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8. 根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（
D
）答案
8. D
解析
【分析】
要解决本题，需结合三角形内角和为180°、等腰三角形“等角对等边”的判定性质，逐个验证每个选项的三角形是否可通过一条直线分割得到两个等腰三角形。验证时可尝试将原三角形的某一个内角拆分为两个角，分别作为分割后两个小三角形的内角，判断两个小三角形是否均满足“有两个内角相等”的等腰三角形判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形三个内角为10°、20°、150°。将150°的角拆分为10°和140°：
其中一个小三角形有两个10°的内角，是等腰三角形；
另一个小三角形的内角为140°、20°，第三个内角为$180°-140°-20°=20°$，存在两个20°的内角，也是等腰三角形，因此A可以分割。
2. 选项B：三角形三个内角为75°、80°、25°。将75°的角拆分为25°和50°：
其中一个小三角形有两个25°的内角，是等腰三角形；
另一个小三角形的内角为80°、50°，第三个内角为$180°-80°-50°=50°$，存在两个50°的内角，也是等腰三角形，因此B可以分割。
3. 选项C：该三角形是直角三角形。将90°的直角拆分为分别等于另外两个锐角的度数：
拆分出的两个角分别和原三角形的两个锐角相等，得到的两个小三角形均有两个相等的内角，均为等腰三角形，因此C可以分割。
4. 选项D：三角形三个内角为42°、46°、92°。尝试所有拆分方式：
若拆分92°的角：拆为42°+50°时，剩余小三角形内角为46°、50°、84°，无相等内角；拆为46°+46°时，剩余小三角形内角为42°、46°、92°，无相等内角；
若拆分42°或46°的角，均无法得到两个同时满足等腰条件的小三角形，因此D不能分割。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的灵活运用，解题时需要全面考虑不同的角度拆分方式，逐一验证是否符合要求，能够锻炼学生的分类讨论思维和运算验证能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合三角形内角和为180°、等腰三角形“等角对等边”的判定性质，逐个验证每个选项的三角形是否可通过一条直线分割得到两个等腰三角形。验证时可尝试将原三角形的某一个内角拆分为两个角，分别作为分割后两个小三角形的内角，判断两个小三角形是否均满足“有两个内角相等”的等腰三角形判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形三个内角为10°、20°、150°。将150°的角拆分为10°和140°：
其中一个小三角形有两个10°的内角，是等腰三角形；
另一个小三角形的内角为140°、20°，第三个内角为$180°-140°-20°=20°$，存在两个20°的内角，也是等腰三角形，因此A可以分割。
2. 选项B：三角形三个内角为75°、80°、25°。将75°的角拆分为25°和50°：
其中一个小三角形有两个25°的内角，是等腰三角形；
另一个小三角形的内角为80°、50°，第三个内角为$180°-80°-50°=50°$，存在两个50°的内角，也是等腰三角形，因此B可以分割。
3. 选项C：该三角形是直角三角形。将90°的直角拆分为分别等于另外两个锐角的度数：
拆分出的两个角分别和原三角形的两个锐角相等，得到的两个小三角形均有两个相等的内角，均为等腰三角形，因此C可以分割。
4. 选项D：三角形三个内角为42°、46°、92°。尝试所有拆分方式：
若拆分92°的角：拆为42°+50°时，剩余小三角形内角为46°、50°、84°，无相等内角；拆为46°+46°时，剩余小三角形内角为42°、46°、92°，无相等内角；
若拆分42°或46°的角，均无法得到两个同时满足等腰条件的小三角形，因此D不能分割。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的灵活运用，解题时需要全面考虑不同的角度拆分方式，逐一验证是否符合要求，能够锻炼学生的分类讨论思维和运算验证能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$∠ AOB=60°$，C是BO延长线上一点，OC=12 cm，动点P从点C出发沿CB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=
第9题图
4或12
s时，$△ POQ$是等腰三角形。 第9题图答案
9. 4或12
解析
【分析】要使△POQ为等腰三角形，需根据动点P的位置分两种情况讨论：①点P在点O左侧（未经过O点）；②点P在点O右侧（已经过O点）。先分别用含t的代数式表示两种情况下OP、OQ的长度，再结合等腰三角形两腰相等的性质列方程求解，最后验证解是否符合对应情况的时间范围即可。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当点P在点O左侧，即$0≤ t＜6$时：
此时$OP=OC-CP=12-2t$，$OQ=t$，
$∠ POQ=180°-∠ AOB=180°-60°=120°$，
若△POQ为等腰三角形，120°只能为顶角，因此两腰为OP和OQ，即$OP=OQ$，
列方程：$12-2t=t$，
解得$t=4$，符合$0≤ t＜6$的范围。
2. 当点P在点O右侧，即$t≥6$时：
此时$OP=CP-OC=2t-12$，$OQ=t$，
$∠ POQ=∠ AOB=60°$，
若△POQ为等腰三角形，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此$OP=OQ$，
列方程：$2t-12=t$，
解得$t=12$，符合$t≥6$的范围。
综上，t的值为4或12。
【答案】4或12
【知识点】等腰三角形的性质，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】本题是动点与等腰三角形结合的典型题型，解题的核心是根据动点的位置分类讨论，避免漏解，同时结合角度特征可以快速判断等腰三角形的腰的对应关系，简化计算过程。
【难度系数】0.6
【解析】分两种情况讨论：
1. 当点P在点O左侧，即$0≤ t＜6$时：
此时$OP=OC-CP=12-2t$，$OQ=t$，
$∠ POQ=180°-∠ AOB=180°-60°=120°$，
若△POQ为等腰三角形，120°只能为顶角，因此两腰为OP和OQ，即$OP=OQ$，
列方程：$12-2t=t$，
解得$t=4$，符合$0≤ t＜6$的范围。
2. 当点P在点O右侧，即$t≥6$时：
此时$OP=CP-OC=2t-12$，$OQ=t$，
$∠ POQ=∠ AOB=60°$，
若△POQ为等腰三角形，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此$OP=OQ$，
列方程：$2t-12=t$，
解得$t=12$，符合$t≥6$的范围。
综上，t的值为4或12。
【答案】4或12
【知识点】等腰三角形的性质，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】本题是动点与等腰三角形结合的典型题型，解题的核心是根据动点的位置分类讨论，避免漏解，同时结合角度特征可以快速判断等腰三角形的腰的对应关系，简化计算过程。
【难度系数】0.6
10. 如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E. 若∠ABC=64°，∠C=29°，AB=4，BC=10，求AE的长. 
答案
10. 解：如图，延长AE交BC于点F.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠FBE. 在△ABE 和△FBE中，$\begin{cases} ∠AEB=∠FEB=90°, \\ BE=BE, \\ ∠ABE=∠FBE, \end{cases}$
∴△ABE ≅ △FBE（ASA），
∴AE=EF，AB=BF=4，
∴∠BAF=∠BFA=$\frac{1}{2}$×(180°−64°)=58°.
∵∠C=29°，
∴∠CAF=∠AFB−∠C=29°，
∴∠CAF=∠C，
∴AF=CF.
∵BC=10，
∴CF=BC−BF=6，
∴AF=6，
∴AE=3.
解析
【分析】
遇到“角平分线+垂直于角平分线的线段”这类结构，可通过延长垂线段构造全等三角形解题：第一步先延长AE交BC于点F，利用角平分线的定义、公共边BE和两个直角，证明△ABE与△FBE全等，得到AB=BF、AE=EF，明确AE是AF的一半；第二步通过角度计算，结合三角形外角的性质推导∠CAF=∠C，得到AF=CF，实现线段关系的转化；最后结合已知的BC、AB长度求出CF即AF的长度，即可求出AE的长。
【解析】
解：如图，延长AE交BC于点F.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠FBE.
在△ABE 和△FBE中，
$\begin{cases} ∠AEB=∠FEB=90°, \\ BE=BE, \\ ∠ABE=∠FBE, \end{cases}$
∴△ABE ≅ △FBE（ASA），
∴AE=EF，AB=BF=4，
∴∠BAF=∠BFA=$\frac{1}{2}$×(180°−64°)=58°.
∵∠C=29°，∠AFB是△AFC的外角，
∴∠CAF=∠AFB−∠C=58°−29°=29°，
∴∠CAF=∠C，
∴AF=CF.
∵BC=10，
∴CF=BC−BF=10−4=6，
∴AF=6，
又
∵AE=EF，
∴AE=$\frac{1}{2}$AF=3.
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查几何中常见的辅助线模型应用，解题关键是掌握“角平分线+垂线构造全等三角形”的辅助线作法，结合角度推导得到等腰三角形，实现线段关系的转化，这类题型是线段计算类几何题的常考类型，需要熟练掌握对应的解题思路。
【难度系数】
0.6
遇到“角平分线+垂直于角平分线的线段”这类结构，可通过延长垂线段构造全等三角形解题：第一步先延长AE交BC于点F，利用角平分线的定义、公共边BE和两个直角，证明△ABE与△FBE全等，得到AB=BF、AE=EF，明确AE是AF的一半；第二步通过角度计算，结合三角形外角的性质推导∠CAF=∠C，得到AF=CF，实现线段关系的转化；最后结合已知的BC、AB长度求出CF即AF的长度，即可求出AE的长。
【解析】
解：如图，延长AE交BC于点F.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠FBE.
在△ABE 和△FBE中，
$\begin{cases} ∠AEB=∠FEB=90°, \\ BE=BE, \\ ∠ABE=∠FBE, \end{cases}$
∴△ABE ≅ △FBE（ASA），
∴AE=EF，AB=BF=4，
∴∠BAF=∠BFA=$\frac{1}{2}$×(180°−64°)=58°.
∵∠C=29°，∠AFB是△AFC的外角，
∴∠CAF=∠AFB−∠C=58°−29°=29°，
∴∠CAF=∠C，
∴AF=CF.
∵BC=10，
∴CF=BC−BF=10−4=6，
∴AF=6，
又
∵AE=EF，
∴AE=$\frac{1}{2}$AF=3.
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查几何中常见的辅助线模型应用，解题关键是掌握“角平分线+垂线构造全等三角形”的辅助线作法，结合角度推导得到等腰三角形，实现线段关系的转化，这类题型是线段计算类几何题的常考类型，需要熟练掌握对应的解题思路。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$CA$延长线上一点，且$DE ⊥ BC$交$AB$于点$F$.
（1）求证：$△ ADF$是等腰三角形.
（2）在（1）的条件下（如图2），$F$为$AB$的中点. 求证：$DF=2FE$.
（1）求证：$△ ADF$是等腰三角形.
（2）在（1）的条件下（如图2），$F$为$AB$的中点. 求证：$DF=2FE$.
答案
11. 证明： （1）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵ED⊥BC，
∴∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，又
∵∠DFA = ∠BFE，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，
∴△ADF 是等腰三角形.
（2）过点 A 作 AG ⊥ DE 于点 G，
∵AD = AF，AG ⊥ DF，
∴GF=$\frac{1}{2}$DF. 又
∵AG ⊥ DE，BE ⊥ DE，
∴∠AGF=∠BEF. 又
∵F 为 AB 的中点，
∴AF=BF. 在△AGF 与 △BEF 中，
∵$\begin{cases} ∠AGF=∠BEF, \\ ∠AFC=∠BFE, \\ AF=BF, \end{cases}$
∴△AGF≅△BEF（AAS），
∴EF=FG，
∴DF=2FE.
解析
【分析】
（1）要证明△ADF是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等，即∠D=∠AFD。首先根据等腰△ABC中AB=AC，可得底角∠B=∠C；再由DE⊥BC，可得∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°，根据等角的余角相等推出∠D=∠BFE；最后结合对顶角相等∠BFE=∠AFD，即可得到∠D=∠AFD，从而判定△ADF为等腰三角形。
（2）要证明DF=2FE，可先利用等腰三角形三线合一的性质将DF拆分。过点A作AG⊥DE于G，由（1）中AD=AF，可得GF=$\frac{1}{2}$DF，此时只需证明GF=EF即可。由AG⊥DE、BE⊥DE可得∠AGF=∠BEF=90°，结合F是AB中点得AF=BF，再加一组对顶角∠AFG=∠BFE，可通过AAS证明△AGF≌△BEF，从而得到EF=GF，等量代换后即可得DF=2FE。
【解析】
（1）证明：
∵$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ C$，
∵$ED⊥ BC$，
∴$∠ D+∠ C=90°$，$∠ B+∠ BFE=90°$，
∴$∠ D=∠ BFE$，
又
∵$∠ DFA = ∠ BFE$（对顶角相等），
∴$∠ D=∠ AFD$，
∴$AD=AF$，
∴$△ ADF$是等腰三角形。
（2）证明：
过点$A$作$AG ⊥ DE$于点$G$，
∵$AD = AF$，$AG ⊥ DF$，
∴$GF=\frac{1}{2}DF$（等腰三角形三线合一），
∵$AG ⊥ DE$，$BE ⊥ DE$，
∴$∠ AGF=∠ BEF=90°$，
∵$F$为$AB$的中点，
∴$AF=BF$，
在$△ AGF$与 $△ BEF$中：
$\begin{cases} ∠ AGF=∠ BEF \\∠ AFG=∠ BFE \\AF=BF \end{cases}$
∴$△ AGF≅△ BEF$（AAS），
∴$EF=FG$，
∴$DF=2FG=2FE$，即$DF=2FE$。
【答案】
（1）（2）证明见上述解析。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定（AAS）；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问侧重等腰三角形判定的基础应用，第二问需要结合辅助线构造全等三角形转化线段关系，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和全等三角形的相关性质，是等腰三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADF是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等，即∠D=∠AFD。首先根据等腰△ABC中AB=AC，可得底角∠B=∠C；再由DE⊥BC，可得∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°，根据等角的余角相等推出∠D=∠BFE；最后结合对顶角相等∠BFE=∠AFD，即可得到∠D=∠AFD，从而判定△ADF为等腰三角形。
（2）要证明DF=2FE，可先利用等腰三角形三线合一的性质将DF拆分。过点A作AG⊥DE于G，由（1）中AD=AF，可得GF=$\frac{1}{2}$DF，此时只需证明GF=EF即可。由AG⊥DE、BE⊥DE可得∠AGF=∠BEF=90°，结合F是AB中点得AF=BF，再加一组对顶角∠AFG=∠BFE，可通过AAS证明△AGF≌△BEF，从而得到EF=GF，等量代换后即可得DF=2FE。
【解析】
（1）证明：
∵$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ C$，
∵$ED⊥ BC$，
∴$∠ D+∠ C=90°$，$∠ B+∠ BFE=90°$，
∴$∠ D=∠ BFE$，
又
∵$∠ DFA = ∠ BFE$（对顶角相等），
∴$∠ D=∠ AFD$，
∴$AD=AF$，
∴$△ ADF$是等腰三角形。
（2）证明：
过点$A$作$AG ⊥ DE$于点$G$，
∵$AD = AF$，$AG ⊥ DF$，
∴$GF=\frac{1}{2}DF$（等腰三角形三线合一），
∵$AG ⊥ DE$，$BE ⊥ DE$，
∴$∠ AGF=∠ BEF=90°$，
∵$F$为$AB$的中点，
∴$AF=BF$，
在$△ AGF$与 $△ BEF$中：
$\begin{cases} ∠ AGF=∠ BEF \\∠ AFG=∠ BFE \\AF=BF \end{cases}$
∴$△ AGF≅△ BEF$（AAS），
∴$EF=FG$，
∴$DF=2FG=2FE$，即$DF=2FE$。
【答案】
（1）（2）证明见上述解析。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定（AAS）；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问侧重等腰三角形判定的基础应用，第二问需要结合辅助线构造全等三角形转化线段关系，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和全等三角形的相关性质，是等腰三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
