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知识点二 分式的意义
分式的分母表示除数，因为除数不能为$\boldsymbol{0}$，所以分式的分母不能为$\boldsymbol{0}$.即当$B≠\boldsymbol{0}$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义.
分式的分母表示除数，因为除数不能为$\boldsymbol{0}$，所以分式的分母不能为$\boldsymbol{0}$.即当$B≠\boldsymbol{0}$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义.
答案
0 0 0
解析
【分析】
这道题考察分式有意义的判定依据，解题时可先联系已学的除法运算规则：除法中除数不能为0，否则运算无意义。再对应分式的结构：分式$\frac{A}{B}$等价于A÷B，其中分母B对应除法里的除数，因此可推导出分式有意义的前提是分母不为0，据此就能完成对应填空。
【解析】
我们已经学过，在除法运算中，除数不能为$\boldsymbol{0}$，否则运算没有意义；而分式$\frac{A}{B}$的含义就是分子A除以分母B，分母B对应除法算式中的除数，因此分式的分母也不能为$\boldsymbol{0}$，由此可得规则：只有当分母$B≠\boldsymbol{0}$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。所以三个空依次填入0、0、0。
【答案】
0 0 0
【知识点】
1. 分式的意义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础概念题，重点考察对分式和除法运算关联的理解，只要牢记分式分母不为0的核心要求就能轻松解答，是后续学习分式运算的必备基础。
【难度系数】
0.9
这道题考察分式有意义的判定依据，解题时可先联系已学的除法运算规则：除法中除数不能为0，否则运算无意义。再对应分式的结构：分式$\frac{A}{B}$等价于A÷B，其中分母B对应除法里的除数，因此可推导出分式有意义的前提是分母不为0，据此就能完成对应填空。
【解析】
我们已经学过，在除法运算中，除数不能为$\boldsymbol{0}$，否则运算没有意义；而分式$\frac{A}{B}$的含义就是分子A除以分母B，分母B对应除法算式中的除数，因此分式的分母也不能为$\boldsymbol{0}$，由此可得规则：只有当分母$B≠\boldsymbol{0}$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。所以三个空依次填入0、0、0。
【答案】
0 0 0
【知识点】
1. 分式的意义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础概念题，重点考察对分式和除法运算关联的理解，只要牢记分式分母不为0的核心要求就能轻松解答，是后续学习分式运算的必备基础。
【难度系数】
0.9
例2 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) $\frac{2x-3}{3x+2}$；(2) $\frac{2}{x^2+1}$；(3) $\frac{3x}{x(x+2)}$；(4) $\frac{x+y}{x^2-y^2}$.
解 (1) 要使分式$\frac{2x-3}{3x+2}$有意义，则分母$3x+2≠0$，即$x≠-\frac{2}{3}$.
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2+1}$有意义，则分母$x^2+1≠0$. 因为$x^2≥0$，所以$x^2+1＞0$，所以不论$x$为何值，分式都有意义.
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x+2)}$有意义，则分母$x(x+2)≠0$，即$x≠0$，且$x≠-2$.
(4) 要使分式$\frac{x+y}{x^2-y^2}$有意义，则分母$x^2-y^2≠0$，即$x≠±y$.
特别提醒
今后，如无特别说明，本套书中出现的分式都有意义.
解题要点
本题考查使分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是“分母不等于0”为解题的关键.
(1) $\frac{2x-3}{3x+2}$；(2) $\frac{2}{x^2+1}$；(3) $\frac{3x}{x(x+2)}$；(4) $\frac{x+y}{x^2-y^2}$.
解 (1) 要使分式$\frac{2x-3}{3x+2}$有意义，则分母$3x+2≠0$，即$x≠-\frac{2}{3}$.
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2+1}$有意义，则分母$x^2+1≠0$. 因为$x^2≥0$，所以$x^2+1＞0$，所以不论$x$为何值，分式都有意义.
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x+2)}$有意义，则分母$x(x+2)≠0$，即$x≠0$，且$x≠-2$.
(4) 要使分式$\frac{x+y}{x^2-y^2}$有意义，则分母$x^2-y^2≠0$，即$x≠±y$.
特别提醒
今后，如无特别说明，本套书中出现的分式都有意义.
解题要点
本题考查使分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是“分母不等于0”为解题的关键.
答案
解：
(1) 要使分式$\frac{2x-3}{3x+2}$有意义，则分母$3x+2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ -\frac{2}{3}$。
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2+1}$有意义，则分母$x^2+1 ≠ 0$。
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2+1 ＞ 0$恒成立，
因此不论$x$取任何实数，该分式都有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x+2)}$有意义，则分母$x(x+2) ≠ 0$，
解得 $x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
(4) 要使分式$\frac{x+y}{x^2-y^2}$有意义，则分母$x^2-y^2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ \pm y$。
(1) 要使分式$\frac{2x-3}{3x+2}$有意义，则分母$3x+2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ -\frac{2}{3}$。
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2+1}$有意义，则分母$x^2+1 ≠ 0$。
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2+1 ＞ 0$恒成立，
因此不论$x$取任何实数，该分式都有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x+2)}$有意义，则分母$x(x+2) ≠ 0$，
解得 $x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
(4) 要使分式$\frac{x+y}{x^2-y^2}$有意义，则分母$x^2-y^2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ \pm y$。
解析
【分析】
要判断分式有意义的条件，核心依据是“分式的分母不能为0”，统一解题步骤为：①找到每个分式的分母；②令分母不等于0，得到对应不等式；③求解不等式，得到字母的取值范围即可。具体到各小问：(1)分母是一次整式，直接解不等式即可；(2)分母含x的平方，可结合平方的非负性判断分母的取值范围；(3)分母是两个整式的乘积，要使乘积不为0，需两个因式都不为0；(4)分母可因式分解为(x+y)(x-y)，同理要使乘积不为0，两个因式都不能为0。
【解析】
(1) 要使分式$\frac{2x-3}{3x+2}$有意义，则分母$3x+2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ -\frac{2}{3}$。
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2+1}$有意义，则分母$x^2+1 ≠ 0$。
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2+1 ＞ 0$恒成立，
因此不论$x$取任何实数，该分式都有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x+2)}$有意义，则分母$x(x+2) ≠ 0$，
解得 $x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
(4) 要使分式$\frac{x+y}{x^2-y^2}$有意义，则分母$x^2-y^2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ \pm y$。
【答案】
(1) $x≠-\frac{2}{3}$；
(2) $x$为全体实数；
(3) $x≠0$且$x≠-2$；
(4) $x≠±y$
【知识点】
分式有意义的条件、不等式求解、平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，解题时需注意分母为多个因式乘积的形式时，要保证每个因式都不为0，避免出现漏解的情况，遇到含偶次幂的分母可结合非负性快速判断取值范围，是掌握分式概念必须熟练的基础题型。
【难度系数】
0.85
要判断分式有意义的条件，核心依据是“分式的分母不能为0”，统一解题步骤为：①找到每个分式的分母；②令分母不等于0，得到对应不等式；③求解不等式，得到字母的取值范围即可。具体到各小问：(1)分母是一次整式，直接解不等式即可；(2)分母含x的平方，可结合平方的非负性判断分母的取值范围；(3)分母是两个整式的乘积，要使乘积不为0，需两个因式都不为0；(4)分母可因式分解为(x+y)(x-y)，同理要使乘积不为0，两个因式都不能为0。
【解析】
(1) 要使分式$\frac{2x-3}{3x+2}$有意义，则分母$3x+2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ -\frac{2}{3}$。
(2) 要使分式$\frac{2}{x^2+1}$有意义，则分母$x^2+1 ≠ 0$。
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2+1 ＞ 0$恒成立，
因此不论$x$取任何实数，该分式都有意义。
(3) 要使分式$\frac{3x}{x(x+2)}$有意义，则分母$x(x+2) ≠ 0$，
解得 $x ≠ 0$，且$x ≠ -2$。
(4) 要使分式$\frac{x+y}{x^2-y^2}$有意义，则分母$x^2-y^2 ≠ 0$，
解得 $x ≠ \pm y$。
【答案】
(1) $x≠-\frac{2}{3}$；
(2) $x$为全体实数；
(3) $x≠0$且$x≠-2$；
(4) $x≠±y$
【知识点】
分式有意义的条件、不等式求解、平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查分式有意义的判定规则，解题时需注意分母为多个因式乘积的形式时，要保证每个因式都不为0，避免出现漏解的情况，遇到含偶次幂的分母可结合非负性快速判断取值范围，是掌握分式概念必须熟练的基础题型。
【难度系数】
0.85
1. 在$-\dfrac{1}{π}$，$\dfrac{3}{x}$，$\dfrac{x+1}{4}$，$\dfrac{x}{x+y}$中，分式的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
要判断分式的个数，首先需要明确分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且B中含有字母（B≠0），则$\frac{A}{B}$是分式。判断时核心看分母是否含有字母，注意特殊值π是圆周率，属于固定常数，不是字母，接下来逐个分析给出的4个式子即可得出结果。
【解析】
根据分式的定义逐个判断：
1. 对于$-\dfrac{1}{π}$：π是固定的常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
2. 对于$\dfrac{3}{x}$：分母为x，含有字母，符合分式的定义，是分式；
3. 对于$\dfrac{x+1}{4}$：分母是4，属于常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. 对于$\dfrac{x}{x+y}$：分母为$x+y$，含有字母，符合分式的定义，是分式。
综上，分式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式与分式的判别
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题的易错点是容易误将π当作字母判断，从而多算分式个数，牢记分式定义、明确π的属性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断分式的个数，首先需要明确分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B都是整式，且B中含有字母（B≠0），则$\frac{A}{B}$是分式。判断时核心看分母是否含有字母，注意特殊值π是圆周率，属于固定常数，不是字母，接下来逐个分析给出的4个式子即可得出结果。
【解析】
根据分式的定义逐个判断：
1. 对于$-\dfrac{1}{π}$：π是固定的常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
2. 对于$\dfrac{3}{x}$：分母为x，含有字母，符合分式的定义，是分式；
3. 对于$\dfrac{x+1}{4}$：分母是4，属于常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. 对于$\dfrac{x}{x+y}$：分母为$x+y$，含有字母，符合分式的定义，是分式。
综上，分式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式与分式的判别
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题的易错点是容易误将π当作字母判断，从而多算分式个数，牢记分式定义、明确π的属性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 当分式$\frac{1}{x+2}$的值为正数时，$x$的取值范围是（
A.$x≥-2$
B.$x＞-2$
C.$x≠-2$
D.任意实数
B
）A.$x≥-2$
B.$x＞-2$
C.$x≠-2$
D.任意实数
答案
2. B
解析
【分析】
要确定分式的值为正数时x的取值范围，需分两步思考：首先分式要有意义，即分母不能为0；其次根据有理数除法“同号得正”的符号规律，分子分母符号相同时分式值为正。本题中分子是1，恒为正数，因此只需保证分母为正数即可，同时分母为正已经自然满足分母不为0的要求，最后解关于x的不等式就能得到结果。
【解析】
已知分式$\frac{1}{x+2}$的值为正数：
1. 该分式的分子为$1$，$1＞0$，根据“两数相除，同号得正”，可得分母也必须为正数，即$x+2＞0$；
2. 解不等式$x+2＞0$，移项得$x＞-2$，此时分母$x+2≠0$，分式有意义。
因此x的取值范围是$x＞-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式值的正负判定；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式值的符号判断规则，解题时需牢记分式有意义的前提，结合有理数除法的符号规律列式求解即可，易错点是部分同学会误判分母的符号要求，或者忽略分母不能为0的限制，本题中求解分母为正的不等式已经自动排除了分母为0的情况，降低了出错概率。
【难度系数】
0.9
要确定分式的值为正数时x的取值范围，需分两步思考：首先分式要有意义，即分母不能为0；其次根据有理数除法“同号得正”的符号规律，分子分母符号相同时分式值为正。本题中分子是1，恒为正数，因此只需保证分母为正数即可，同时分母为正已经自然满足分母不为0的要求，最后解关于x的不等式就能得到结果。
【解析】
已知分式$\frac{1}{x+2}$的值为正数：
1. 该分式的分子为$1$，$1＞0$，根据“两数相除，同号得正”，可得分母也必须为正数，即$x+2＞0$；
2. 解不等式$x+2＞0$，移项得$x＞-2$，此时分母$x+2≠0$，分式有意义。
因此x的取值范围是$x＞-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式值的正负判定；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式值的符号判断规则，解题时需牢记分式有意义的前提，结合有理数除法的符号规律列式求解即可，易错点是部分同学会误判分母的符号要求，或者忽略分母不能为0的限制，本题中求解分母为正的不等式已经自动排除了分母为0的情况，降低了出错概率。
【难度系数】
0.9
3. 若$|a|=6$，$b=2$，且$a+b＜0$，则$\frac{a}{b}$的值是（
A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$-\frac{1}{3}$
B
）A.3
B.$-3$
C.$\pm3$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，先根据绝对值的性质确定a的所有可能取值；第二步，结合题目给出的a+b＜0的限制条件，代入b=2筛选出符合要求的a的取值；第三步，将确定的a、b的值代入$\frac{a}{b}$计算即可得到结果。
【解析】
1. 由绝对值的性质可知，若$|a|=6$，则$a=6$或$a=-6$；
2. 已知$b=2$，结合$a+b＜0$的条件筛选a的取值：
当$a=6$时，$a+b=6+2=8＞0$，不符合要求，舍去；
当$a=-6$时，$a+b=-6+2=-4＜0$，符合要求，因此$a=-6$；
3. 代入计算$\frac{a}{b}=\frac{-6}{2}=-3$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，有理数加法运算，有理数除法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，易错点是容易忽略$a+b＜0$的限制条件，直接取a的两个值计算得到$\pm3$，解题时要注意结合所有给定条件先筛选字母的有效取值再计算。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，先根据绝对值的性质确定a的所有可能取值；第二步，结合题目给出的a+b＜0的限制条件，代入b=2筛选出符合要求的a的取值；第三步，将确定的a、b的值代入$\frac{a}{b}$计算即可得到结果。
【解析】
1. 由绝对值的性质可知，若$|a|=6$，则$a=6$或$a=-6$；
2. 已知$b=2$，结合$a+b＜0$的条件筛选a的取值：
当$a=6$时，$a+b=6+2=8＞0$，不符合要求，舍去；
当$a=-6$时，$a+b=-6+2=-4＜0$，符合要求，因此$a=-6$；
3. 代入计算$\frac{a}{b}=\frac{-6}{2}=-3$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，有理数加法运算，有理数除法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，易错点是容易忽略$a+b＜0$的限制条件，直接取a的两个值计算得到$\pm3$，解题时要注意结合所有给定条件先筛选字母的有效取值再计算。
【难度系数】
0.7
4. 已知$y=\dfrac{x^2}{2-3x}$。
（1）当$x$取何值时，$y$的值是0？
（2）当$x$取何值时，$y$的值是负数？
（1）当$x$取何值时，$y$的值是0？
（2）当$x$取何值时，$y$的值是负数？
答案
解 （1）由题意得$\frac{x^2}{2-3x}=0$，则$x^2=0$，$2-3x≠0$，所以$x=0$。
（2）由题意得$\frac{x^2}{2-3x}＜0$。因为$x^2≥0$，所以$2-3x＜0$，$x^2≠0$，解得$x＞\frac{2}{3}$。
（2）由题意得$\frac{x^2}{2-3x}＜0$。因为$x^2≥0$，所以$2-3x＜0$，$x^2≠0$，解得$x＞\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
（1）求解分式值为0的问题，需牢记两个必要条件：分子的值为0，同时分母不为0，按照这两个条件分别列关系式求解即可。（2）求解分式值为负数的问题，本质是判断分子、分母的符号关系（异号时分式值为负），本题分子是$x^2$，具有非负性（$x^2≥0$），因此只需保证分母为负，且分子不为0（避免分式值为0），据此列不等式求解即可。
【解析】
（1）根据题意得$\dfrac{x^2}{2-3x}=0$，
由分式值为0的条件可得：
$\begin{cases}x^2=0\\2-3x≠0\end{cases}$，
解$x^2=0$得$x=0$，代入$2-3x≠0$验证，满足条件，因此$x=0$。
（2）根据题意得$\dfrac{x^2}{2-3x}＜0$，
$\because x^2≥0$，要使分式的值小于0，需满足：
$\begin{cases}2-3x＜0\\x^2≠0\end{cases}$，
解$2-3x＜0$得$x＞\dfrac{2}{3}$，此时$x$的取值天然满足$x≠0$，即$x^2≠0$，因此解集为$x＞\dfrac{2}{3}$。
【答案】
（1）$x=0$；（2）$x＞\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式值为0的条件；分式符号判断；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式的基础应用题型，解题的核心是注意分式分母不能为0的隐含限制，避免出现多解、错解，第二问利用平方的非负性可以简化运算过程，是常见的解题技巧。
【难度系数】
0.8
（1）求解分式值为0的问题，需牢记两个必要条件：分子的值为0，同时分母不为0，按照这两个条件分别列关系式求解即可。（2）求解分式值为负数的问题，本质是判断分子、分母的符号关系（异号时分式值为负），本题分子是$x^2$，具有非负性（$x^2≥0$），因此只需保证分母为负，且分子不为0（避免分式值为0），据此列不等式求解即可。
【解析】
（1）根据题意得$\dfrac{x^2}{2-3x}=0$，
由分式值为0的条件可得：
$\begin{cases}x^2=0\\2-3x≠0\end{cases}$，
解$x^2=0$得$x=0$，代入$2-3x≠0$验证，满足条件，因此$x=0$。
（2）根据题意得$\dfrac{x^2}{2-3x}＜0$，
$\because x^2≥0$，要使分式的值小于0，需满足：
$\begin{cases}2-3x＜0\\x^2≠0\end{cases}$，
解$2-3x＜0$得$x＞\dfrac{2}{3}$，此时$x$的取值天然满足$x≠0$，即$x^2≠0$，因此解集为$x＞\dfrac{2}{3}$。
【答案】
（1）$x=0$；（2）$x＞\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式值为0的条件；分式符号判断；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式的基础应用题型，解题的核心是注意分式分母不能为0的隐含限制，避免出现多解、错解，第二问利用平方的非负性可以简化运算过程，是常见的解题技巧。
【难度系数】
0.8
