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爸爸早就答应小彬在暑假带他去旅游，暑假刚到，小彬就为旅游的事做起了准备。
由于贵州的天气冬暖夏凉，非常适合暑假去，而且在那里可以看到享有“中华第一瀑”盛誉的黄果树瀑布，所以一家（3人）决定前去游览。这两天爸爸正在为报哪家旅行社发愁呢。经过多方考察，爸爸准备从甲、乙两家旅行社中选择一家。甲、乙两家旅行社的家庭团优惠方法如下：
甲旅行社的优惠方法：买两张全票，其余人九折优惠。
乙旅行社的优惠方法：一律按九五折优惠。
已知两家旅行社的原价均为每人2880元。
为了选择一家既便宜又实惠的旅行社，小彬可是把学到的知识都用上了。
问题一：若甲旅行社收费为$ y_1 $，乙旅行社收费为$ y_2 $，旅游人数为$ x $，请分别写出$ y_1, y_2 $与$ x $的函数解析式。
问题二：如果小彬一家三口人去，选择哪家旅行社更优惠？若爷爷、奶奶也和小彬他们一起去，选择哪家旅行社更优惠？
由于贵州的天气冬暖夏凉，非常适合暑假去，而且在那里可以看到享有“中华第一瀑”盛誉的黄果树瀑布，所以一家（3人）决定前去游览。这两天爸爸正在为报哪家旅行社发愁呢。经过多方考察，爸爸准备从甲、乙两家旅行社中选择一家。甲、乙两家旅行社的家庭团优惠方法如下：
甲旅行社的优惠方法：买两张全票，其余人九折优惠。
乙旅行社的优惠方法：一律按九五折优惠。
已知两家旅行社的原价均为每人2880元。
为了选择一家既便宜又实惠的旅行社，小彬可是把学到的知识都用上了。
问题一：若甲旅行社收费为$ y_1 $，乙旅行社收费为$ y_2 $，旅游人数为$ x $，请分别写出$ y_1, y_2 $与$ x $的函数解析式。
问题二：如果小彬一家三口人去，选择哪家旅行社更优惠？若爷爷、奶奶也和小彬他们一起去，选择哪家旅行社更优惠？
答案
解：
问题一
根据题意，原价为每人2880元：
甲旅行社收费：买2张全票，剩余$(x-2)$人享九折优惠，其中$x\ge2$且$x$为正整数
$\begin{aligned}y_1&=2×2880 + 2880×0.9×(x-2)\\&=5760 + 2592(x-2)\\&=2592x + 576\end{aligned}$
即$y_1=2592x + 576$（$x\ge2$，$x$为正整数）
乙旅行社收费：所有人享九五折优惠，$x$为正整数
$\begin{aligned}y_2&=2880×0.95x\\&=2736x\end{aligned}$
即$y_2=2736x$（$x$为正整数）
---
问题二
1. 小彬一家三口去时，旅游人数$x=3$：
代入解析式得：
$y_1=2592×3 + 576=8352$（元）
$y_2=2736×3=8208$（元）
因为$8352＞8208$，所以此时乙旅行社收费更低。
2. 爷爷、奶奶也一同去时，总旅游人数$x=5$：
代入解析式得：
$y_1=2592×5 + 576=13536$（元）
$y_2=2736×5=13680$（元）
因为$13536＜13680$，所以此时甲旅行社收费更低。
答：小彬一家三口去时选择乙旅行社更优惠，爷爷、奶奶也一同出行时选择甲旅行社更优惠。
问题一
根据题意，原价为每人2880元：
甲旅行社收费：买2张全票，剩余$(x-2)$人享九折优惠，其中$x\ge2$且$x$为正整数
$\begin{aligned}y_1&=2×2880 + 2880×0.9×(x-2)\\&=5760 + 2592(x-2)\\&=2592x + 576\end{aligned}$
即$y_1=2592x + 576$（$x\ge2$，$x$为正整数）
乙旅行社收费：所有人享九五折优惠，$x$为正整数
$\begin{aligned}y_2&=2880×0.95x\\&=2736x\end{aligned}$
即$y_2=2736x$（$x$为正整数）
---
问题二
1. 小彬一家三口去时，旅游人数$x=3$：
代入解析式得：
$y_1=2592×3 + 576=8352$（元）
$y_2=2736×3=8208$（元）
因为$8352＞8208$，所以此时乙旅行社收费更低。
2. 爷爷、奶奶也一同去时，总旅游人数$x=5$：
代入解析式得：
$y_1=2592×5 + 576=13536$（元）
$y_2=2736×5=13680$（元）
因为$13536＜13680$，所以此时甲旅行社收费更低。
答：小彬一家三口去时选择乙旅行社更优惠，爷爷、奶奶也一同出行时选择甲旅行社更优惠。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 解决问题一需先明确两家旅行社的收费规则：甲旅行社是2人买全票，超出2人的部分按原价九折收费，乙旅行社是所有人按原价九五折收费，结合单人原价2880元，即可分别列出收费$y_1$、$y_2$与旅游人数$x$的函数解析式，注意标注$x$的合理取值范围。2. 解决问题二只需将对应人数分别代入两个函数解析式算出费用，再比较两个费用的大小，费用更低的旅行社更优惠。
【解析】
问题一
已知旅行社原价为每人2880元：
甲旅行社收费：买2张全票，剩余$(x-2)$人享九折优惠，其中$x\ge2$且$x$为正整数
$\begin{aligned}y_1&=2×2880 + 2880×0.9×(x-2)\\&=5760 + 2592(x-2)\\&=2592x + 576\end{aligned}$
即$y_1=2592x + 576$（$x\ge2$，$x$为正整数）
乙旅行社收费：所有人享九五折优惠，$x$为正整数
$\begin{aligned}y_2&=2880×0.95x\\&=2736x\end{aligned}$
即$y_2=2736x$（$x$为正整数）
问题二
1. 小彬一家三口去时，旅游人数$x=3$：
代入解析式得：
$y_1=2592×3 + 576=8352$（元）
$y_2=2736×3=8208$（元）
因为$8352＞8208$，所以此时乙旅行社收费更低。
2. 爷爷、奶奶也一同去时，总旅游人数$x=5$：
代入解析式得：
$y_1=2592×5 + 576=13536$（元）
$y_2=2736×5=13680$（元）
因为$13536＜13680$，所以此时甲旅行社收费更低。
【答案】
问题一：$y_1=2592x + 576$（$x\ge2$，$x$为正整数），$y_2=2736x$（$x$为正整数）；
问题二：小彬一家三口去时选择乙旅行社更优惠，爷爷、奶奶也一同出行时选择甲旅行社更优惠。
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，代数式大小比较
【点评】
本题以生活中选择旅行社的常见场景为背景，将数学知识与实际应用紧密结合，需要学生准确理解优惠规则后列式计算，既考查了基础知识点的掌握程度，也能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 解决问题一需先明确两家旅行社的收费规则：甲旅行社是2人买全票，超出2人的部分按原价九折收费，乙旅行社是所有人按原价九五折收费，结合单人原价2880元，即可分别列出收费$y_1$、$y_2$与旅游人数$x$的函数解析式，注意标注$x$的合理取值范围。2. 解决问题二只需将对应人数分别代入两个函数解析式算出费用，再比较两个费用的大小，费用更低的旅行社更优惠。
【解析】
问题一
已知旅行社原价为每人2880元：
甲旅行社收费：买2张全票，剩余$(x-2)$人享九折优惠，其中$x\ge2$且$x$为正整数
$\begin{aligned}y_1&=2×2880 + 2880×0.9×(x-2)\\&=5760 + 2592(x-2)\\&=2592x + 576\end{aligned}$
即$y_1=2592x + 576$（$x\ge2$，$x$为正整数）
乙旅行社收费：所有人享九五折优惠，$x$为正整数
$\begin{aligned}y_2&=2880×0.95x\\&=2736x\end{aligned}$
即$y_2=2736x$（$x$为正整数）
问题二
1. 小彬一家三口去时，旅游人数$x=3$：
代入解析式得：
$y_1=2592×3 + 576=8352$（元）
$y_2=2736×3=8208$（元）
因为$8352＞8208$，所以此时乙旅行社收费更低。
2. 爷爷、奶奶也一同去时，总旅游人数$x=5$：
代入解析式得：
$y_1=2592×5 + 576=13536$（元）
$y_2=2736×5=13680$（元）
因为$13536＜13680$，所以此时甲旅行社收费更低。
【答案】
问题一：$y_1=2592x + 576$（$x\ge2$，$x$为正整数），$y_2=2736x$（$x$为正整数）；
问题二：小彬一家三口去时选择乙旅行社更优惠，爷爷、奶奶也一同出行时选择甲旅行社更优惠。
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，代数式大小比较
【点评】
本题以生活中选择旅行社的常见场景为背景，将数学知识与实际应用紧密结合，需要学生准确理解优惠规则后列式计算，既考查了基础知识点的掌握程度，也能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.8
1. 将一次函数$y=2x-3$的图象沿$y$轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（
A.$y=2x-5$
B.$y=2x+5$
C.$y=2x+8$
D.$y=2x-8$
B
）A.$y=2x-5$
B.$y=2x+5$
C.$y=2x+8$
D.$y=2x-8$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象沿y轴平移的规律：平移过程中一次项系数k保持不变，沿y轴向上平移n个单位时，在原函数的常数项后加n，向下平移则减n，也就是常用的“上加下减”规律。本题是向上平移8个单位，只需在原解析式的常数项上加上8，化简后得到新解析式，再匹配选项即可。
【解析】
一次函数图象平移时斜率k不变，沿y轴向上平移8个单位，原函数的函数值整体增加8。
已知原解析式为$y=2x-3$，平移后的解析式为：
$y=2x-3+8$
化简得$y=2x+5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象平移规律、一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数的图象平移性质，牢记平移时“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律即可快速求解，属于基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数图象沿y轴平移的规律：平移过程中一次项系数k保持不变，沿y轴向上平移n个单位时，在原函数的常数项后加n，向下平移则减n，也就是常用的“上加下减”规律。本题是向上平移8个单位，只需在原解析式的常数项上加上8，化简后得到新解析式，再匹配选项即可。
【解析】
一次函数图象平移时斜率k不变，沿y轴向上平移8个单位，原函数的函数值整体增加8。
已知原解析式为$y=2x-3$，平移后的解析式为：
$y=2x-3+8$
化简得$y=2x+5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象平移规律、一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数的图象平移性质，牢记平移时“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律即可快速求解，属于基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中，若直线$y=ax-b$经过第一、二、三象限，则直线$y=bx-a$不经过的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数$y=kx+c$的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜；$c$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴。首先根据已知直线经过的象限，推导$a$、$b$的正负性，再代入所求直线判断其系数符号，即可确定它不经过的象限。
【解析】
对于一次函数$y=kx+c$，若直线经过第一、二、三象限，则满足$k＞0$且$c＞0$。
已知直线$y=ax-b$经过第一、二、三象限，因此：
$\begin{cases}a＞0 \\ -b＞0\end{cases}$，解得$a＞0$，$b＜0$。
再分析直线$y=bx-a$的系数：
1. 斜率为$b＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限；
2. 与$y$轴的截距为$-a$，结合$a＞0$可得$-a＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，还会经过第三象限。
因此直线$y=bx-a$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，象限判定
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查一次函数系数与图象所过象限的对应关系，解题的关键是先通过已知条件确定参数的正负，再推导所求直线的图象特征即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数$y=kx+c$的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜；$c$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴。首先根据已知直线经过的象限，推导$a$、$b$的正负性，再代入所求直线判断其系数符号，即可确定它不经过的象限。
【解析】
对于一次函数$y=kx+c$，若直线经过第一、二、三象限，则满足$k＞0$且$c＞0$。
已知直线$y=ax-b$经过第一、二、三象限，因此：
$\begin{cases}a＞0 \\ -b＞0\end{cases}$，解得$a＞0$，$b＜0$。
再分析直线$y=bx-a$的系数：
1. 斜率为$b＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限；
2. 与$y$轴的截距为$-a$，结合$a＞0$可得$-a＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，还会经过第三象限。
因此直线$y=bx-a$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，象限判定
【点评】
本题是一次函数部分的基础常考题，核心考查一次函数系数与图象所过象限的对应关系，解题的关键是先通过已知条件确定参数的正负，再推导所求直线的图象特征即可。
【难度系数】
0.8
