11. [2025 南京金陵中学仙林分校月考] 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5,BC=8$,以点A为圆心作一个半径为3的圆,下列结论中正确的是 ()

A.点B在$\odot A$内
B.直线BC与$\odot A$相离
C.点C在$\odot A$上
D.直线BC与$\odot A$相切

如图,过点A作$AH⊥BC$于点H.
∵ $AB = AC = 5$,
∴ $BH = CH = \frac{1}{2}BC = 4$. 在$Rt△ABH$中,$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$.
∵ $AB = 5 ＞ 3$,
∴ 点B在⊙A外,
∴ A项不符合题意;
∵ $AC = 5 ＞ 3$,
∴ 点C在⊙A外,
∴ C项不符合题意;
∵ $AH = 3$,$AH⊥BC$,
∴ 直线BC与⊙A相切,
∴ D项符合题意,B项不符合题意.

12. [2026 泰州靖江月考]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=3\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,以点$C$为圆心,以$3.5\ \mathrm{cm}$为半径作圆,则$\odot C$与边$AB$的公共点个数为 ()

A.0
B.1
C.2
D.不确定

过点C作$CD⊥AB$于点D,设$\odot C$的半径为r.
∵ $∠ACB = 90°$,$AC = 3$,$BC = 4$,
∴ $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$.
∵ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·CD$,
∴ $\frac{1}{2}×3×4 = \frac{1}{2}×5×CD$,解得$CD = 2.4$.
∵ $r = 3.5$,
∴ $CD ＜ r$,
∴ 点D在⊙C内.
∵ $AC = 3$,
∴ $AC ＜ r$,
∴ 点A在⊙C内.
∵ $BC = 4$,
∴ $BC ＞ r$,
∴ 点B在⊙C外,
∴ ⊙C与边AB只有一个公共点.

13. [2026南京科利华中学月考] 在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(2,1),若⊙A与坐标轴有三个公共点,则⊙A的半径为.

∵ $A(2,1)$,
∴ 点A到x轴的距离为1,到y轴的距离为2. 当⊙A与y轴相切时,⊙A与x轴有2个交点,所以⊙A与坐标轴恰好有三个公共点,此时$r=2$;当⊙A经过原点时,圆与坐标轴恰好有三个公共点,此时$r = OA = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. 综上,⊙A的半径为2或$\sqrt{5}$.

14. [2026 泰州中学附中月考] 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C = 90°$,$AC = 4$,$BC = 2$,点$O$在$△ ABC$内部,以$O$为圆心,$OC$长为半径的圆与直线$AB$相离,则$OC$的取值范围是。

在$△ABC$中,
∵ $∠ACB = 90°$,$AC = 4$,$BC = 2$,
∴ $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 2\sqrt{5}$. 设⊙O与直线AB相切时,切点为E,过点C作$CD⊥AB$于D,连接CE.
∵ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BC$,
∴ $\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×CD = \frac{1}{2}×4×2$,解得$CD = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∵ $OC + OE ≥ CE ≥ CD$,
∴ $2OC ≥ CD$,
∴ $OC ≥ \frac{1}{2}CD$.
∴ 当点E与点D重合,O,C,D在一条直线上时,OC有最小值,最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴ 当⊙O与直线AB相离时,OC的取值范围是$0 ＜ OC ＜ \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

15. [2025 南通海门市东洲国际学校期中] 在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l$经过点$A(-3,0)$，点$B(0,\sqrt{3})$，点$P$的坐标为$(1,0)$，$\odot P$与$y$轴相切于点$O$.若将$\odot P$沿$x$轴向左平移，平移后得到$\odot P'$(点$P$的对应点为点$P'$)，当$\odot P'$与直线$l$相交时，横坐标为整数的点$P'$共有个.

如图,
∵ 点P的坐标为$(1,0)$,$\odot P$与y轴相切于点O,
∴ ⊙P的半径是1. 当$\odot P'$与直线l第一次相切时,设切点为D.
∵ $A(-3,0)$,$B(0,\sqrt{3})$,
∴ $OA = 3$,$OB = \sqrt{3}$,
∴ $AB = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{3}$,$∠DAM = 30°$. 设平移后圆与直线l第一次相切时圆心为点M(即对应的点$P'$),则$MD⊥AB$,$MD=1$.
又
∵ $∠DAM = 30°$,
∴ $AM = 2$,
∴ 点M的坐标为$(-1,0)$,即对应的点$P'$的坐标为$(-1,0)$. 同理可得,圆与直线l第二次相切时圆心N的坐标为$(-5,0)$. 综上可知,当$\odot P'$与直线l相交时,横坐标为整数的点$P'$的横坐标可以是$-2,-3,-4$,即当$\odot P'$与直线l相交时,横坐标为整数的点$P'$共有3个.

16.如图，P是直线$y=2x$上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作$\odot P$，设点P的坐标为$(x,y)$。
(1)求当x为何值时，$\odot P$与直线$y=3$相切，并求点P的坐标。
(2)直接写出当x为何值时，$\odot P$与直线$y=3$相交、相离。

(1)
∵ P是直线$y=2x$上的一点,点P的坐标为$(x,y)$,
∴ $y=2x$.
如图,当⊙P在直线$y=3$下方时,
∵ ⊙P与直线$y=3$相切,
∴ 点P的纵坐标为2,
∴ 点P的横坐标为1,
此时点P的坐标为$(1,2)$.
如图,当$\odot P'$在直线$y=3$上方时,
∵ $\odot P'$与直线$y=3$相切,
∴ 点$P'$的纵坐标为4,
∴ 点$P'$的横坐标为2,
此时点$P'$的坐标为$(2,4)$.
综上可知,当$x=1$或2时,⊙P与直线$y=3$相切,点P的坐标为$(1,2)$或$(2,4)$.
(2)当$1 ＜ x ＜ 2$时,⊙P与直线$y=3$相交;
当$x ＞ 2$或$x ＜ 1$时,⊙P与直线$y=3$相离.

17. 推理能力 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 4$,$BC = 6$,点$E$为$CD$边上的一个动点(不与点$C$,$D$重合),$\odot O$是$△ BCE$的外接圆.
(1)若$CE = 2$,$\odot O$交$AD$于点$F$,$G$,求$FG$的长度.
(2)若$CE$的长度为$m$,$\odot O$与$AD$的位置关系随着$m$值的变化而变化,试探索$\odot O$与$AD$的位置关系及对应的$m$的取值范围.

备用图

(1)如图,过点O作$OM⊥FG$于点M,延长MO交BC于点N,连接OG,则$MF = MG$.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $∠BCE = ∠D = 90°$,
∴ BE是⊙O的直径.
∵ $∠BCE = ∠D = ∠DMN = 90°$,
∴ 四边形MNCD是矩形,
∴ $MN// DC$,$MN = CD = AB = 4$.
∵ $MN⊥BC$,
∴ $BN = CN$,
又
∵ $BO = OE$,
∴ ON是$△BCE$的中位线,
∴ $ON = \frac{1}{2}CE = 1$,
∴ $OM = 4 - 1 = 3$.
在$Rt△BCE$中,$BE = \sqrt{BC^2 + CE^2} = 2\sqrt{10}$,
∴ $OG = \frac{1}{2}BE = \sqrt{10}$.
在$Rt△OMG$中,$MG = \sqrt{OG^2 - OM^2} = 1$,
∴ $FG = 2MG = 2$.

(2)如图,当⊙O与AD相切于点M时,连接OM并反向延长交BC于点N.
由(1)易得$ON = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}m$,$OB = OM = 4 - \frac{1}{2}m$,$BN = 3$.
在$Rt△BON$中,$ON^2 + BN^2 = OB^2$,
即$(\frac{1}{2}m)^2 + 3^2 = (4 - \frac{1}{2}m)^2$,
解得$m = \frac{7}{4}$.
∴ 当$0 ＜ m ＜ \frac{7}{4}$时,⊙O与AD相离;
当$m = \frac{7}{4}$时,⊙O与AD相切;
当$\frac{7}{4} ＜ m ＜ 4$时,⊙O与AD相交.