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14. 甲、乙、丙三人到超市购买零食，甲买 3 包薯片、2 袋饼干、1 盒糖果，花费 24 元；乙买 1 包薯片、4 袋饼干、2 盒糖果，花费 23 元；那么丙买 4 包薯片，花费
20
元.答案
14. 20
解析
【解析】
设1包薯片$x$元，1袋饼干$y$元，1盒糖果$z$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 24 & ① \\x + 4y + 2z = 23 & ②\end{cases}$
①×2 - ②得：
$2(3x + 2y + z) - (x + 4y + 2z) = 2×24 - 23$
化简得：$5x = 25$，解得$x = 5$。
则4包薯片的花费为$4x = 4×5 = 20$元。
【答案】
20
【知识点】
三元一次方程组应用、消元法
【点评】
本题考查方程组的应用，通过整体消元思想，无需解出所有未知数即可求出目标量，体现了数学中的整体代换思维，提升解题效率。
设1包薯片$x$元，1袋饼干$y$元，1盒糖果$z$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 24 & ① \\x + 4y + 2z = 23 & ②\end{cases}$
①×2 - ②得：
$2(3x + 2y + z) - (x + 4y + 2z) = 2×24 - 23$
化简得：$5x = 25$，解得$x = 5$。
则4包薯片的花费为$4x = 4×5 = 20$元。
【答案】
20
【知识点】
三元一次方程组应用、消元法
【点评】
本题考查方程组的应用，通过整体消元思想，无需解出所有未知数即可求出目标量，体现了数学中的整体代换思维，提升解题效率。
15. 已知 $ \begin{cases}x = -4, \\ y = 2\end{cases}$ 是关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases}ax + cy = 1, \\ cx - by = -3\end{cases}$ 的解，则 $ a $，$ b $ 满足的数量关系是 ______ .
答案
15. $8a + 2b = 1$
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = -4, \\ y = 2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + cy = 1, \\ cx - by = -3\end{cases}$，得：
$\begin{cases}-4a + 2c = 1 & (1) \\ -4c - 2b = -3 & (2)\end{cases}$
将方程(1)两边同时乘以2，得：$-8a + 4c = 2 \quad (3)$
方程(3)与方程(2)相加：
$(-8a + 4c) + (-4c - 2b) = 2 + (-3)$
化简得：$-8a - 2b = -1$
两边同乘$-1$，得：$8a + 2b = 1$
【答案】
$8a + 2b = 1$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，需先将解代入方程组得到含a、b、c的方程组，再通过加减消元消去c，进而得到a与b的数量关系，计算时注意符号的正确变化。
将$\begin{cases}x = -4, \\ y = 2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + cy = 1, \\ cx - by = -3\end{cases}$，得：
$\begin{cases}-4a + 2c = 1 & (1) \\ -4c - 2b = -3 & (2)\end{cases}$
将方程(1)两边同时乘以2，得：$-8a + 4c = 2 \quad (3)$
方程(3)与方程(2)相加：
$(-8a + 4c) + (-4c - 2b) = 2 + (-3)$
化简得：$-8a - 2b = -1$
两边同乘$-1$，得：$8a + 2b = 1$
【答案】
$8a + 2b = 1$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，需先将解代入方程组得到含a、b、c的方程组，再通过加减消元消去c，进而得到a与b的数量关系，计算时注意符号的正确变化。
16. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} x + 3y = 4 - a, \\ x - 5y = 3a \end{cases} $ 有下列结论：
① $ \begin{cases} x = 5, \\ y = -1 \end{cases} $ 是方程组的解；
② 无论 $ a $ 取何值，$ x $，$ y $ 的值都不可能互为相反数；
③ 当 $ a = 1 $ 时，方程组的解也是方程 $ x + y = 4 - a $ 的解；
④ $ x $，$ y $ 的值都为自然数的解有 4 组.
其中正确的结论有
① $ \begin{cases} x = 5, \\ y = -1 \end{cases} $ 是方程组的解；
② 无论 $ a $ 取何值，$ x $，$ y $ 的值都不可能互为相反数；
③ 当 $ a = 1 $ 时，方程组的解也是方程 $ x + y = 4 - a $ 的解；
④ $ x $，$ y $ 的值都为自然数的解有 4 组.
其中正确的结论有
②③④
.(填序号)答案
16. ②③④
解析
【解析】
我们先通过加减消元法解方程组：
$\begin{cases} x + 3y = 4 - a & (1) \\ x - 5y = 3a & (2) \end{cases}$
(1)-(2)得：$8y = 4 - 4a$，解得$y=\frac{1-a}{2}$，
将$y=\frac{1-a}{2}$代入(1)得：$x=4-a-3×\frac{1-a}{2}=\frac{a+5}{2}$。
1. 验证结论①：把$\begin{cases}x=5\\y=-1\end{cases}$代入方程组，代入(1)得$5+3×(-1)=4-a$，解得$a=2$；代入(2)得$5-5×(-1)=3a$，解得$a=\frac{10}{3}$，矛盾，故①错误。
2. 验证结论②：若$x$、$y$互为相反数，则$x+y=0$，即$\frac{a+5}{2}+\frac{1-a}{2}=3≠0$，无论$a$取何值，$x+y=3$，故$x$、$y$不可能互为相反数，②正确。
3. 验证结论③：当$a=1$时，$x=3$，$y=0$，$x+y=3$，方程$x+y=4-a$即$x+y=3$，左边=右边，故是方程的解，③正确。
4. 验证结论④：$x$、$y$为自然数，则$\begin{cases}\frac{a+5}{2}≥0\\frac{1-a}{2}≥0\end{cases}$，解得$-5≤ a≤1$，且$a$为奇数（保证$x$、$y$为整数），$a$可取-5、-3、-1、1，对应4组自然数解，④正确。
综上，正确结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 方程组解的验证
3. 自然数的概念
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的求解与解的性质，需通过消元法得到x、y关于a的表达式，再逐一验证结论，侧重对知识综合运用能力的考查。
我们先通过加减消元法解方程组：
$\begin{cases} x + 3y = 4 - a & (1) \\ x - 5y = 3a & (2) \end{cases}$
(1)-(2)得：$8y = 4 - 4a$，解得$y=\frac{1-a}{2}$，
将$y=\frac{1-a}{2}$代入(1)得：$x=4-a-3×\frac{1-a}{2}=\frac{a+5}{2}$。
1. 验证结论①：把$\begin{cases}x=5\\y=-1\end{cases}$代入方程组，代入(1)得$5+3×(-1)=4-a$，解得$a=2$；代入(2)得$5-5×(-1)=3a$，解得$a=\frac{10}{3}$，矛盾，故①错误。
2. 验证结论②：若$x$、$y$互为相反数，则$x+y=0$，即$\frac{a+5}{2}+\frac{1-a}{2}=3≠0$，无论$a$取何值，$x+y=3$，故$x$、$y$不可能互为相反数，②正确。
3. 验证结论③：当$a=1$时，$x=3$，$y=0$，$x+y=3$，方程$x+y=4-a$即$x+y=3$，左边=右边，故是方程的解，③正确。
4. 验证结论④：$x$、$y$为自然数，则$\begin{cases}\frac{a+5}{2}≥0\\frac{1-a}{2}≥0\end{cases}$，解得$-5≤ a≤1$，且$a$为奇数（保证$x$、$y$为整数），$a$可取-5、-3、-1、1，对应4组自然数解，④正确。
综上，正确结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 方程组解的验证
3. 自然数的概念
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的求解与解的性质，需通过消元法得到x、y关于a的表达式，再逐一验证结论，侧重对知识综合运用能力的考查。
三、解答题
17. 解下列方程组.
（1）$ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x - 2y - 11 = 0. \end{cases} $
（2）$ \begin{cases} x + 2y + 3z = 6, \\ 3x - y - z = 1, \\ 4x + 5y - 7z = 2. \end{cases} $
17. 解下列方程组.
（1）$ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x - 2y - 11 = 0. \end{cases} $
（2）$ \begin{cases} x + 2y + 3z = 6, \\ 3x - y - z = 1, \\ 4x + 5y - 7z = 2. \end{cases} $
答案
17. (1) $\{\begin{array}{l}x = 3,\\y = - 1.\end{array} $ (2) $\{\begin{array}{l}x = 1,\\y = 1,\\z = 1.\end{array} $
解析
【解析】
$\begin{cases} x + 2y + 3z = 6, &①\\ 3x - y - z = 1, &②\\ 4x + 5y - 7z = 2. &③\end{cases}$
1. 消去$y$，将三元方程组转化为二元方程组：
$②×2 + ①$得：$7x + z = 8$ ④；
$②×5 + ③$得：$19x - 12z = 7$ ⑤；
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}7x + z = 8\\19x - 12z = 7\end{cases}$：
由④得$z = 8 - 7x$，代入⑤得$19x - 12(8 - 7x) = 7$，解得$x = 1$；
将$x = 1$代入④，得$z = 1$；
3. 求$y$的值：
将$x = 1$，$z = 1$代入②得$3×1 - y - 1 = 1$，解得$y = 1$。
经检验，$\begin{cases}x=1\\y=1\\z=1\end{cases}$满足原方程组的所有方程。
【答案】
$\begin{cases} x = 1,\\ y = 1,\\ z = 1\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，核心是利用消元思想，逐步将三元方程组转化为二元方程组、一元方程，消元时优先选择系数简单的未知数，可简化计算，解后需验证解的正确性。
$\begin{cases} x + 2y + 3z = 6, &①\\ 3x - y - z = 1, &②\\ 4x + 5y - 7z = 2. &③\end{cases}$
1. 消去$y$，将三元方程组转化为二元方程组：
$②×2 + ①$得：$7x + z = 8$ ④；
$②×5 + ③$得：$19x - 12z = 7$ ⑤；
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}7x + z = 8\\19x - 12z = 7\end{cases}$：
由④得$z = 8 - 7x$，代入⑤得$19x - 12(8 - 7x) = 7$，解得$x = 1$；
将$x = 1$代入④，得$z = 1$；
3. 求$y$的值：
将$x = 1$，$z = 1$代入②得$3×1 - y - 1 = 1$，解得$y = 1$。
经检验，$\begin{cases}x=1\\y=1\\z=1\end{cases}$满足原方程组的所有方程。
【答案】
$\begin{cases} x = 1,\\ y = 1,\\ z = 1\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，核心是利用消元思想，逐步将三元方程组转化为二元方程组、一元方程，消元时优先选择系数简单的未知数，可简化计算，解后需验证解的正确性。
18. 已知 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = -3 \end{cases} $ 是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程 $ 3x = y + a $ 的解，求 $ a(a - 1) $ 的值.
答案
18. $\because \{\begin{array}{l}x = 2,\\y = - 3\end{array} $是方程$3x = y + a$的解，
$\therefore 3× 2 = - 3 + a$．
解得$a = 9$．
所以$a(a - 1) = 9×(9 - 1) = 72$．
$\therefore 3× 2 = - 3 + a$．
解得$a = 9$．
所以$a(a - 1) = 9×(9 - 1) = 72$．
