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7. 如下图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，切点分别为$F$，$G$，$H$，且$D$，$E$分别为$BC$，$AC$上的点，$DE$为$\odot O$的切线。
(1)若$∠ C=40°$，求$∠ AOB$的度数。
(2)若$AC=8$，$AB=6$，$BC=9$，求$△ CDE$的周长。
(1)若$∠ C=40°$，求$∠ AOB$的度数。
(2)若$AC=8$，$AB=6$，$BC=9$，求$△ CDE$的周长。
答案
7. 解:(1)
∵∠C=40°,
∴∠ABC+∠BAC=180°−40°=140°.
∵⊙O为△ABC的内切圆,
∴∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠CBO,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$×140°=70°,
∴∠AOB=180°−70°=110°.
(2)设 DE 与⊙O 相切于点 I,如图.
∵⊙O为△ABC的内切圆,DE为⊙O的切线,
∴EH=EI,DI=DG,
∴△CDE 的周长=CD+CE+DE=CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH.
易知 AF=AH,BF=BG,CG=CH,
∴CG+CH=(AB+BC+AC)−(AH+AF+BF+BG)=6+9+8−2AB=6+9+8−2×6=11.
解析
【分析】
(1) 求∠AOB的度数时，首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，为三个内角的角平分线交点，因此AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。先借助三角形内角和算出∠BAC与∠ABC的和，再求这两个角一半的和，最后再次利用三角形内角和即可得到∠AOB的度数。
(2) 求△CDE的周长时，利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。先将DE拆分为EI+DI，替换为EH+DG，把△CDE的周长转化为CG+CH；再结合内切圆的切线长性质，用△ABC的三边长度表示CG+CH，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵∠C=40°，
∴∠ABC+∠BAC=180°−40°=140°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠CBO，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∴∠AOB=180°−70°=110°。
(2) 设DE与⊙O相切于点I，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，
∴EH=EI，DI=DG，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH，
易知AF=AH，BF=BG，CG=CH，
∴CG+CH=(AB+BC+AC)−(AH+AF+BF+BG)=6+9+8−2AB=6+9+8−2×6=11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOB=110°}$；
(2) $\boldsymbol{△CDE}$的周长为$\boldsymbol{11}$。
【知识点】
1. 三角形内心性质
2. 切线长定理
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础常考题，核心考查内切圆的相关性质，解题关键是熟练掌握内心的角平分线属性，以及灵活运用切线长定理进行线段的等量替换，简化周长计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠AOB的度数时，首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，为三个内角的角平分线交点，因此AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。先借助三角形内角和算出∠BAC与∠ABC的和，再求这两个角一半的和，最后再次利用三角形内角和即可得到∠AOB的度数。
(2) 求△CDE的周长时，利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。先将DE拆分为EI+DI，替换为EH+DG，把△CDE的周长转化为CG+CH；再结合内切圆的切线长性质，用△ABC的三边长度表示CG+CH，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵∠C=40°，
∴∠ABC+∠BAC=180°−40°=140°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠CBO，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∴∠AOB=180°−70°=110°。
(2) 设DE与⊙O相切于点I，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，
∴EH=EI，DI=DG，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH，
易知AF=AH，BF=BG，CG=CH，
∴CG+CH=(AB+BC+AC)−(AH+AF+BF+BG)=6+9+8−2AB=6+9+8−2×6=11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOB=110°}$；
(2) $\boldsymbol{△CDE}$的周长为$\boldsymbol{11}$。
【知识点】
1. 三角形内心性质
2. 切线长定理
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础常考题，核心考查内切圆的相关性质，解题关键是熟练掌握内心的角平分线属性，以及灵活运用切线长定理进行线段的等量替换，简化周长计算。
【难度系数】
0.7
8.如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$20°$
B.$22.5°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先明确一周对应的圆心角即周角为360°，题目中说明齿轮有16个齿且每两齿间隔相等，说明16个相邻齿对应的圆心角完全相等，要求相邻两齿的圆心角α，只需将周角360°平均分成16份，计算每份的度数即可。
【解析】
∵ 整个圆周对应的周角度数为360°，该齿轮共有16个齿，且每两齿之间间隔相等
∴ 相邻两齿间的圆心角$α = 360° ÷ 16 = 22.5°$
【答案】
B
【知识点】
周角的概念；圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的齿轮场景考查周角的实际应用，解题关键是明确间隔相等即对应圆心角相等，结合周角度数做除法即可求解，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确一周对应的圆心角即周角为360°，题目中说明齿轮有16个齿且每两齿间隔相等，说明16个相邻齿对应的圆心角完全相等，要求相邻两齿的圆心角α，只需将周角360°平均分成16份，计算每份的度数即可。
【解析】
∵ 整个圆周对应的周角度数为360°，该齿轮共有16个齿，且每两齿之间间隔相等
∴ 相邻两齿间的圆心角$α = 360° ÷ 16 = 22.5°$
【答案】
B
【知识点】
周角的概念；圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的齿轮场景考查周角的实际应用，解题关键是明确间隔相等即对应圆心角相等，结合周角度数做除法即可求解，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
9.如图，A，B，C，D为一个正多边形相邻的四个顶点，点O为这个正多边形外接圆的圆心.若$∠ ADB=15°$，则这个正多边形的边数为
12
.答案
9.12
解析
【分析】
解题思路如下：1. 正多边形的外接圆中，正多边形相邻顶点对应的弧长相等，所对的圆心角（即正多边形的中心角）也相等；2. 已知∠ADB是圆周角，它所对的弧为弧AB，根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角，也就是该正多边形的中心角；3. 正多边形所有中心角的和为360°，用360°除以单个中心角的度数，即可得到正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠AOB = 2∠ADB = 2×15° = 30°。
∵ 正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的和为360°，
∴ 该正多边形的边数为 $ \frac{360°}{30°} = 12 $。
【答案】
12
【知识点】
圆周角定理；正多边形的性质；中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型基础题型，解题核心是通过圆周角定理求出正多边形的中心角，再利用中心角和边数的关系计算结果，解题时需准确识别圆周角对应的弧，避免找错对应关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 正多边形的外接圆中，正多边形相邻顶点对应的弧长相等，所对的圆心角（即正多边形的中心角）也相等；2. 已知∠ADB是圆周角，它所对的弧为弧AB，根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角，也就是该正多边形的中心角；3. 正多边形所有中心角的和为360°，用360°除以单个中心角的度数，即可得到正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠AOB = 2∠ADB = 2×15° = 30°。
∵ 正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的和为360°，
∴ 该正多边形的边数为 $ \frac{360°}{30°} = 12 $。
【答案】
12
【知识点】
圆周角定理；正多边形的性质；中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型基础题型，解题核心是通过圆周角定理求出正多边形的中心角，再利用中心角和边数的关系计算结果，解题时需准确识别圆周角对应的弧，避免找错对应关系。
【难度系数】
0.7
10.(2026 内江)如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，P为$\overset{\frown}{BC}$上的一点(点P不与点C重合)，则$∠ CPD$的度数为 (
A.$36°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$72°$
A
)A.$36°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$72°$
答案
10. A 【解析】
∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴∠COD=$\frac{1}{5}$×360°=72°.
∵∠CPD 与∠COD 分别是 $\overset{\frown}{CD}$ 所对的圆周角和圆心角,
∴∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD=36°.
∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O,
∴∠COD=$\frac{1}{5}$×360°=72°.
∵∠CPD 与∠COD 分别是 $\overset{\frown}{CD}$ 所对的圆周角和圆心角,
∴∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD=36°.
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形的各边所对的圆心角相等，且每个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。观察所求的$∠ CPD$，它是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需要先求出$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角$∠ COD$的度数，再除以2即可得到$∠ CPD$的度数。
【解析】
解：连接OC、OD，
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角$∠ COD = \frac{1}{5} × 360° = 72°$，
又
∵$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CPD = \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的中心角、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，将正多边形内接于圆的性质与圆周角定理结合考查，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形的各边所对的圆心角相等，且每个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。观察所求的$∠ CPD$，它是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需要先求出$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角$∠ COD$的度数，再除以2即可得到$∠ CPD$的度数。
【解析】
解：连接OC、OD，
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角$∠ COD = \frac{1}{5} × 360° = 72°$，
又
∵$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CPD = \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的中心角、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，将正多边形内接于圆的性质与圆周角定理结合考查，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
11.(2026攀枝花)如下图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为$H$. $E$为$\overset{\frown}{BD}$上一点，连接$AE$交$CD$于点$F$，$EF$的垂直平分线交$CD$的延长线于点$G$，连接$GE$.
(1)若$\odot O$的半径为$3$，$AH=2$，求$CD$的长.
(2)求证：$EG$是$\odot O$的切线.
(1)若$\odot O$的半径为$3$，$AH=2$，求$CD$的长.
(2)求证：$EG$是$\odot O$的切线.
答案
11. 解:(1)如图,连接 OC.
∵⊙O 的半径为 3,
∴OC=OA=3.
∵AH=2,
∴OH=OA−AH=3−2=1.
∵CD⊥AB,AB 为直径,
∴∠OHC=90°,CD=2CH.
在Rt△OCH 中,$CH=\sqrt{OC^2−OH^2}=\sqrt{3^2−1^2}=2\sqrt{2}$,
∴CD=2×2√2=4√2.
(2)证明:如图,连接 OE.
∵点 G 在 EF 的垂直平分线上,
∴GE=GF,
∴∠GEF=∠GFE.
∵∠GFE=∠AFH,
∴∠GEF=∠AFH.
∵CD⊥AB,
∴∠AHF=90°,
∴∠A+∠AFH=90°.
∵OA=OE,
∴∠A=∠OEA,
∴∠OEA+∠GEF=90°,
∴∠OEG=90°,
∴OE⊥EG.
∵OE 是⊙O 的半径,
∴EG 是⊙O 的切线.
解析
【分析】
(1) 求弦CD的长度可利用垂径定理求解，垂直于弦的直径平分弦，因此CD=2CH，只需算出CH的长度即可。首先连接半径OC，结合已知的⊙O半径和AH的长度，先求出OH的长度，再在Rt△OHC中用勾股定理计算CH，就能得到CD的长。
(2) 证明EG是⊙O的切线，根据切线判定定理，需要证明半径OE垂直于EG。首先连接OE，利用垂直平分线的性质可得GE=GF，对应底角相等，再结合对顶角相等、CD⊥AB的直角关系，以及等腰△OAE的底角相等的性质，通过角的等量代换推导出∠OEG=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 如图，连接OC。
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OA=3。
∵AH=2，
∴OH=OA−AH=3−2=1。
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴∠OHC=90°，CD=2CH。
在Rt△OCH中，$CH=\sqrt{OC^2−OH^2}=\sqrt{3^2−1^2}=2\sqrt{2}$，
∴CD=2×2√2=4√2。
(2) 证明：如图，连接OE。
∵点G在EF的垂直平分线上，
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE。
∵∠GFE=∠AFH，
∴∠GEF=∠AFH。
∵CD⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠A+∠AFH=90°。
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠OEA+∠GEF=90°，即∠OEG=90°，
∴OE⊥EG。
∵OE是⊙O的半径，
∴EG是⊙O的切线。
【答案】
(1) $CD=4\sqrt{2}$；(2) 证明见解析
【知识点】
1. 垂径定理
2. 切线的判定
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将几何计算与证明相结合，既考查了勾股定理、垂径定理的基础应用，也考查了角的等量代换、切线判定的逻辑推导能力，解题时注意辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.65
(1) 求弦CD的长度可利用垂径定理求解，垂直于弦的直径平分弦，因此CD=2CH，只需算出CH的长度即可。首先连接半径OC，结合已知的⊙O半径和AH的长度，先求出OH的长度，再在Rt△OHC中用勾股定理计算CH，就能得到CD的长。
(2) 证明EG是⊙O的切线，根据切线判定定理，需要证明半径OE垂直于EG。首先连接OE，利用垂直平分线的性质可得GE=GF，对应底角相等，再结合对顶角相等、CD⊥AB的直角关系，以及等腰△OAE的底角相等的性质，通过角的等量代换推导出∠OEG=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 如图，连接OC。
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OA=3。
∵AH=2，
∴OH=OA−AH=3−2=1。
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴∠OHC=90°，CD=2CH。
在Rt△OCH中，$CH=\sqrt{OC^2−OH^2}=\sqrt{3^2−1^2}=2\sqrt{2}$，
∴CD=2×2√2=4√2。
(2) 证明：如图，连接OE。
∵点G在EF的垂直平分线上，
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE。
∵∠GFE=∠AFH，
∴∠GEF=∠AFH。
∵CD⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠A+∠AFH=90°。
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠OEA+∠GEF=90°，即∠OEG=90°，
∴OE⊥EG。
∵OE是⊙O的半径，
∴EG是⊙O的切线。
【答案】
(1) $CD=4\sqrt{2}$；(2) 证明见解析
【知识点】
1. 垂径定理
2. 切线的判定
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将几何计算与证明相结合，既考查了勾股定理、垂径定理的基础应用，也考查了角的等量代换、切线判定的逻辑推导能力，解题时注意辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.65
