8. (2024·德阳)宽与长的比是 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。已知四边形 $ ABCD $ 是黄金矩形($ AB ＜ BC $)，点 $ P $ 是边 $ AD $ 上一点，则满足 $ PB ⊥ PC $ 的点 $ P $ 的个数为()

A.$ 3 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 0 $

8. D

设黄金矩形$ABCD$中，$BC=a$，则$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$。以$BC$为直径作圆，圆心为$O$，半径$r=\frac{a}{2}$。圆心$O$到$AD$的距离$d=AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a\approx0.618a$。因为$d\approx0.618a＞ r=\frac{a}{2}$，所以圆与$AD$无交点，满足$PB⊥ PC$的点$P$的个数为$0$。
D

9. 人们把 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618 $ 这个数叫作黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“$ 0.618 $ 法”就应用了黄金比。设 $ a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，$ b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} $，记 $ S_1 = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} $，$ S_2 = \frac{2}{1 + a^2} + \frac{2}{1 + b^2} $，$ ··· $，$ S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}} $，则 $ S_1 + S_2 + ··· + S_{100} = $。

9. 5050

已知$a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$，可得$ab = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = 1$，即$b = \frac{1}{a}$。
对于$S_n = \frac{n}{1 + a^n} + \frac{n}{1 + b^n}$，将$b = \frac{1}{a}$代入得：
$\begin{aligned}S_n&=\frac{n}{1 + a^n} + \frac{n}{1 + (\frac{1}{a})^n}\\&=\frac{n}{1 + a^n} + \frac{n a^n}{a^n + 1}\\&=\frac{n(1 + a^n)}{1 + a^n}\\&=n\end{aligned}$
则$S_1 + S_2 + ··· + S_{100} = 1 + 2 + ··· + 100 = \frac{100 × (100 + 1)}{2} = 5050$。
5050

10. 图 1 是一张宽与长之比为 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形。同学们都知道按图 2 所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 $ ABEF $ 和一个矩形 $ EFDC $，那么 $ EFDC $ 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图 2 证明你的结论；若不是，请说明理由。

10. 矩形 $EFDC$ 是黄金矩形，证明：$\because$ 四边形 $ABEF$ 是正方形，$\therefore AB = DC = AF$．又 $\because \frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{AF}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即点 $F$ 是线段 $AD$ 的黄金分割点，$\therefore \frac{FD}{AF}=\frac{AF}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \frac{FD}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore$ 矩形 $EFDC$ 是黄金矩形．

矩形$EFDC$是黄金矩形，证明：
$\because$ 四边形$ABEF$是正方形，
$\therefore AB = EF = AF = BE$，且$EF ⊥ AD$，$EF ⊥ BC$，
$\therefore$ 矩形$EFDC$中，$EF = AB$，$FD = AD - AF = AD - AB$，$DC = AB$．
设$AD = 1$，$\because \frac{AB}{AD} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore FD = AD - AB = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2 - (\sqrt{5}-1)}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，
$\because \frac{FD}{EF} = \frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} = \frac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{3\sqrt{5}+3 - 5 - \sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{2\sqrt{5}-2}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$ 矩形$EFDC$的宽与长之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$ 矩形$EFDC$是黄金矩形．

11. 如图，在 $ △ ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上，且 $ BD = DC = AC $，已知 $ ∠ ACE = 108^{\circ} $，$ BC = 2 $。
（1）求 $ ∠ B $ 的度数；
（2）我们把有一个内角等于 $ 36^{\circ} $ 的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。
① 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
② 求 $ AD $ 的长。

11. (1) 设 $∠ B = x$，$\because BD = DC$，$\therefore ∠ DCB = ∠ B = x$，$\therefore ∠ ADC = ∠ B+∠ DCB = 2x$，$\because AC = DC$，$\therefore ∠ A = ∠ ADC = 2x$，$\because ∠ ACE = ∠ B+∠ A$，$\therefore x + 2x = 108^{\circ}$，解得 $x = 36^{\circ}$，即 $∠ B$ 的度数为 $36^{\circ}$； (2) ① $△ ABC$、$△ DBC$、$△ CAD$ 都是黄金三角形．理由如下：$\because DB = DC$，$∠ B = 36^{\circ}$，$\therefore △ DBC$ 为黄金三角形；$\because ∠ BCA = 180^{\circ}-∠ ACE = 72^{\circ}$，而 $∠ A = 2×36^{\circ}=72^{\circ}$，$\therefore ∠ A = ∠ ACB$，而 $∠ B = 36^{\circ}$，$\therefore △ ABC$ 为黄金三角形；$\because ∠ ACD = ∠ ACB-∠ DCB = 72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，而 $CA = CD$，$\therefore △ CAD$ 为黄金三角形；② $\because △ BAC$ 为黄金三角形，$\therefore \frac{AC}{BC}=\sqrt{5}$，而 $BC = 2$，$\therefore AC=\sqrt{5}-1$，$\therefore CD = CA=\sqrt{5}-1$，$\therefore BD = CD=\sqrt{5}-1$，$\therefore AD = AB - BD = 2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$．

（1）设$∠ B = x$，
$\because BD = DC$，$\therefore ∠ DCB = ∠ B = x$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ DCB = 2x$，
$\because AC = DC$，$\therefore ∠ A = ∠ ADC = 2x$，
$\because ∠ ACE = ∠ B + ∠ A$，$\therefore x + 2x = 108^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$，即$∠ B = 36^{\circ}$；
（2）① 黄金三角形：$△ABC$、$△DBC$、$△CAD$。
理由（以$△DBC$为例）：$\because DB = DC$，$∠ B = 36^{\circ}$，
$\therefore △DBC$是有一个内角为$36^{\circ}$的等腰三角形，即黄金三角形；
② $\because △ABC$为黄金三角形，$∠ B = 36^{\circ}$，$BC = 2$，
$\therefore \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}×2 = \sqrt{5}-1$，
$\because AC = DC$，$BD = DC$，$\therefore BD = AC = \sqrt{5}-1$，
$\because △ABC$中$∠ A = ∠ ACB = 72^{\circ}$，$\therefore AB = BC = 2$，
$\therefore AD = AB - BD = 2 - (\sqrt{5}-1) = 3 - \sqrt{5}$。