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5. 下列式子一定有意义的是（
A.$\frac{2}{a}$
B.$\frac{1}{x-y}$
C.$\frac{2m}{3m+2}$
D.$\frac{1}{a^2+1}$
D
）A.$\frac{2}{a}$
B.$\frac{1}{x-y}$
C.$\frac{2m}{3m+2}$
D.$\frac{1}{a^2+1}$
答案
5. D
解析
【分析】
要判断哪个分式一定有意义，核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。我们需要逐一分析每个选项的分母，看是否存在使分母等于0的字母取值：如果存在这样的取值，说明分式不是一定有意义；如果无论字母取何实数，分母都恒不为0，那这个分式就一定有意义。
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0，逐个分析选项：
A. 分式$\frac{2}{a}$的分母是$a$，当$a=0$时，分母为0，分式无意义，不符合要求；
B. 分式$\frac{1}{x-y}$的分母是$x-y$，当$x=y$时，$x-y=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
C. 分式$\frac{2m}{3m+2}$的分母是$3m+2$，当$3m+2=0$即$m=-\frac{2}{3}$时，分母为0，分式无意义，不符合要求；
D. 分式$\frac{1}{a^2+1}$的分母是$a^2+1$，根据平方的非负性，任意实数$a$都满足$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，分母永远不会为0，所以该分式一定有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题的关键是熟练掌握分式有意义的判定规则，同时能灵活运用平方的非负性判断代数式的取值范围，这类题型是后续学习分式运算、分式方程的基础。
【难度系数】
0.8
要判断哪个分式一定有意义，核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。我们需要逐一分析每个选项的分母，看是否存在使分母等于0的字母取值：如果存在这样的取值，说明分式不是一定有意义；如果无论字母取何实数，分母都恒不为0，那这个分式就一定有意义。
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0，逐个分析选项：
A. 分式$\frac{2}{a}$的分母是$a$，当$a=0$时，分母为0，分式无意义，不符合要求；
B. 分式$\frac{1}{x-y}$的分母是$x-y$，当$x=y$时，$x-y=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
C. 分式$\frac{2m}{3m+2}$的分母是$3m+2$，当$3m+2=0$即$m=-\frac{2}{3}$时，分母为0，分式无意义，不符合要求；
D. 分式$\frac{1}{a^2+1}$的分母是$a^2+1$，根据平方的非负性，任意实数$a$都满足$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，分母永远不会为0，所以该分式一定有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题的关键是熟练掌握分式有意义的判定规则，同时能灵活运用平方的非负性判断代数式的取值范围，这类题型是后续学习分式运算、分式方程的基础。
【难度系数】
0.8
6. 若分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0，则$x=$（
A.2或-2
B.2
C.-2
D.以上都不对
B
）A.2或-2
B.2
C.-2
D.以上都不对
答案
6. B
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：①分子的取值为0；②分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除会让分母为0的x值，最终得到符合要求的结果。
【解析】
若分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：$|x|-2=0$
解该方程：$|x|=2$，可得$x=2$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x+2≠0$，即$x≠-2$
结合两个条件，需舍去不符合要求的$x=-2$，因此$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，直接根据分子为0误选A选项，解题时务必牢记分式有意义是讨论分式取值的前提，两个条件要同步验证。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：①分子的取值为0；②分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除会让分母为0的x值，最终得到符合要求的结果。
【解析】
若分式$\frac{|x|-2}{x+2}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：$|x|-2=0$
解该方程：$|x|=2$，可得$x=2$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x+2≠0$，即$x≠-2$
结合两个条件，需舍去不符合要求的$x=-2$，因此$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，直接根据分子为0误选A选项，解题时务必牢记分式有意义是讨论分式取值的前提，两个条件要同步验证。
【难度系数】
0.7
7. 已知分式$\frac{x+a}{x-b}$（$a$，$b$为常数）满足下列表格中的信息，则$a + b$的值是
-1
。答案
7. -1
解析
【分析】
解题时先回忆分式的相关核心性质：1. 分式无意义的等价条件是分母等于0；2. 分式的值为0的等价条件是分子等于0，且分母不等于0。接下来结合表格给出的x的取值，分别列方程求出a、b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：① 当$x=1$时，分式$\frac{x+a}{x-b}$无意义，根据分式无意义的条件，分母为0，可得：
$1 - b = 0$，解得$b=1$。
② 当$x=2$时，分式$\frac{x+a}{x-b}$的值为0，根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0：
先对分子列方程：$2 + a = 0$，解得$a=-2$；
验证分母：$2 - b = 2 - 1 = 1 ≠ 0$，符合分式值为0的要求。
因此$a + b = -2 + 1 = -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的关键是牢记分式相关性质的成立条件，尤其要注意分式值为0时，必须同时满足分母不为0，避免遗漏条件导致解题错误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆分式的相关核心性质：1. 分式无意义的等价条件是分母等于0；2. 分式的值为0的等价条件是分子等于0，且分母不等于0。接下来结合表格给出的x的取值，分别列方程求出a、b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
解：① 当$x=1$时，分式$\frac{x+a}{x-b}$无意义，根据分式无意义的条件，分母为0，可得：
$1 - b = 0$，解得$b=1$。
② 当$x=2$时，分式$\frac{x+a}{x-b}$的值为0，根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0：
先对分子列方程：$2 + a = 0$，解得$a=-2$；
验证分母：$2 - b = 2 - 1 = 1 ≠ 0$，符合分式值为0的要求。
因此$a + b = -2 + 1 = -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的关键是牢记分式相关性质的成立条件，尤其要注意分式值为0时，必须同时满足分母不为0，避免遗漏条件导致解题错误。
【难度系数】
0.8
8. 当 $ x $ 的取值范围是多少时，
（1）分式 $\frac{2x+1}{|x|-3}$ 有意义？
（2）分式 $\frac{3x-6}{x^2+1}$ 的值为负数？
（1）分式 $\frac{2x+1}{|x|-3}$ 有意义？
（2）分式 $\frac{3x-6}{x^2+1}$ 的值为负数？
答案
解 （1）由题意得$|x|-3≠0$，解得$x≠±3$。
（2）由题意得$3x-6＜0$，且$x^2+1≠0$，解得$x＜2$。
（2）由题意得$3x-6＜0$，且$x^2+1≠0$，解得$x＜2$。
解析
【分析】
本题分两小问考查分式的相关性质，解题思路如下：
（1）要使分式有意义，需满足分式的分母不为0，因此只需令本题中分式的分母$|x|-3$不等于0，解出$x$的取值范围即可；
（2）要使分式的值为负数，需满足分子和分母异号，首先观察分母$x^2+1$，根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1$恒大于0，永远不可能为0，所以只需令分子$3x-6$小于0，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$|x|-3≠0$
即$|x|≠3$，解得$x≠±3$。
（2）要使分式的值为负数，需分子分母异号：
$\because x^2≥0$，$\therefore x^2+1≥1＞0$，分母恒为正数，
$\therefore$ 只需分子$3x-6＜0$，
解不等式$3x-6＜0$，移项得$3x＜6$，解得$x＜2$。
【答案】
（1）$x≠±3$；（2）$x＜2$
【知识点】
1. 分式有意义的条件；2. 分式值的符号判定；3. 平方的非负性
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，解题的关键是牢记分式有意义的判定规则，分析分式值的符号时要先判断分母的正负性，可简化计算过程，做题时注意不要漏解绝对值不等式的情况。
【难度系数】
0.8
本题分两小问考查分式的相关性质，解题思路如下：
（1）要使分式有意义，需满足分式的分母不为0，因此只需令本题中分式的分母$|x|-3$不等于0，解出$x$的取值范围即可；
（2）要使分式的值为负数，需满足分子和分母异号，首先观察分母$x^2+1$，根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1$恒大于0，永远不可能为0，所以只需令分子$3x-6$小于0，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$|x|-3≠0$
即$|x|≠3$，解得$x≠±3$。
（2）要使分式的值为负数，需分子分母异号：
$\because x^2≥0$，$\therefore x^2+1≥1＞0$，分母恒为正数，
$\therefore$ 只需分子$3x-6＜0$，
解不等式$3x-6＜0$，移项得$3x＜6$，解得$x＜2$。
【答案】
（1）$x≠±3$；（2）$x＜2$
【知识点】
1. 分式有意义的条件；2. 分式值的符号判定；3. 平方的非负性
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，解题的关键是牢记分式有意义的判定规则，分析分式值的符号时要先判断分母的正负性，可简化计算过程，做题时注意不要漏解绝对值不等式的情况。
【难度系数】
0.8
9. 求当 $ x $ 为何值时，下列各分式的值为零：
(1) $-\dfrac{2x}{3x+1}$；
(2) $\dfrac{x-1}{x^2+1}$；
(3) $\dfrac{x^2 -1}{x-1}$；
(4) $\dfrac{x^2 -4}{(x+1)(x-2)}$。
(1) $-\dfrac{2x}{3x+1}$；
(2) $\dfrac{x-1}{x^2+1}$；
(3) $\dfrac{x^2 -1}{x-1}$；
(4) $\dfrac{x^2 -4}{(x+1)(x-2)}$。
答案
解 （1）由题意得$2x=0$且$3x+1≠0$，解得$x=0$。即当$x=0$时，分式$-\frac{2x}{3x+1}$的值为零。
（2）由题意得$x-1=0$且$x^2+1≠0$，解得$x=1$。即当$x=1$时，分式$\frac{x-1}{x^2+1}$的值为零。
（3）由题意得$x^2-1=0$且$x-1≠0$，解得$x=-1$。即当$x=-1$时，分式$\frac{x^2-1}{x-1}$的值为零。
（4）由题意得$x^2-4=0$且$(x+1)(x-2)≠0$，解得$x=-2$。即当$x=-2$时，分式$\frac{x^2-4}{(x+1)(x-2)}$的值为零。
（2）由题意得$x-1=0$且$x^2+1≠0$，解得$x=1$。即当$x=1$时，分式$\frac{x-1}{x^2+1}$的值为零。
（3）由题意得$x^2-1=0$且$x-1≠0$，解得$x=-1$。即当$x=-1$时，分式$\frac{x^2-1}{x-1}$的值为零。
（4）由题意得$x^2-4=0$且$(x+1)(x-2)≠0$，解得$x=-2$。即当$x=-2$时，分式$\frac{x^2-4}{(x+1)(x-2)}$的值为零。
解析
【分析】
解决分式值为零的问题，需牢记两个必须同时满足的核心条件：①分式的分子的值为0；②分式的分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求出使分子为0的未知数的取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的取值，剩余的就是符合要求的结果。
【解析】
(1) 根据分式值为零的条件列要求：$\begin{cases}2x=0 \\ 3x+1≠0\end{cases}$，解$2x=0$得$x=0$，代入分母验证：$3×0+1=1≠0$，符合要求，即$x=0$。
(2) 根据题意列要求：$\begin{cases}x-1=0 \\ x^2+1≠0\end{cases}$，解$x-1=0$得$x=1$，因$x^2≥0$，故$x^2+1≥1$恒不为0，符合要求，即$x=1$。
(3) 根据题意列要求：$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x-1≠0\end{cases}$，解$x^2-1=0$得$x=\pm1$，又$x-1≠0$即$x≠1$，排除$x=1$后得$x=-1$，符合要求，即$x=-1$。
(4) 根据题意列要求：$\begin{cases}x^2-4=0 \\ (x+1)(x-2)≠0\end{cases}$，解$x^2-4=0$得$x=\pm2$，又$(x+1)(x-2)≠0$即$x≠-1$且$x≠2$，排除$x=2$后得$x=-2$，符合要求，即$x=-2$。
【答案】
(1)$x=0$；(2)$x=1$；(3)$x=-1$；(4)$x=-2$
【知识点】
分式值为零的条件、分式有意义的条件、解方程
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，尤其当分子和分母存在公因式时，不可直接约分化简后再求分子为0的解，必须先保证原分式有意义，再筛选符合要求的取值。
【难度系数】
0.7
解决分式值为零的问题，需牢记两个必须同时满足的核心条件：①分式的分子的值为0；②分式的分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先求出使分子为0的未知数的取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的取值，剩余的就是符合要求的结果。
【解析】
(1) 根据分式值为零的条件列要求：$\begin{cases}2x=0 \\ 3x+1≠0\end{cases}$，解$2x=0$得$x=0$，代入分母验证：$3×0+1=1≠0$，符合要求，即$x=0$。
(2) 根据题意列要求：$\begin{cases}x-1=0 \\ x^2+1≠0\end{cases}$，解$x-1=0$得$x=1$，因$x^2≥0$，故$x^2+1≥1$恒不为0，符合要求，即$x=1$。
(3) 根据题意列要求：$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x-1≠0\end{cases}$，解$x^2-1=0$得$x=\pm1$，又$x-1≠0$即$x≠1$，排除$x=1$后得$x=-1$，符合要求，即$x=-1$。
(4) 根据题意列要求：$\begin{cases}x^2-4=0 \\ (x+1)(x-2)≠0\end{cases}$，解$x^2-4=0$得$x=\pm2$，又$(x+1)(x-2)≠0$即$x≠-1$且$x≠2$，排除$x=2$后得$x=-2$，符合要求，即$x=-2$。
【答案】
(1)$x=0$；(2)$x=1$；(3)$x=-1$；(4)$x=-2$
【知识点】
分式值为零的条件、分式有意义的条件、解方程
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，尤其当分子和分母存在公因式时，不可直接约分化简后再求分子为0的解，必须先保证原分式有意义，再筛选符合要求的取值。
【难度系数】
0.7
