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1.如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，$CD ⊥ AD$，垂足为D，$∠ DCB = ∠ B$。若$AC=10$，$AB=25$，则CD的长为
7.5
。答案
1.7.5
解析
【分析】
遇到“角平分线+该角平分线上的垂线”的条件时，常用辅助线是延长垂线与角的两边相交，构造全等三角形和等腰三角形。本题首先延长CD交AB于点E，先利用角平分线、垂直的条件证明△ADE与△ADC全等，得到AE=AC、DE=CD，再结合∠DCB=∠B利用等角对等边得到BE=CE，最后通过线段的和差关系求出CE长度，进而得到CD的长。
【解析】
延长CD交AB于点E。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE = ∠ADC = 90°
在△ADE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠EAD = ∠CAD \\AD = AD \\∠ADE = ∠ADC\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADC（ASA）
∴ AE = AC = 10，DE = DC
∵ ∠DCB = ∠B，
∴ BE = CE
又
∵ BE = AB - AE = 25 - 10 = 15
∴ CE = 15
∴ CD = $\frac{1}{2}$CE = $\frac{1}{2}$×15 = 7.5
【答案】
7.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是构造等腰三角形的典型题型，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”这一特征对应的辅助线作法，通过构造全等将已知线段的条件转化到同一条线段上，结合等腰三角形性质即可求解。
【难度系数】
0.6
遇到“角平分线+该角平分线上的垂线”的条件时，常用辅助线是延长垂线与角的两边相交，构造全等三角形和等腰三角形。本题首先延长CD交AB于点E，先利用角平分线、垂直的条件证明△ADE与△ADC全等，得到AE=AC、DE=CD，再结合∠DCB=∠B利用等角对等边得到BE=CE，最后通过线段的和差关系求出CE长度，进而得到CD的长。
【解析】
延长CD交AB于点E。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE = ∠ADC = 90°
在△ADE和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠EAD = ∠CAD \\AD = AD \\∠ADE = ∠ADC\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADC（ASA）
∴ AE = AC = 10，DE = DC
∵ ∠DCB = ∠B，
∴ BE = CE
又
∵ BE = AB - AE = 25 - 10 = 15
∴ CE = 15
∴ CD = $\frac{1}{2}$CE = $\frac{1}{2}$×15 = 7.5
【答案】
7.5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是构造等腰三角形的典型题型，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”这一特征对应的辅助线作法，通过构造全等将已知线段的条件转化到同一条线段上，结合等腰三角形性质即可求解。
【难度系数】
0.6
2.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=2∠ B$，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$.求证$AC+AD=BC$.
答案
2.如图,在 BC 上截取 $CE=CA$,连接 DE.
$\because ∠ACB$ 的平分线 CD 交边 AB 于点 D,$\therefore ∠ACD=∠ECD$.
在$△ ACD$与$△ ECD$中,
$\begin{cases} CA=CE, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ECD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AD=ED,∠A=∠CED.$
$\because ∠A=2∠B,\therefore ∠CED=2∠B.$
$\because ∠CED=∠B+∠EDB,\therefore ∠B=∠EDB.$
$\therefore ED=EB.\therefore AD=EB.$
$\therefore AC+AD=EC+EB=BC.$
解析
【分析】
要证明$AC+AD=BC$，属于线段和差类证明问题，常用截长补短的方法求解。本题采用截长法更简便：在较长的线段$BC$上截取一段等于$AC$，就可以把问题转化为证明$BC$上剩下的线段等于$AD$。结合已知$CD$是$∠ ACB$的平分线，可构造全等三角形，将$AD$、$AC$转化为与$BC$相关的线段，再利用已知的角的倍数关系，结合三角形外角性质推导等腰三角形，完成剩余线段的等量证明即可。
【解析】
1. 作辅助线：在$BC$上截取$CE=CA$，连接$DE$。
2. 由角平分线定义得角相等：$\because CD$平分$∠ ACB$，交$AB$于点$D$，$\therefore ∠ ACD=∠ ECD$。
3. 证明三角形全等：在$△ ACD$和$△ ECD$中，
$\begin{cases} CA=CE, \\ ∠ ACD=∠ ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$。
4. 由全等性质得对应边、角相等：$\therefore AD=ED$，$∠ A=∠ CED$。
5. 结合角的关系推导等腰三角形：$\because ∠ A=2∠ B$，$\therefore ∠ CED=2∠ B$。
又$\because ∠ CED$是$△ EDB$的外角，$\therefore ∠ CED=∠ B+∠ EDB$，
$\therefore 2∠ B=∠ B+∠ EDB$，即$∠ B=∠ EDB$。
6. 等角对等边得$ED=EB$，等量代换得$AD=EB$。
7. 推导结论：$\therefore AC+AD=CE+EB=BC$，原式得证。
【答案】
2.如图,在 BC 上截取 $CE=CA$,连接 DE.
$\because ∠ACB$ 的平分线 CD 交边 AB 于点 D,$\therefore ∠ACD=∠ECD$.
在$△ ACD$与$△ ECD$中,
$\begin{cases} CA=CE, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ECD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AD=ED,∠A=∠CED.$
$\because ∠A=2∠B,\therefore ∠CED=2∠B.$
$\because ∠CED=∠B+∠EDB,\therefore ∠B=∠EDB.$
$\therefore ED=EB.\therefore AD=EB.$
$\therefore AC+AD=EC+EB=BC.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是利用截长补短的思路构造辅助线，结合角平分线构造全等三角形实现线段的第一次转化，再通过角的数量关系推导等腰三角形完成第二次等量转化，最终得证，需要熟练掌握截长补短的辅助线做法，以及全等、等腰的相关性质应用。
【难度系数】
0.6
要证明$AC+AD=BC$，属于线段和差类证明问题，常用截长补短的方法求解。本题采用截长法更简便：在较长的线段$BC$上截取一段等于$AC$，就可以把问题转化为证明$BC$上剩下的线段等于$AD$。结合已知$CD$是$∠ ACB$的平分线，可构造全等三角形，将$AD$、$AC$转化为与$BC$相关的线段，再利用已知的角的倍数关系，结合三角形外角性质推导等腰三角形，完成剩余线段的等量证明即可。
【解析】
1. 作辅助线：在$BC$上截取$CE=CA$，连接$DE$。
2. 由角平分线定义得角相等：$\because CD$平分$∠ ACB$，交$AB$于点$D$，$\therefore ∠ ACD=∠ ECD$。
3. 证明三角形全等：在$△ ACD$和$△ ECD$中，
$\begin{cases} CA=CE, \\ ∠ ACD=∠ ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$。
4. 由全等性质得对应边、角相等：$\therefore AD=ED$，$∠ A=∠ CED$。
5. 结合角的关系推导等腰三角形：$\because ∠ A=2∠ B$，$\therefore ∠ CED=2∠ B$。
又$\because ∠ CED$是$△ EDB$的外角，$\therefore ∠ CED=∠ B+∠ EDB$，
$\therefore 2∠ B=∠ B+∠ EDB$，即$∠ B=∠ EDB$。
6. 等角对等边得$ED=EB$，等量代换得$AD=EB$。
7. 推导结论：$\therefore AC+AD=CE+EB=BC$，原式得证。
【答案】
2.如图,在 BC 上截取 $CE=CA$,连接 DE.
$\because ∠ACB$ 的平分线 CD 交边 AB 于点 D,$\therefore ∠ACD=∠ECD$.
在$△ ACD$与$△ ECD$中,
$\begin{cases} CA=CE, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ECD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AD=ED,∠A=∠CED.$
$\because ∠A=2∠B,\therefore ∠CED=2∠B.$
$\because ∠CED=∠B+∠EDB,\therefore ∠B=∠EDB.$
$\therefore ED=EB.\therefore AD=EB.$
$\therefore AC+AD=EC+EB=BC.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是利用截长补短的思路构造辅助线，结合角平分线构造全等三角形实现线段的第一次转化，再通过角的数量关系推导等腰三角形完成第二次等量转化，最终得证，需要熟练掌握截长补短的辅助线做法，以及全等、等腰的相关性质应用。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=100°$,$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,$E$为$BC$上一点,$BE=DE$.求证$BC=CD+AD$.
答案
3.提示:方法一(截长法):如图,在 CB 上截取 $CF=AC$,连接 FD,
则$△ ACD≌△ FCD$,$AD=FD$,再证$∠DEF=80°=∠DFE$,$\therefore DF=DE$.又易证 $CD=CE$,
$\therefore BC=CE+BE=CD+AD.$
方法二(作垂线):过点 D 分别作 $DM⊥BC$,垂足为 M,$DN⊥AC$ 交 CA 延长线于点 N,证$△ DEM≌△ DAN$,
$\therefore AD=DE=BE$,再证 $CD=CE$ 即可.
解析
【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，常用截长补短法，本题适合用截长法求解：首先在较长线段BC上截取一段等于AC，结合CD是角平分线的条件，可构造全等三角形将AD转化为等长的DF；再通过等腰三角形的角度计算，推导得到DF=DE=BE，同时证明CD=CE，最后根据BC=CE+BE即可等量代换得到结论。
【解析】
我们以截长法为例，步骤如下：
1. 计算△ABC底角度数：
已知$AB=AC$，$∠A=100°$，根据三角形内角和与等腰三角形性质，得$∠B=∠ACB=\frac{180°-100°}{2}=40°$；
又因为CD平分$∠ACB$，所以$∠ACD=∠FCD=20°$。
2. 构造全等三角形转化线段：
在CB上截取$CF=AC$，连接FD，
在$△ ACD$和$△ FCD$中：
$\begin{cases} AC=FC \\ ∠ACD=∠FCD \\ CD=CD \end{cases}$
因此$△ ACD≌△ FCD(\mathrm{SAS})$，可得$AD=FD$，$∠DFC=∠A=100°$，进一步推出$∠DFE=180°-100°=80°$。
3. 推导$AD=BE$：
已知$BE=DE$，所以$∠B=∠BDE=40°$，根据三角形外角性质得$∠DEC=∠B+∠BDE=80°$，即$∠DEF=∠DFE=80°$，因此$DE=DF$，结合$AD=FD$可得$AD=DE=BE$。
4. 推导$CD=CE$：
在$△ CDE$中，$∠DCE=20°$，$∠DEC=80°$，所以$∠CDE=180°-20°-80°=80°$，即$∠CDE=∠DEC$，根据等角对等边得$CD=CE$。
5. 等量代换得结论：
因为$BC=CE+BE$，将$CE$替换为$CD$，$BE$替换为$AD$，即可得$BC=CD+AD$。
【答案】
方法一(截长法):如图,在 CB 上截取 $CF=AC$,连接 FD,
则$△ ACD≌△ FCD$,$AD=FD$,再证$∠DEF=80°=∠DFE$,$\therefore DF=DE$.又易证 $CD=CE$,
$\therefore BC=CE+BE=CD+AD.$
方法二(作垂线):过点 D 分别作 $DM⊥BC$,垂足为 M,$DN⊥AC$ 交 CA 延长线于点 N,证$△ DEM≌△ DAN$,
$\therefore AD=DE=BE$,再证 $CD=CE$ 即可.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题，核心思路是通过截长法构造全等三角形实现线段的等量转化，结合等腰三角形的边角关系推导相等线段，熟练掌握截长补短的辅助线构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于另外两条线段的和，常用截长补短法，本题适合用截长法求解：首先在较长线段BC上截取一段等于AC，结合CD是角平分线的条件，可构造全等三角形将AD转化为等长的DF；再通过等腰三角形的角度计算，推导得到DF=DE=BE，同时证明CD=CE，最后根据BC=CE+BE即可等量代换得到结论。
【解析】
我们以截长法为例，步骤如下：
1. 计算△ABC底角度数：
已知$AB=AC$，$∠A=100°$，根据三角形内角和与等腰三角形性质，得$∠B=∠ACB=\frac{180°-100°}{2}=40°$；
又因为CD平分$∠ACB$，所以$∠ACD=∠FCD=20°$。
2. 构造全等三角形转化线段：
在CB上截取$CF=AC$，连接FD，
在$△ ACD$和$△ FCD$中：
$\begin{cases} AC=FC \\ ∠ACD=∠FCD \\ CD=CD \end{cases}$
因此$△ ACD≌△ FCD(\mathrm{SAS})$，可得$AD=FD$，$∠DFC=∠A=100°$，进一步推出$∠DFE=180°-100°=80°$。
3. 推导$AD=BE$：
已知$BE=DE$，所以$∠B=∠BDE=40°$，根据三角形外角性质得$∠DEC=∠B+∠BDE=80°$，即$∠DEF=∠DFE=80°$，因此$DE=DF$，结合$AD=FD$可得$AD=DE=BE$。
4. 推导$CD=CE$：
在$△ CDE$中，$∠DCE=20°$，$∠DEC=80°$，所以$∠CDE=180°-20°-80°=80°$，即$∠CDE=∠DEC$，根据等角对等边得$CD=CE$。
5. 等量代换得结论：
因为$BC=CE+BE$，将$CE$替换为$CD$，$BE$替换为$AD$，即可得$BC=CD+AD$。
【答案】
方法一(截长法):如图,在 CB 上截取 $CF=AC$,连接 FD,
则$△ ACD≌△ FCD$,$AD=FD$,再证$∠DEF=80°=∠DFE$,$\therefore DF=DE$.又易证 $CD=CE$,
$\therefore BC=CE+BE=CD+AD.$
方法二(作垂线):过点 D 分别作 $DM⊥BC$,垂足为 M,$DN⊥AC$ 交 CA 延长线于点 N,证$△ DEM≌△ DAN$,
$\therefore AD=DE=BE$,再证 $CD=CE$ 即可.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题，核心思路是通过截长法构造全等三角形实现线段的等量转化，结合等腰三角形的边角关系推导相等线段，熟练掌握截长补短的辅助线构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
4.如图，AD为$△ ABC$的角平分线，E为BC的中点，$EF // AD$交BA的延长线于点F，交AC于点G.
(1)求证$AF=AG$.
(2)求证$BF=CG$.
(3)求$\dfrac{AB+AC}{CG}$的值.
(1)求证$AF=AG$.
(2)求证$BF=CG$.
(3)求$\dfrac{AB+AC}{CG}$的值.
答案
4.(1)如图,$\because AD$ 平分$∠BAC$,$\therefore ∠1=∠2$.
$\because AD// EF,\therefore ∠F=∠1,∠2=∠3.$
$\therefore ∠F=∠3.\therefore AF=AG.$
(2)如图,延长 FE 到点 H,使 $FE=EH$,连接 CH.
在$△ BFE$ 和$△ CHE$ 中,
$\begin{cases} EF=EH, \\ ∠FEB=∠HEC, \\ BE=CE, \end{cases}$$\therefore △ BFE≌△ CHE.$
$\therefore ∠H=∠F,BF=CH.$
又$\because ∠F=∠3=∠4,\therefore ∠H=∠4.\therefore HC=CG.$
$\therefore BF=CG.$
(3)$\dfrac{AB+AC}{CG}=\dfrac{AB+AG+GC}{GC}=\dfrac{AB+AF+GC}{GC}=\dfrac{BF+GC}{GC}=\dfrac{2GC}{GC}=2.$
解析
【分析】
(1) 要证AF=AG，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠F=∠3即可。已知AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，再结合EF//AD的性质，可通过平行线的同位角、内错角相等推导角的等量关系，最终得到∠F=∠3。
(2) 要证BF=CG，可通过构造全等三角形将BF转化为其他线段，再证明该线段与CG相等。已知E是BC中点，可采用倍长中线的构造方法：延长FE到H，使EH=FE，连接CH，先证△BFE和△CHE全等，得到BF=CH、∠F=∠H，再结合(1)的结论推出∠H=∠4，即可得到CH=CG，从而证明BF=CG。
(3) 求$\dfrac{AB+AC}{CG}$的比值时，可将AC拆分为AG+GC，结合(1)中AF=AG的结论，将AB+AC转化为AB+AF+GC=BF+GC，再代入(2)中BF=CG的结论，即可约分化简得到比值。
【解析】
(1) 如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2。
∵AD//EF，
∴∠F=∠1，∠2=∠3。
∴∠F=∠3，
∴AF=AG。
(2) 如图，延长FE到点H，使FE=EH，连接CH。
在$△ BFE$ 和$△ CHE$ 中，
$\begin{cases} EF=EH, \\ ∠FEB=∠HEC, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△ BFE≌△ CHE$（SAS）。
∴∠H=∠F，BF=CH。
又
∵∠F=∠3=∠4，
∴∠H=∠4，
∴HC=CG。
∴BF=CG。
(3) 解：$\dfrac{AB+AC}{CG}=\dfrac{AB+AG+GC}{GC}=\dfrac{AB+AF+GC}{GC}=\dfrac{BF+GC}{GC}=\dfrac{2GC}{GC}=2$。
【答案】
(1) AF=AG，证明成立；
(2) BF=CG，证明成立；
(3) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合类题目，综合考查了平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的构造及等腰三角形的判定。其中倍长中线构造全等三角形的方法是几何中实现线段等量转化的常用技巧，应用范围较广，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1) 要证AF=AG，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠F=∠3即可。已知AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，再结合EF//AD的性质，可通过平行线的同位角、内错角相等推导角的等量关系，最终得到∠F=∠3。
(2) 要证BF=CG，可通过构造全等三角形将BF转化为其他线段，再证明该线段与CG相等。已知E是BC中点，可采用倍长中线的构造方法：延长FE到H，使EH=FE，连接CH，先证△BFE和△CHE全等，得到BF=CH、∠F=∠H，再结合(1)的结论推出∠H=∠4，即可得到CH=CG，从而证明BF=CG。
(3) 求$\dfrac{AB+AC}{CG}$的比值时，可将AC拆分为AG+GC，结合(1)中AF=AG的结论，将AB+AC转化为AB+AF+GC=BF+GC，再代入(2)中BF=CG的结论，即可约分化简得到比值。
【解析】
(1) 如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2。
∵AD//EF，
∴∠F=∠1，∠2=∠3。
∴∠F=∠3，
∴AF=AG。
(2) 如图，延长FE到点H，使FE=EH，连接CH。
在$△ BFE$ 和$△ CHE$ 中，
$\begin{cases} EF=EH, \\ ∠FEB=∠HEC, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△ BFE≌△ CHE$（SAS）。
∴∠H=∠F，BF=CH。
又
∵∠F=∠3=∠4，
∴∠H=∠4，
∴HC=CG。
∴BF=CG。
(3) 解：$\dfrac{AB+AC}{CG}=\dfrac{AB+AG+GC}{GC}=\dfrac{AB+AF+GC}{GC}=\dfrac{BF+GC}{GC}=\dfrac{2GC}{GC}=2$。
【答案】
(1) AF=AG，证明成立；
(2) BF=CG，证明成立；
(3) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合类题目，综合考查了平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的构造及等腰三角形的判定。其中倍长中线构造全等三角形的方法是几何中实现线段等量转化的常用技巧，应用范围较广，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
