登录
知识点三 多项式除以单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的
每一项
除以这个单项式，再把所得的商相加
。答案
每一项 相加
解析
【分析】
这道题考查多项式除以单项式的运算法则的识记，解题时只需回忆对应法则的具体表述即可。多项式除以单项式的运算逻辑是先将多项式拆分为单个单项式分别做除法运算，再对得到的多个商做合并操作，据此就能对应填出两个空缺的内容。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
每一项 相加
【知识点】
多项式除以单项式法则
【点评】
本题是基础概念类题目，考查对整式除法运算法则的掌握情况，牢记相关法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查多项式除以单项式的运算法则的识记，解题时只需回忆对应法则的具体表述即可。多项式除以单项式的运算逻辑是先将多项式拆分为单个单项式分别做除法运算，再对得到的多个商做合并操作，据此就能对应填出两个空缺的内容。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
每一项 相加
【知识点】
多项式除以单项式法则
【点评】
本题是基础概念类题目，考查对整式除法运算法则的掌握情况，牢记相关法则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
例4 已知 A 和 B 均为整式，$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2$，小马在计算 $A÷B$ 时，误把“÷”抄成了“－”，这样他计算的结果为 $-x^2y^2$。
（1）将整式 A 化为最简形式；
（2）求整式 B；
（3）求 $A÷B$ 的正确结果。
解（1）$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2$
$=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2$
$=-x^2y^2-xy$。
（2）由题意，得 $A-B=-x^2y^2$。
由（1）知 $A=-x^2y^2-xy$。
所以 $-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$。
所以 $B=-xy$。
（3）由（1）知 $A=-x^2y^2-xy$。
由（2）知 $B=-xy$。
所以 $A÷B=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)=xy+1$。
所以 $A÷B$ 的正确结果是 $xy+1$。
—解题要点
对于已知条件中出现的恒等式，对应的系数相等，相同字母的指数也相等.方程思想是解决本题的关键.
—特别提醒
解答多项式除以单项式的问题，主要是把多项式除以单项式的问题转化为多个单项式除以单项式的问题.多项式除以单项式的结果仍是一个多项式，商式的项数与被除式的项数相同.
（1）将整式 A 化为最简形式；
（2）求整式 B；
（3）求 $A÷B$ 的正确结果。
解（1）$A=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2$
$=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2$
$=-x^2y^2-xy$。
（2）由题意，得 $A-B=-x^2y^2$。
由（1）知 $A=-x^2y^2-xy$。
所以 $-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$。
所以 $B=-xy$。
（3）由（1）知 $A=-x^2y^2-xy$。
由（2）知 $B=-xy$。
所以 $A÷B=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)=xy+1$。
所以 $A÷B$ 的正确结果是 $xy+1$。
—解题要点
对于已知条件中出现的恒等式，对应的系数相等，相同字母的指数也相等.方程思想是解决本题的关键.
—特别提醒
解答多项式除以单项式的问题，主要是把多项式除以单项式的问题转化为多个单项式除以单项式的问题.多项式除以单项式的结果仍是一个多项式，商式的项数与被除式的项数相同.
答案
解：
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 求整式B：
由题意得 $A-B=-x^2y^2$，
将$A=-x^2y^2-xy$代入上式：
$-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$
移项整理得：
$B=-x^2y^2-xy+x^2y^2=-xy$
(3) 求$A÷ B$的正确结果：
将$A=-x^2y^2-xy$，$B=-xy$代入运算：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) + (-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
所以$A÷ B$的正确结果是$xy+1$。
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 求整式B：
由题意得 $A-B=-x^2y^2$，
将$A=-x^2y^2-xy$代入上式：
$-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$
移项整理得：
$B=-x^2y^2-xy+x^2y^2=-xy$
(3) 求$A÷ B$的正确结果：
将$A=-x^2y^2-xy$，$B=-xy$代入运算：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) + (-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
所以$A÷ B$的正确结果是$xy+1$。
解析
【分析】
（1）化简整式A时，先运用多项式乘多项式法则展开$(xy+1)(xy-2)$，再去括号后合并同类项，即可得到A的最简形式。
（2）由题意可知小马计算的是$A-B$，结果为$-x^2y^2$，将第（1）问求出的A的最简式代入该等式，通过移项整理即可求出整式B。
（3）求$A÷B$的正确结果时，将A、B的表达式代入，按照多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 求整式B：
由题意得 $A-B=-x^2y^2$，
将$A=-x^2y^2-xy$代入上式：
$-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$
移项整理得：
$B=-x^2y^2-xy+x^2y^2=-xy$
(3) 求$A÷ B$的正确结果：
将$A=-x^2y^2-xy$，$B=-xy$代入运算：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) + (-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
所以$A÷ B$的正确结果是$xy+1$。
【答案】
(1) $A=-x^2y^2-xy$；
(2) $B=-xy$；
(3) $xy+1$
【知识点】
整式的化简；整式的加减运算；多项式除以单项式
【点评】
本题结合看错运算符号的情景考查整式的混合运算，解题关键是根据错误的运算关系求出未知整式B，再代入计算正确结果，运算过程中要注意符号的处理，多项式除以单项式时不要漏除每一项。
【难度系数】
0.8
（1）化简整式A时，先运用多项式乘多项式法则展开$(xy+1)(xy-2)$，再去括号后合并同类项，即可得到A的最简形式。
（2）由题意可知小马计算的是$A-B$，结果为$-x^2y^2$，将第（1）问求出的A的最简式代入该等式，通过移项整理即可求出整式B。
（3）求$A÷B$的正确结果时，将A、B的表达式代入，按照多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 化简整式A：
$\begin{aligned}A&=(xy+1)(xy-2)-2x^2y^2+2\\&=x^2y^2-2xy+xy-2-2x^2y^2+2\\&=-x^2y^2-xy\end{aligned}$
(2) 求整式B：
由题意得 $A-B=-x^2y^2$，
将$A=-x^2y^2-xy$代入上式：
$-x^2y^2-xy-B=-x^2y^2$
移项整理得：
$B=-x^2y^2-xy+x^2y^2=-xy$
(3) 求$A÷ B$的正确结果：
将$A=-x^2y^2-xy$，$B=-xy$代入运算：
$\begin{aligned}A÷ B&=(-x^2y^2-xy)÷(-xy)\\&=(-x^2y^2)÷(-xy) + (-xy)÷(-xy)\\&=xy+1\end{aligned}$
所以$A÷ B$的正确结果是$xy+1$。
【答案】
(1) $A=-x^2y^2-xy$；
(2) $B=-xy$；
(3) $xy+1$
【知识点】
整式的化简；整式的加减运算；多项式除以单项式
【点评】
本题结合看错运算符号的情景考查整式的混合运算，解题关键是根据错误的运算关系求出未知整式B，再代入计算正确结果，运算过程中要注意符号的处理，多项式除以单项式时不要漏除每一项。
【难度系数】
0.8
1. 在等式$x^4 · □ = x^{11}$中，“$□$”所表示的代数式为 （
A.$x^6$
B.$-x^6$
C.$(-x)^7$
D.$x^7$
D
）A.$x^6$
B.$-x^6$
C.$(-x)^7$
D.$x^7$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先根据乘法运算中“因数=积÷另一个因数”的关系，确定要求的代数式等于$x^{11}$除以$x^4$，再运用同底数幂的除法法则计算即可。计算时牢记同底数幂相除，底数不变，指数相减，最后将计算结果和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据乘除的互逆关系可得：
$□ = x^{11} ÷ x^4$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x^{11} ÷ x^4 = x^{11-4} = x^7$
因此“$□$”所表示的代数式为$x^7$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法、乘除互逆关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查同底数幂除法法则的应用，熟练掌握整式运算的基本法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据乘法运算中“因数=积÷另一个因数”的关系，确定要求的代数式等于$x^{11}$除以$x^4$，再运用同底数幂的除法法则计算即可。计算时牢记同底数幂相除，底数不变，指数相减，最后将计算结果和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据乘除的互逆关系可得：
$□ = x^{11} ÷ x^4$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$x^{11} ÷ x^4 = x^{11-4} = x^7$
因此“$□$”所表示的代数式为$x^7$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法、乘除互逆关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查同底数幂除法法则的应用，熟练掌握整式运算的基本法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 已知$(x-2)^0=1$，则$x$的取值范围是（
A.$x＜2$
B.$x=2$
C.$x＞2$
D.$x≠2$
D
）A.$x＜2$
B.$x=2$
C.$x＞2$
D.$x≠2$
答案
2. D
解析
【分析】
解决这道题需要先回忆零指数幂的运算规则：零指数幂有意义且等于1的前提是底数不能为0，因为0的0次幂没有意义。本题中幂的底数是$x-2$，因此只要令底数不等于0，解对应的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
解：根据零指数幂的性质：任意非零数的0次幂等于1，0的0次幂无意义。
要使$(x-2)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x-2≠0$
解得$x≠2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查零指数幂的成立限制条件，解题时要牢记底数不为0的要求，避免忽略限制条件选错答案。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要先回忆零指数幂的运算规则：零指数幂有意义且等于1的前提是底数不能为0，因为0的0次幂没有意义。本题中幂的底数是$x-2$，因此只要令底数不等于0，解对应的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
解：根据零指数幂的性质：任意非零数的0次幂等于1，0的0次幂无意义。
要使$(x-2)^0=1$成立，需满足底数不为0，即：
$x-2≠0$
解得$x≠2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查零指数幂的成立限制条件，解题时要牢记底数不为0的要求，避免忽略限制条件选错答案。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$(-a^2)^3 ÷ a^2 =$
$-a^4$
.答案
3. $-a^4$
解析
【分析】
解题时先明确运算顺序：先算乘方，再算除法。第一步计算幂的乘方时，要牢记幂的乘方法则，同时注意负数的奇数次幂结果为负；第二步计算同底数幂的除法，依据同底数幂相除的运算法则计算即可。
【解析】
1. 先计算乘方运算：
根据幂的乘方法则和积的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -1 · a^{2 × 3} = -a^6$
2. 再计算除法运算：
根据同底数幂的除法法则，$-a^6 ÷ a^2 = -a^{6-2} = -a^4$
【答案】
$-a^4$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法；整式的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查幂的相关运算法则的应用，运算过程中要重点关注符号的判断，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时先明确运算顺序：先算乘方，再算除法。第一步计算幂的乘方时，要牢记幂的乘方法则，同时注意负数的奇数次幂结果为负；第二步计算同底数幂的除法，依据同底数幂相除的运算法则计算即可。
【解析】
1. 先计算乘方运算：
根据幂的乘方法则和积的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -1 · a^{2 × 3} = -a^6$
2. 再计算除法运算：
根据同底数幂的除法法则，$-a^6 ÷ a^2 = -a^{6-2} = -a^4$
【答案】
$-a^4$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的除法；整式的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查幂的相关运算法则的应用，运算过程中要重点关注符号的判断，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7
