类项化简，最后判断是否能约分，就能得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2x+3)-2x}{x+1}\\&=\frac{2x+3-2x}{x+1}\\&=\frac{3}{x+1}\end{aligned}$
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式减法、合并同类项
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算法则，运算时注意分子相减时若遇多项式可先添括号避免符号错误，得到结果后注意检查是否需要约分即可。
【难度系数】
0.85
本题属于同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先回忆同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。观察题目中两个分式的分母均为$x+1$，属于同分母分式，可直接套用法则计算分子部分，再合并分子的同类项化简，最后判断是否能约分，就能得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2x+3)-2x}{x+1}\\&=\frac{2x+3-2x}{x+1}\\&=\frac{3}{x+1}\end{aligned}$
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式减法、合并同类项
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算法则，运算时注意分子相减时若遇多项式可先添括号避免符号错误，得到结果后注意检查是否需要约分即可。
【难度系数】
0.85
3.计算$\frac{1}{a-1}-\frac{a}{a-1}$的结果是(
A.$\frac{a+1}{a-1}$
B.$-\frac{a}{a-1}$
C.$-1$
D.$2$
C
).A.$\frac{a+1}{a-1}$
B.$-\frac{a}{a-1}$
C.$-1$
D.$2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母均为$a-1$，属于同分母分式的减法，根据同分母分式加减法法则，先保持分母不变，将两个分子相减得到新的分子，再对得到的分式进行约分化简，即可求出结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{1}{a-1}-\frac{a}{a-1}=\frac{1-a}{a-1}$
对分子提取负号变形：
$\frac{1-a}{a-1}=\frac{-(a-1)}{a-1}$
由分式有意义的条件可知$a-1≠0$，因此可以约分化简，得：
$\frac{-(a-1)}{a-1}=-1$
【答案】
C
【知识点】
同分母分式减法，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要注意运算规则的正确使用，分子相减时要注意符号的处理，约分时需确认分母不为0的隐含条件，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母均为$a-1$，属于同分母分式的减法，根据同分母分式加减法法则，先保持分母不变，将两个分子相减得到新的分子，再对得到的分式进行约分化简，即可求出结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{1}{a-1}-\frac{a}{a-1}=\frac{1-a}{a-1}$
对分子提取负号变形：
$\frac{1-a}{a-1}=\frac{-(a-1)}{a-1}$
由分式有意义的条件可知$a-1≠0$，因此可以约分化简，得：
$\frac{-(a-1)}{a-1}=-1$
【答案】
C
【知识点】
同分母分式减法，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时要注意运算规则的正确使用，分子相减时要注意符号的处理，约分时需确认分母不为0的隐含条件，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
4.化简$\frac{m^2}{m-1}-\frac{2m-1}{m-1}$的结果是（
A.$m+1$
B.$m-1$
C.$m-2$
D.$-m-2$
B
）.A.$m+1$
B.$m-1$
C.$m-2$
D.$-m-2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，根据同分母分式减法的运算法则，分母不变，将两个分子相减，注意减后面的分子是多项式，要加括号避免符号错误；第二步，对合并后的分子去括号、整理，再利用完全平方公式因式分解；第三步，将分子分母的公因式约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m^2 - (2m - 1)}{m - 1}\\&=\frac{m^2 - 2m + 1}{m - 1}\\&=\frac{(m - 1)^2}{m - 1} \quad (m≠1)\\&=m - 1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法，完全平方公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算规则，解题时需注意去括号的符号变化，因式分解要准确，约分需满足分母不为0的隐含要求，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，根据同分母分式减法的运算法则，分母不变，将两个分子相减，注意减后面的分子是多项式，要加括号避免符号错误；第二步，对合并后的分子去括号、整理，再利用完全平方公式因式分解；第三步，将分子分母的公因式约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m^2 - (2m - 1)}{m - 1}\\&=\frac{m^2 - 2m + 1}{m - 1}\\&=\frac{(m - 1)^2}{m - 1} \quad (m≠1)\\&=m - 1\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法，完全平方公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算规则，解题时需注意去括号的符号变化，因式分解要准确，约分需满足分母不为0的隐含要求，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5.化简$\frac{4}{a+2} + a - 2$的结果是（
A.1
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$
B
）.A.1
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$
答案
5.B
解析
【分析】
本题是分式与整式的加法运算，解题时先将整式转化为分式形式，再通过通分把异分母运算转化为同分母分式的加法运算，最后化简分子得到结果。首先明确异分母分式加减法的核心是通分，本题中公分母为$a+2$，将整式$a-2$通分后分子利用平方差公式展开，再合并分子的同类项即可完成化简。
【解析】
解：先将整式$a-2$看作分母为1的分式，通分后与$\frac{4}{a+2}$相加：
$\begin{aligned}\frac{4}{a+2} + a - 2&=\frac{4}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}\\&=\frac{4 + (a^2 - 4)}{a+2}\\&=\frac{4 + a^2 - 4}{a+2}\\&=\frac{a^2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的加减法、平方差公式、通分
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是掌握异分母分式的通分规则，易错点是通分时忘记给整式部分乘公分母，或展开平方差公式时出现符号、计算错误，熟练掌握整式变形和分式运算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是分式与整式的加法运算，解题时先将整式转化为分式形式，再通过通分把异分母运算转化为同分母分式的加法运算，最后化简分子得到结果。首先明确异分母分式加减法的核心是通分，本题中公分母为$a+2$，将整式$a-2$通分后分子利用平方差公式展开，再合并分子的同类项即可完成化简。
【解析】
解：先将整式$a-2$看作分母为1的分式，通分后与$\frac{4}{a+2}$相加：
$\begin{aligned}\frac{4}{a+2} + a - 2&=\frac{4}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}\\&=\frac{4 + (a^2 - 4)}{a+2}\\&=\frac{4 + a^2 - 4}{a+2}\\&=\frac{a^2}{a+2}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的加减法、平方差公式、通分
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是掌握异分母分式的通分规则，易错点是通分时忘记给整式部分乘公分母，或展开平方差公式时出现符号、计算错误，熟练掌握整式变形和分式运算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
6.计算.
(1) $\dfrac{2a}{a+1} + \dfrac{2}{a+1}.$
(2) $\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2}.$
(1) $\dfrac{2a}{a+1} + \dfrac{2}{a+1}.$
(2) $\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2}.$
答案
6.(1)2 (2)$\dfrac{1}{m-1}$
解析
【分析】
这两道题考查分式的加减法运算，解题思路如下：1. 先判断分式的分母是否相同，若分母互为相反数，先通过符号变形转化为同分母分式；2. 同分母分式相加减，遵循分母不变、分子相加减的规则运算；3. 对运算结果的分子、分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，按同分母分式加法法则计算：
$\dfrac{2a}{a+1} + \dfrac{2}{a+1} = \dfrac{2a + 2}{a+1}$
对分子提取公因式得：$\dfrac{2(a+1)}{a+1}$
约去公因式$a+1$（隐含条件$a≠-1$），得到结果$2$。
(2) 先对第二个分式的分母变形，$1-m^2=-(m^2-1)$，统一分母后计算：
$\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2} = \dfrac{m}{m^2 - 1} + \dfrac{1}{m^2 - 1}$
按同分母分式加法法则得：$\dfrac{m + 1}{m^2 - 1}$
分母用平方差公式因式分解：$m^2-1=(m+1)(m-1)$，即原式变为$\dfrac{m+1}{(m+1)(m-1)}$
约去公因式$m+1$（隐含条件$m≠\pm1$），得到结果$\dfrac{1}{m-1}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{m-1}}$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握同分母分式的运算规则，注意当分母互为相反数时，先调整符号转化为同分母分式再计算，最终结果要化为最简形式，运算时注意符号变化即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这两道题考查分式的加减法运算，解题思路如下：1. 先判断分式的分母是否相同，若分母互为相反数，先通过符号变形转化为同分母分式；2. 同分母分式相加减，遵循分母不变、分子相加减的规则运算；3. 对运算结果的分子、分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，按同分母分式加法法则计算：
$\dfrac{2a}{a+1} + \dfrac{2}{a+1} = \dfrac{2a + 2}{a+1}$
对分子提取公因式得：$\dfrac{2(a+1)}{a+1}$
约去公因式$a+1$（隐含条件$a≠-1$），得到结果$2$。
(2) 先对第二个分式的分母变形，$1-m^2=-(m^2-1)$，统一分母后计算：
$\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2} = \dfrac{m}{m^2 - 1} + \dfrac{1}{m^2 - 1}$
按同分母分式加法法则得：$\dfrac{m + 1}{m^2 - 1}$
分母用平方差公式因式分解：$m^2-1=(m+1)(m-1)$，即原式变为$\dfrac{m+1}{(m+1)(m-1)}$
约去公因式$m+1$（隐含条件$m≠\pm1$），得到结果$\dfrac{1}{m-1}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{m-1}}$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握同分母分式的运算规则，注意当分母互为相反数时，先调整符号转化为同分母分式再计算，最终结果要化为最简形式，运算时注意符号变化即可避免出错。
【难度系数】
0.8
7.计算.
(1) $\dfrac{2a}{a^2 - 9} - \dfrac{1}{a - 3}.$
(2) $\dfrac{5}{m + 2n} - \dfrac{m + 2n}{(m + 2n)^2}.$
(3) $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} - \dfrac{2x + 1}{2x + 6}.$
(4) $\dfrac{a^2}{a - 1} - a + 1.$
(1) $\dfrac{2a}{a^2 - 9} - \dfrac{1}{a - 3}.$
(2) $\dfrac{5}{m + 2n} - \dfrac{m + 2n}{(m + 2n)^2}.$
(3) $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} - \dfrac{2x + 1}{2x + 6}.$
(4) $\dfrac{a^2}{a - 1} - a + 1.$
答案
7.(1)$\dfrac{1}{a+3}$. (2)$\dfrac{4}{m+2n}$. (3)$-\dfrac{7}{2x+6}$. (4)$\dfrac{2a-1}{a-1}$.
解析
【分析】
这是分式减法运算类题目，通用解题思路为：①先对各分式的分母因式分解，确定所有分母的最简公分母；②利用分式的基本性质将异分母分式通分，转化为同分母分式，若有整式参与运算，可将整式看作分母为1的分式再通分；③按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时符号要正确变化；④分子合并同类项后，将结果约分为最简分式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母得$a^2-9=(a+3)(a-3)$，最简公分母为$(a+3)(a-3)$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2a}{(a+3)(a-3)} - \dfrac{a+3}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{2a - (a+3)}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{1}{a+3}\end{aligned}$
(2) 先对第二个分式约分，得$\dfrac{m+2n}{(m+2n)^2}=\dfrac{1}{m+2n}$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{5}{m+2n} - \dfrac{1}{m+2n}\\&=\dfrac{5-1}{m+2n}\\&=\dfrac{4}{m+2n}\end{aligned}$
(3) 先因式分解分子分母：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$x^2+6x+9=(x+3)^2$，$2x+6=2(x+3)$，先化简第一个分式得$\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\dfrac{x-3}{x+3}$，最简公分母为$2(x+3)$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2(x-3)}{2(x+3)} - \dfrac{2x+1}{2(x+3)}\\&=\dfrac{2x-6 - (2x+1)}{2(x+3)}\\&=\dfrac{-7}{2x+6}\\&=-\dfrac{7}{2x+6}\end{aligned}$
(4) 将整式部分整理为$\dfrac{(a-1)^2}{a-1}$，最简公分母为$a-1$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a^2}{a-1} - \dfrac{(a-1)^2}{a-1}\\&=\dfrac{a^2 - (a^2-2a+1)}{a-1}\\&=\dfrac{2a-1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a+3}$；(2)$\dfrac{4}{m+2n}$；(3)$-\dfrac{7}{2x+6}$；(4)$\dfrac{2a-1}{a-1}$
【知识点】
分式的减法运算；因式分解；分式的通分与约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的减法法则，计算时容易在去括号符号、整式通分两个步骤出错，熟练掌握因式分解和分式基本性质是解题的关键，最终结果要注意化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这是分式减法运算类题目，通用解题思路为：①先对各分式的分母因式分解，确定所有分母的最简公分母；②利用分式的基本性质将异分母分式通分，转化为同分母分式，若有整式参与运算，可将整式看作分母为1的分式再通分；③按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时符号要正确变化；④分子合并同类项后，将结果约分为最简分式即可。
【解析】
(1) 先因式分解分母得$a^2-9=(a+3)(a-3)$，最简公分母为$(a+3)(a-3)$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2a}{(a+3)(a-3)} - \dfrac{a+3}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{2a - (a+3)}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{1}{a+3}\end{aligned}$
(2) 先对第二个分式约分，得$\dfrac{m+2n}{(m+2n)^2}=\dfrac{1}{m+2n}$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{5}{m+2n} - \dfrac{1}{m+2n}\\&=\dfrac{5-1}{m+2n}\\&=\dfrac{4}{m+2n}\end{aligned}$
(3) 先因式分解分子分母：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$x^2+6x+9=(x+3)^2$，$2x+6=2(x+3)$，先化简第一个分式得$\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\dfrac{x-3}{x+3}$，最简公分母为$2(x+3)$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2(x-3)}{2(x+3)} - \dfrac{2x+1}{2(x+3)}\\&=\dfrac{2x-6 - (2x+1)}{2(x+3)}\\&=\dfrac{-7}{2x+6}\\&=-\dfrac{7}{2x+6}\end{aligned}$
(4) 将整式部分整理为$\dfrac{(a-1)^2}{a-1}$，最简公分母为$a-1$
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a^2}{a-1} - \dfrac{(a-1)^2}{a-1}\\&=\dfrac{a^2 - (a^2-2a+1)}{a-1}\\&=\dfrac{2a-1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a+3}$；(2)$\dfrac{4}{m+2n}$；(3)$-\dfrac{7}{2x+6}$；(4)$\dfrac{2a-1}{a-1}$
【知识点】
分式的减法运算；因式分解；分式的通分与约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的减法法则，计算时容易在去括号符号、整式通分两个步骤出错，熟练掌握因式分解和分式基本性质是解题的关键，最终结果要注意化为最简形式。
【难度系数】
0.7
