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任务一 萌兽乐园
贵阳市黔灵山公园动物园被誉为“动物的天堂”，曾饲养过大熊猫、东北虎、非洲狮、黑熊等，2024年曾闭园进行提升改造.
在提升改造中，工作人员要规划一个三角形的动物活动区域.已知这个三角形活动区域的两条直角边分别为$ a=3\sqrt{2} $米和$ b=4\sqrt{2} $米.园区打算沿着斜边修建一条观赏步道，步道每米的造价为$ m $元，同时在直角边$ a $的一侧，以$ a $为一边修建一个矩形的休息区，设矩形休息区与$ a $相邻的边长为$ x $米，矩形休息区的面积为$ S $平方米，且休息区面积$ S $与$ x $满足一次函数关系.
（1）求斜边$ c $的长度.
（2）写出修建观赏步道的费用$ y $（元）与$ m $的函数关系式.
（3）写出$ S $与$ x $的函数关系式，并求当$ x=2 $时，矩形休息区的面积.
贵阳市黔灵山公园动物园被誉为“动物的天堂”，曾饲养过大熊猫、东北虎、非洲狮、黑熊等，2024年曾闭园进行提升改造.
在提升改造中，工作人员要规划一个三角形的动物活动区域.已知这个三角形活动区域的两条直角边分别为$ a=3\sqrt{2} $米和$ b=4\sqrt{2} $米.园区打算沿着斜边修建一条观赏步道，步道每米的造价为$ m $元，同时在直角边$ a $的一侧，以$ a $为一边修建一个矩形的休息区，设矩形休息区与$ a $相邻的边长为$ x $米，矩形休息区的面积为$ S $平方米，且休息区面积$ S $与$ x $满足一次函数关系.
（1）求斜边$ c $的长度.
（2）写出修建观赏步道的费用$ y $（元）与$ m $的函数关系式.
（3）写出$ S $与$ x $的函数关系式，并求当$ x=2 $时，矩形休息区的面积.
答案
（1）$c=5\sqrt{2}$米
（2）$y=5\sqrt{2}\ m$
（3）$S=3\sqrt{2}\ x$，面积为$6\sqrt{2}$平方米
（2）$y=5\sqrt{2}\ m$
（3）$S=3\sqrt{2}\ x$，面积为$6\sqrt{2}$平方米
