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17 数形结合思想 如图,将一张边长为1的正方形纸片分割成7个图形,图形①的面积是正方形纸片面积的$\frac{1}{3}$,图形②的面积是图形①面积的2倍的$\frac{1}{3}$,图形③的面积是图形②面积的2倍的$\frac{1}{3}$,$···$,图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的$\frac{1}{3}$,图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍. 计算$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}$的结果为
18 [2025 沭阳期中]如果$|a|=2,|b|=5,a-b＞0$,那么$a+b$的值是
19 给出下列有理数:$-5,1,-3,5,-2,0$. 从中任意抽取三个数进行相加或者相乘.
（1）和的最大值为
（2）积的最大值为
$\dfrac{665}{729}$
.18 [2025 沭阳期中]如果$|a|=2,|b|=5,a-b＞0$,那么$a+b$的值是
－3或－7
.19 给出下列有理数:$-5,1,-3,5,-2,0$. 从中任意抽取三个数进行相加或者相乘.
（1）和的最大值为
6
,和的最小值为－10
;（2）积的最大值为
75
,积的最小值为－30
.答案
17. $\dfrac{665}{729}$
【解析】根据题意,得$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+…+\dfrac{2^5}{3^6}$恰好为图形①～⑥的面积之和,即为正方形的面积减去图形⑦的面积,所以易得原式$=1-2×\dfrac{2^5}{3^6}=1-\dfrac{64}{729}=\dfrac{665}{729}$.
18. －3或－7
19. (1) 6 －10 (2) 75 －30
【解析】根据题意,得$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+…+\dfrac{2^5}{3^6}$恰好为图形①～⑥的面积之和,即为正方形的面积减去图形⑦的面积,所以易得原式$=1-2×\dfrac{2^5}{3^6}=1-\dfrac{64}{729}=\dfrac{665}{729}$.
18. －3或－7
19. (1) 6 －10 (2) 75 －30
解析
第17题
【分析】
本题可利用数形结合思想简化计算，首先明确所求求和式对应图形①到⑥的面积之和，正方形总面积为1，因此只需先求出图形⑦的面积，用总面积减去图形⑦的面积即可得到结果。先根据面积规律得到图形⑥的面积为$\frac{2^5}{3^6}$，图形⑦是图形⑥面积的2倍，由此计算出⑦的面积，再作差即可。
【解析】
解：边长为1的正方形面积为1。
所求算式$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}$对应图形①到⑥的面积之和。
由题意得，图形⑥的面积为$\frac{2^5}{3^6}$，图形⑦的面积为图形⑥面积的2倍，即：
$S_⑦=2×\frac{2^5}{3^6}=\frac{2^6}{3^6}=\frac{64}{729}$
因此原式=正方形面积 - $S_⑦$=$1-\frac{64}{729}=\frac{665}{729}$
【答案】
$\dfrac{665}{729}$
【知识点】
有理数运算，数形结合，规律探究
【点评】
本题通过图形面积与代数求和的结合，将复杂的分数累加转化为简单的减法运算，解题的关键是找准各部分面积的对应关系，巧用整体思想简化计算。
【难度系数】
0.6
---
第18题
【分析】
首先根据绝对值的性质求出a、b所有可能的取值，再根据条件$a-b＞0$（即$a＞b$）筛选出符合要求的a、b组合，最后分别计算$a+b$的值即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵$|a|=2$，
∴$a=2$或$a=-2$；
∵$|b|=5$，
∴$b=5$或$b=-5$。
∵$a-b＞0$，即$a＞b$，
∴分两种情况讨论：
①当$a=2$时，只有$b=-5$满足$2＞-5$，此时$a+b=2+(-5)=-3$；
②当$a=-2$时，只有$b=-5$满足$-2＞-5$，此时$a+b=-2+(-5)=-7$。
综上，$a+b$的值为-3或-7。
【答案】
－3或－7
【知识点】
绝对值，有理数加减，分类讨论
【点评】
本题考查绝对值的性质与有理数运算，解题时要注意分类讨论所有可能的取值，再结合给定条件筛选符合要求的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
---
第19题
【分析】
（1）求三个数和的最大值，选择给出的数中最大的三个数相加即可；求三个数和的最小值，选择最小的三个数相加即可。（2）求三个数积的最大值，结合“负负得正”的规律，选择两个绝对值最大的负数和最大的正数相乘，得到的积最大；求三个数积的最小值，结合“负负得正，正负得负”的规律，选择三个负数相乘即可得到最小结果。
【解析】
解：给出的有理数为：$-5,1,-3,5,-2,0$
（1）和的最大值：选择最大的三个数5、1、0相加，$5+1+0=6$；
和的最小值：选择最小的三个数-5、-3、-2相加，$(-5)+(-3)+(-2)=-10$。
（2）积的最大值：选择两个绝对值最大的负数和最大的正数相乘，$(-5)×(-3)×5=75$；
积的最小值：选择三个负数相乘，$(-5)×(-3)×(-2)=-30$。
【答案】
(1) 6；－10 (2) 75；－30
【知识点】
有理数加法，有理数乘法，有理数大小比较
【点评】
本题考查有理数的运算和大小比较，求和最值可直接选取对应大小的数计算，求积最值要注意负数运算的符号规律，分情况判断后得到最优结果。
【难度系数】
0.65
【分析】
本题可利用数形结合思想简化计算，首先明确所求求和式对应图形①到⑥的面积之和，正方形总面积为1，因此只需先求出图形⑦的面积，用总面积减去图形⑦的面积即可得到结果。先根据面积规律得到图形⑥的面积为$\frac{2^5}{3^6}$，图形⑦是图形⑥面积的2倍，由此计算出⑦的面积，再作差即可。
【解析】
解：边长为1的正方形面积为1。
所求算式$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+···+\frac{2^5}{3^6}$对应图形①到⑥的面积之和。
由题意得，图形⑥的面积为$\frac{2^5}{3^6}$，图形⑦的面积为图形⑥面积的2倍，即：
$S_⑦=2×\frac{2^5}{3^6}=\frac{2^6}{3^6}=\frac{64}{729}$
因此原式=正方形面积 - $S_⑦$=$1-\frac{64}{729}=\frac{665}{729}$
【答案】
$\dfrac{665}{729}$
【知识点】
有理数运算，数形结合，规律探究
【点评】
本题通过图形面积与代数求和的结合，将复杂的分数累加转化为简单的减法运算，解题的关键是找准各部分面积的对应关系，巧用整体思想简化计算。
【难度系数】
0.6
---
第18题
【分析】
首先根据绝对值的性质求出a、b所有可能的取值，再根据条件$a-b＞0$（即$a＞b$）筛选出符合要求的a、b组合，最后分别计算$a+b$的值即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵$|a|=2$，
∴$a=2$或$a=-2$；
∵$|b|=5$，
∴$b=5$或$b=-5$。
∵$a-b＞0$，即$a＞b$，
∴分两种情况讨论：
①当$a=2$时，只有$b=-5$满足$2＞-5$，此时$a+b=2+(-5)=-3$；
②当$a=-2$时，只有$b=-5$满足$-2＞-5$，此时$a+b=-2+(-5)=-7$。
综上，$a+b$的值为-3或-7。
【答案】
－3或－7
【知识点】
绝对值，有理数加减，分类讨论
【点评】
本题考查绝对值的性质与有理数运算，解题时要注意分类讨论所有可能的取值，再结合给定条件筛选符合要求的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
---
第19题
【分析】
（1）求三个数和的最大值，选择给出的数中最大的三个数相加即可；求三个数和的最小值，选择最小的三个数相加即可。（2）求三个数积的最大值，结合“负负得正”的规律，选择两个绝对值最大的负数和最大的正数相乘，得到的积最大；求三个数积的最小值，结合“负负得正，正负得负”的规律，选择三个负数相乘即可得到最小结果。
【解析】
解：给出的有理数为：$-5,1,-3,5,-2,0$
（1）和的最大值：选择最大的三个数5、1、0相加，$5+1+0=6$；
和的最小值：选择最小的三个数-5、-3、-2相加，$(-5)+(-3)+(-2)=-10$。
（2）积的最大值：选择两个绝对值最大的负数和最大的正数相乘，$(-5)×(-3)×5=75$；
积的最小值：选择三个负数相乘，$(-5)×(-3)×(-2)=-30$。
【答案】
(1) 6；－10 (2) 75；－30
【知识点】
有理数加法，有理数乘法，有理数大小比较
【点评】
本题考查有理数的运算和大小比较，求和最值可直接选取对应大小的数计算，求积最值要注意负数运算的符号规律，分情况判断后得到最优结果。
【难度系数】
0.65
20 新考向 新定义题 定义一种新运算:$1⊙3=1×4+3=7;6⊙2=6×4+2=26;5⊙4=5×4+4=24.$
观察上述算式,解决下列问题.
(1)$2⊙3=$
(2)若$a≠b$,则$a⊙b$
(3)计算:$(-3)⊙[5⊙(-4)].$
观察上述算式,解决下列问题.
(1)$2⊙3=$
11
,$a⊙b=$$4a+b$
;(2)若$a≠b$,则$a⊙b$
≠
$b⊙a$(填“=”或“≠”);(3)计算:$(-3)⊙[5⊙(-4)].$
答案
20.(1) 11 $4a+b$ (2) ≠ (3) $(-3)⊙[5⊙(-4)]=(-3)⊙(5×4-4)=(-3)⊙16=(-3)×4+16=4$
解析
【分析】
首先观察给出的3个新运算示例，提炼出运算规则：符号⨀前面的数乘4，再加符号⨀后面的数，就是最终运算结果。解题时按该规则逐步推导：(1)直接套用规则计算2⨀3，并用代数式表示a⨀b；(2)分别写出a⨀b和b⨀a的表达式，结合a≠b的条件判断二者是否相等；(3)遵循有理数混合运算顺序，先算括号内的新运算，再算括号外的即可。
【解析】
通过观察已知算式，总结新运算规则为：$x⨀y=4x+y$
(1) 计算$2⨀3$：代入规则得$2×4+3=8+3=11$；同理可得$a⨀b=4a+b$。
(2) 计算$b⨀a=4b+a$，若$a≠b$，则$4a+b-(4b+a)=3(a-b)≠0$，因此$a⨀b≠b⨀a$。
(3) 先计算括号内的运算：
$5⨀(-4)=5×4+(-4)=20-4=16$
再计算外层运算：
$(-3)⨀16=(-3)×4+16=-12+16=4$
【答案】
(1) 11，$4a+b$；(2) ≠；(3) 4
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，代数式表示
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是从已知示例中准确提炼新运算的计算规则，再按照常规四则运算顺序代入计算即可，计算时注意正负号的处理。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的3个新运算示例，提炼出运算规则：符号⨀前面的数乘4，再加符号⨀后面的数，就是最终运算结果。解题时按该规则逐步推导：(1)直接套用规则计算2⨀3，并用代数式表示a⨀b；(2)分别写出a⨀b和b⨀a的表达式，结合a≠b的条件判断二者是否相等；(3)遵循有理数混合运算顺序，先算括号内的新运算，再算括号外的即可。
【解析】
通过观察已知算式，总结新运算规则为：$x⨀y=4x+y$
(1) 计算$2⨀3$：代入规则得$2×4+3=8+3=11$；同理可得$a⨀b=4a+b$。
(2) 计算$b⨀a=4b+a$，若$a≠b$，则$4a+b-(4b+a)=3(a-b)≠0$，因此$a⨀b≠b⨀a$。
(3) 先计算括号内的运算：
$5⨀(-4)=5×4+(-4)=20-4=16$
再计算外层运算：
$(-3)⨀16=(-3)×4+16=-12+16=4$
【答案】
(1) 11，$4a+b$；(2) ≠；(3) 4
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，代数式表示
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是从已知示例中准确提炼新运算的计算规则，再按照常规四则运算顺序代入计算即可，计算时注意正负号的处理。
【难度系数】
0.8
21 [2025宿迁期中]学校附近某奶茶店计划一周卖出3 500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因，实际每天的销售量与计划销售量相比有出入，某周的销售情况如下表（超出为正，不足为负）：
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 差量/杯 | －13 | ＋5 | －37 |
| ＋13 | ＋74 | －35 | ＋28 |
（1）根据记录可知前三天共卖出
（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出
（3）该奶茶店实行计件工资制，每天卖出1杯奶茶得1元，每天超额卖出1杯奖0.5元，少卖出1杯扣2元，那么该奶茶店店员这一周的工资总额是多少？
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 差量/杯 | －13 | ＋5 | －37 |
| ＋13 | ＋74 | －35 | ＋28 |（1）根据记录可知前三天共卖出
1 455
杯；（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出
111
杯；（3）该奶茶店实行计件工资制，每天卖出1杯奶茶得1元，每天超额卖出1杯奖0.5元，少卖出1杯扣2元，那么该奶茶店店员这一周的工资总额是多少？
答案
21.(1) 1 455 (2) 111 (3) $(3\ 500-13+5-37+13+74-35+28)×1+(5+13+74+28)×0.5+(-13-37-35)×2=3\ 535×1+120×0.5-85×2=3\ 535+60-170=3\ 425$(元),即该奶茶店店员这一周的工资总额是3 425元
解析
【分析】
（1）计算前三天总销量时，先求出前三天的计划总销量（每天标准销量500杯，3天共1500杯），再加上前三天的差量总和，即可得到实际总销量。
（2）先从差量中找到最大值（对应销量最多的一天）和最小值（对应销量最少的一天），用最大值减去最小值就能得到两天的销量差。
（3）工资总额分三部分计算：第一部分是实际总销量对应的基础工资（每卖1杯得1元），第二部分是超额部分的奖金（每超额1杯奖0.5元），第三部分是不足部分的扣款（每少卖1杯扣2元），三部分合并就是总工资。
【解析】
（1）前三天计划总销量：$500×3=1500$（杯）
前三天差量总和：$-13+5-37=-45$（杯）
前三天实际总销量：$1500+(-45)=1455$（杯）
（2）差量最大值为$+74$（周五），最小值为$-37$（周三）
销量差：$74-(-37)=74+37=111$（杯）
（3）一周总差量：$-13+5-37+13+74-35+28=35$（杯）
一周实际总销量：$3500+35=3535$（杯），基础工资：$3535×1=3535$（元）
超额差量总和：$5+13+74+28=120$（杯），奖金：$120×0.5=60$（元）
不足差量绝对值总和：$13+37+35=85$（杯），扣款：$85×2=170$（元）
总工资：$3535+60-170=3425$（元）
【答案】
（1）$\boxed{1455}$；（2）$\boxed{111}$；（3）该奶茶店店员这一周的工资总额是$\boxed{3425}$元。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加减运算，有理数实际应用
【点评】
本题结合生活销售场景考查有理数的应用，解题核心是准确理解正负数代表的超出/不足含义，理清工资的计算规则，分步运算可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
（1）计算前三天总销量时，先求出前三天的计划总销量（每天标准销量500杯，3天共1500杯），再加上前三天的差量总和，即可得到实际总销量。
（2）先从差量中找到最大值（对应销量最多的一天）和最小值（对应销量最少的一天），用最大值减去最小值就能得到两天的销量差。
（3）工资总额分三部分计算：第一部分是实际总销量对应的基础工资（每卖1杯得1元），第二部分是超额部分的奖金（每超额1杯奖0.5元），第三部分是不足部分的扣款（每少卖1杯扣2元），三部分合并就是总工资。
【解析】
（1）前三天计划总销量：$500×3=1500$（杯）
前三天差量总和：$-13+5-37=-45$（杯）
前三天实际总销量：$1500+(-45)=1455$（杯）
（2）差量最大值为$+74$（周五），最小值为$-37$（周三）
销量差：$74-(-37)=74+37=111$（杯）
（3）一周总差量：$-13+5-37+13+74-35+28=35$（杯）
一周实际总销量：$3500+35=3535$（杯），基础工资：$3535×1=3535$（元）
超额差量总和：$5+13+74+28=120$（杯），奖金：$120×0.5=60$（元）
不足差量绝对值总和：$13+37+35=85$（杯），扣款：$85×2=170$（元）
总工资：$3535+60-170=3425$（元）
【答案】
（1）$\boxed{1455}$；（2）$\boxed{111}$；（3）该奶茶店店员这一周的工资总额是$\boxed{3425}$元。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加减运算，有理数实际应用
【点评】
本题结合生活销售场景考查有理数的应用，解题核心是准确理解正负数代表的超出/不足含义，理清工资的计算规则，分步运算可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
