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综合与实践 生活中的优化问题(教材新增)
【背景信息】
江西赣南是我国著名的脐橙产区.某脐橙园呈长方形,长120 m,宽80 m.园主计划安装一种旋转喷灌系统,喷头安装在长方形中心位置,喷水形成圆形区域覆盖果园.已知喷头的喷水半径为$ R $(单位:m)时,每小时耗水量为$ W $(单位:t)$ =0.5R^2 + 20R $.
【实践问题】
(1)若要使整个果园(包括四个角)都被水覆盖,求喷头的最小喷水半径$ R_0 $.
(2)当$ R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m} $时,喷头喷水覆盖果园的面积是多少? 当$ R ≥ R_0 $时,喷头喷水覆盖果园的面积又是多少?
(3)园主希望用量少的水覆盖整个果园,但喷水半径越大,耗水量越大.已知喷灌效率$ E=\frac{\mathrm{覆盖面积}}{\mathrm{耗水量}}=\frac{S}{W} $,当$ R ≥ R_0 $时,求使$ E $最大的$ R $值,并计算最大效率时喷头喷水覆盖果园的面积和耗水量.
【背景信息】
江西赣南是我国著名的脐橙产区.某脐橙园呈长方形,长120 m,宽80 m.园主计划安装一种旋转喷灌系统,喷头安装在长方形中心位置,喷水形成圆形区域覆盖果园.已知喷头的喷水半径为$ R $(单位:m)时,每小时耗水量为$ W $(单位:t)$ =0.5R^2 + 20R $.
【实践问题】
(1)若要使整个果园(包括四个角)都被水覆盖,求喷头的最小喷水半径$ R_0 $.
(2)当$ R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m} $时,喷头喷水覆盖果园的面积是多少? 当$ R ≥ R_0 $时,喷头喷水覆盖果园的面积又是多少?
(3)园主希望用量少的水覆盖整个果园,但喷水半径越大,耗水量越大.已知喷灌效率$ E=\frac{\mathrm{覆盖面积}}{\mathrm{耗水量}}=\frac{S}{W} $,当$ R ≥ R_0 $时,求使$ E $最大的$ R $值,并计算最大效率时喷头喷水覆盖果园的面积和耗水量.
答案
(1)长方形果园中心到角的距离为$\sqrt{60^2+40^2}=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}(\mathrm{m})$,
∴最小喷水半径$ R_0 $为$ 20\sqrt{13} \ \mathrm{m} $.
(2)当$ R=40\sqrt{2} $时,
∵$ 2R=80\sqrt{2}＜120 $,
∴喷头喷水的最大轨迹圆未覆盖果园两边.
如图
,设最大的轨迹圆圆心为$ O $,$ ⊙O $与$ AB $交于点$ C,D $,过点$ O $作$ OF ⊥ AB $于点$ E $,连接$ OC,OD $,∴$ ∠ OED=90° $.
∵$ OE=40 $,$ OD=R=40\sqrt{2} $,
∴$ DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=40=OE $,
∴$ ∠ EOD=45° $,
∴$ ∠ COD=90° $,
∴$ S_{\mathrm{弓形}CDF}=S_{\mathrm{扇形}COD}-S_{△ COD} $
$ =\frac{90π(40\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×(40\sqrt{2})^2 $
$ =800π-1600 $,
∴当$ R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m} $时,喷头喷水覆盖果园的面积为$ π(40\sqrt{2})^2-2S_{\mathrm{弓形}CDF}=(1600π+3200)\mathrm{m}^2 $.
当$ R≥ R_0 $时,喷头喷水的最大轨迹圆完全覆盖果园,故面积为$ 120×80=9600(\mathrm{m}^2) $.
(3)$ \because R≥ R_0 $,
∴果园覆盖面积为$ S=9600 $.
∵$ W=0.5R^2+20R $,
∴$ E=\frac{9600}{0.5R^2+20R} $.
要使$ E $最大,需使分母$ 0.5R^2+20R $最小.
∵$ W=0.5R^2+20R $是开口向上的二次函数,对称轴为$ R=-\frac{20}{2×0.5}=-20 $,当$ R≥20\sqrt{13} $时,$ W $随$ R $的增大而增大,
∴当$ R=R_0=20\sqrt{13} $时,分母最小,$ E $最大.
故最大效率时喷头喷水覆盖果园的面积为$ S=9600 \ \mathrm{m}^2 $,最大效率时的耗水量为$ W=0.5×(20\sqrt{13})^2+20×20\sqrt{13}=0.5×5200+400\sqrt{13}=(2600+400\sqrt{13})\mathrm{t} $.
解析
【分析】
(1) 要让整个果园被喷水覆盖，长方形的四个顶点是距离中心最远的点，因此最小喷水半径就是长方形中心到顶点的距离，直接用勾股定理计算即可。
(2) 先判断$R=40\sqrt{2}$时圆和长方形的位置关系：先对比直径和长方形长的大小，可知圆未覆盖左右两边；再结合中心到上下边的距离，通过勾股定理求出弦对应的圆心角，计算出圆超出长方形的弓形面积，用圆面积减去上下两个弓形面积即可得到此时的覆盖面积；当$R≥ R_0$时，圆完全覆盖长方形，覆盖面积就是长方形的面积。
(3) 当$R≥ R_0$时，覆盖面积为固定的长方形面积，因此喷灌效率$E$最大等价于耗水量$W$最小。$W$是开口向上的二次函数，分析其在$R≥ R_0$区间的单调性，找到$W$最小时对应的$R$值，再计算对应数值即可。
【解析】
(1) 长方形果园长120m、宽80m，中心到宽边的距离为60m，到长边的距离为40m，中心到顶点的距离为$\sqrt{60^2+40^2}=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}(\mathrm{m})$，因此最小喷水半径$R_0$为$20\sqrt{13} \ \mathrm{m}$。
(2) 当$R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m}$时，$2R=80\sqrt{2}＜120$，可知喷水形成的圆未覆盖果园左右两边。
如图，设圆心为$O$，$⊙O$与$AB$交于点$C,D$，过点$O$作$OF ⊥ AB$于点$E$，连接$OC,OD$，则$∠ OED=90°$。
已知$OE=40$，$OD=R=40\sqrt{2}$，由勾股定理得$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=40=OE$，因此$∠ EOD=45°$，同理$∠EOC=45°$，故$∠ COD=90°$。
上方弓形面积为：
$S_{\mathrm{弓形}CDF}=S_{\mathrm{扇形}COD}-S_{△ COD}=\frac{90π(40\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×(40\sqrt{2})^2=800π-1600$
圆上下各有1个超出长方形的弓形，因此覆盖果园的面积为：
$S=π(40\sqrt{2})^2-2S_{\mathrm{弓形}CDF}=3200π-2×(800π-1600)=(1600π+3200)\mathrm{m}^2$
当$R≥ R_0$时，喷水圆完全覆盖长方形，覆盖面积为长方形面积：$120×80=9600(\mathrm{m}^2)$。
(3) 当$R≥ R_0$时，覆盖面积$S=9600 \ \mathrm{m}^2$为定值，耗水量$W=0.5R^2+20R$，因此喷灌效率$E=\frac{9600}{0.5R^2+20R}$。
要使$E$最大，需使分母$W=0.5R^2+20R$最小。$W$是开口向上的二次函数，对称轴为$R=-\frac{20}{2×0.5}=-20$，因此在$R≥20\sqrt{13}$区间内，$W$随$R$的增大而增大，故当$R=R_0=20\sqrt{13}$时，$W$最小，$E$最大。
此时覆盖面积为$9600 \ \mathrm{m}^2$，耗水量为：
$W=0.5×(20\sqrt{13})^2+20×20\sqrt{13}=0.5×5200+400\sqrt{13}=(2600+400\sqrt{13})\mathrm{t}$
【答案】
(1) 最小喷水半径$ R_0 $为$ 20\sqrt{13} \ \mathrm{m} $。
(2) 当$ R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m} $时，覆盖面积为$ (1600π+3200)\mathrm{m}^2 $；当$ R ≥ R_0 $时，覆盖面积为$ 9600 \ \mathrm{m}^2 $。
(3) 使$E$最大的$R$值为$20\sqrt{13} \ \mathrm{m}$，此时覆盖面积为$9600 \ \mathrm{m}^2$，耗水量为$ (2600+400\sqrt{13})\mathrm{t} $。
【知识点】
勾股定理；扇形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题结合农业喷灌的实际场景，综合考查了圆与长方形的位置关系、不规则图形面积计算、二次函数的性质应用，需要结合半径范围分类讨论覆盖情况，能够锻炼将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
(1) 要让整个果园被喷水覆盖，长方形的四个顶点是距离中心最远的点，因此最小喷水半径就是长方形中心到顶点的距离，直接用勾股定理计算即可。
(2) 先判断$R=40\sqrt{2}$时圆和长方形的位置关系：先对比直径和长方形长的大小，可知圆未覆盖左右两边；再结合中心到上下边的距离，通过勾股定理求出弦对应的圆心角，计算出圆超出长方形的弓形面积，用圆面积减去上下两个弓形面积即可得到此时的覆盖面积；当$R≥ R_0$时，圆完全覆盖长方形，覆盖面积就是长方形的面积。
(3) 当$R≥ R_0$时，覆盖面积为固定的长方形面积，因此喷灌效率$E$最大等价于耗水量$W$最小。$W$是开口向上的二次函数，分析其在$R≥ R_0$区间的单调性，找到$W$最小时对应的$R$值，再计算对应数值即可。
【解析】
(1) 长方形果园长120m、宽80m，中心到宽边的距离为60m，到长边的距离为40m，中心到顶点的距离为$\sqrt{60^2+40^2}=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}(\mathrm{m})$，因此最小喷水半径$R_0$为$20\sqrt{13} \ \mathrm{m}$。
(2) 当$R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m}$时，$2R=80\sqrt{2}＜120$，可知喷水形成的圆未覆盖果园左右两边。
如图
，设圆心为$O$，$⊙O$与$AB$交于点$C,D$，过点$O$作$OF ⊥ AB$于点$E$，连接$OC,OD$，则$∠ OED=90°$。已知$OE=40$，$OD=R=40\sqrt{2}$，由勾股定理得$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=40=OE$，因此$∠ EOD=45°$，同理$∠EOC=45°$，故$∠ COD=90°$。
上方弓形面积为：
$S_{\mathrm{弓形}CDF}=S_{\mathrm{扇形}COD}-S_{△ COD}=\frac{90π(40\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×(40\sqrt{2})^2=800π-1600$
圆上下各有1个超出长方形的弓形，因此覆盖果园的面积为：
$S=π(40\sqrt{2})^2-2S_{\mathrm{弓形}CDF}=3200π-2×(800π-1600)=(1600π+3200)\mathrm{m}^2$
当$R≥ R_0$时，喷水圆完全覆盖长方形，覆盖面积为长方形面积：$120×80=9600(\mathrm{m}^2)$。
(3) 当$R≥ R_0$时，覆盖面积$S=9600 \ \mathrm{m}^2$为定值，耗水量$W=0.5R^2+20R$，因此喷灌效率$E=\frac{9600}{0.5R^2+20R}$。
要使$E$最大，需使分母$W=0.5R^2+20R$最小。$W$是开口向上的二次函数，对称轴为$R=-\frac{20}{2×0.5}=-20$，因此在$R≥20\sqrt{13}$区间内，$W$随$R$的增大而增大，故当$R=R_0=20\sqrt{13}$时，$W$最小，$E$最大。
此时覆盖面积为$9600 \ \mathrm{m}^2$，耗水量为：
$W=0.5×(20\sqrt{13})^2+20×20\sqrt{13}=0.5×5200+400\sqrt{13}=(2600+400\sqrt{13})\mathrm{t}$
【答案】
(1) 最小喷水半径$ R_0 $为$ 20\sqrt{13} \ \mathrm{m} $。
(2) 当$ R=40\sqrt{2} \ \mathrm{m} $时，覆盖面积为$ (1600π+3200)\mathrm{m}^2 $；当$ R ≥ R_0 $时，覆盖面积为$ 9600 \ \mathrm{m}^2 $。
(3) 使$E$最大的$R$值为$20\sqrt{13} \ \mathrm{m}$，此时覆盖面积为$9600 \ \mathrm{m}^2$，耗水量为$ (2600+400\sqrt{13})\mathrm{t} $。
【知识点】
勾股定理；扇形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题结合农业喷灌的实际场景，综合考查了圆与长方形的位置关系、不规则图形面积计算、二次函数的性质应用，需要结合半径范围分类讨论覆盖情况，能够锻炼将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
