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3. 已知点A（2，0），B（0，2），C（-1，m）在同一条直线上，则m的值为（
A.3
B.2
C.-3
D.1
A
）A.3
B.2
C.-3
D.1
答案
3. A
解析
【分析】
已知三点在同一条直线上，首先我们可以先通过已知的两个点A、B求出这条直线对应的一次函数解析式，因为同一直线上的所有点的坐标都满足该直线的函数表达式，之后把点C的横坐标代入解析式，就能计算出未知的纵坐标m的值。
【解析】
设过点A(2,0)、B(0,2)的直线解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 代入B点坐标$(0,2)$：当$x=0$时，$y=2$，可得$b=2$；
2. 代入A点坐标$(2,0)$和$b=2$，得$2k+2=0$，解得$k=-1$；
因此直线AB的解析式为$y=-x+2$。
因为点$C(-1,m)$在直线AB上，将$x=-1$代入解析式：
$m=-(-1)+2=1+2=3$
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题关键是掌握三点共线的性质，能熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，再代入坐标计算未知量。
【难度系数】
0.8
已知三点在同一条直线上，首先我们可以先通过已知的两个点A、B求出这条直线对应的一次函数解析式，因为同一直线上的所有点的坐标都满足该直线的函数表达式，之后把点C的横坐标代入解析式，就能计算出未知的纵坐标m的值。
【解析】
设过点A(2,0)、B(0,2)的直线解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
1. 代入B点坐标$(0,2)$：当$x=0$时，$y=2$，可得$b=2$；
2. 代入A点坐标$(2,0)$和$b=2$，得$2k+2=0$，解得$k=-1$；
因此直线AB的解析式为$y=-x+2$。
因为点$C(-1,m)$在直线AB上，将$x=-1$代入解析式：
$m=-(-1)+2=1+2=3$
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题关键是掌握三点共线的性质，能熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，再代入坐标计算未知量。
【难度系数】
0.8
4. 如图1所示，已知一次函数$y=kx+3$和$y=-x+b$的图象交于点$P(2, 4)$，则关于$x$的方程$kx+3=-x+b$的解是
x=2
。答案
4. x=2
解析
【分析】
解题时要先明确一元一次方程与一次函数的对应关系：方程$kx+3=-x+b$的解，就是使两个一次函数$y=kx+3$和$y=-x+b$的函数值相等的自变量$x$的值，对应到图象上就是两个函数图象交点的横坐标。已知两个函数的交点坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$kx+3=-x+b$的解，是一次函数$y=kx+3$与$y=-x+b$图象交点的横坐标，
又
∵ 两个一次函数的图象交于点$P(2,4)$，其横坐标为$2$，
∴ 方程$kx+3=-x+b$的解是$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系、一次函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解函数图象交点与对应方程解的对应关系，掌握该对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时要先明确一元一次方程与一次函数的对应关系：方程$kx+3=-x+b$的解，就是使两个一次函数$y=kx+3$和$y=-x+b$的函数值相等的自变量$x$的值，对应到图象上就是两个函数图象交点的横坐标。已知两个函数的交点坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$kx+3=-x+b$的解，是一次函数$y=kx+3$与$y=-x+b$图象交点的横坐标，
又
∵ 两个一次函数的图象交于点$P(2,4)$，其横坐标为$2$，
∴ 方程$kx+3=-x+b$的解是$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系、一次函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解函数图象交点与对应方程解的对应关系，掌握该对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 图2所示为我国古代某种铜钱的平面示意图，该图形是在一个圆形的中间挖去一个正方形得到的。若圆的半径是3 cm，正方形的边长为x，该图形的面积为y，则y与x之间的解析式为
y=27-x²
（注：π取3）。答案
5. y=27-x²
解析
【分析】
要求铜钱的面积y，首先明确该图形是圆形挖去中间正方形得到的，因此面积等于圆的总面积减去正方形的面积。解题时先根据已知条件分别计算圆的面积、正方形的面积，再将二者作差即可得到y与x的解析式，注意题目明确规定π取3，无需用默认π值计算。
【解析】
1. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，已知圆的半径$r=3\mathrm{cm}$，π取3，代入得：
$S_{圆}=3×3^2=3×9=27(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算正方形的面积：已知正方形边长为x，根据正方形面积公式$S_{正}=边长×边长$，得：
$S_{正}=x^2(\mathrm{cm}^2)$
3. 推导y与x的解析式：图形面积$y=S_{圆}-S_{正}$，代入上述结果得$y=27-x^2$。
【答案】
y=27-x²
【知识点】
1.组合图形面积计算
2.列函数解析式
3.基本图形面积公式
【点评】
本题属于结合生活实际的基础应用题，解题关键是明确组合图形的面积构成，即整体面积减去挖去部分的面积，再代入对应公式计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
要求铜钱的面积y，首先明确该图形是圆形挖去中间正方形得到的，因此面积等于圆的总面积减去正方形的面积。解题时先根据已知条件分别计算圆的面积、正方形的面积，再将二者作差即可得到y与x的解析式，注意题目明确规定π取3，无需用默认π值计算。
【解析】
1. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，已知圆的半径$r=3\mathrm{cm}$，π取3，代入得：
$S_{圆}=3×3^2=3×9=27(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算正方形的面积：已知正方形边长为x，根据正方形面积公式$S_{正}=边长×边长$，得：
$S_{正}=x^2(\mathrm{cm}^2)$
3. 推导y与x的解析式：图形面积$y=S_{圆}-S_{正}$，代入上述结果得$y=27-x^2$。
【答案】
y=27-x²
【知识点】
1.组合图形面积计算
2.列函数解析式
3.基本图形面积公式
【点评】
本题属于结合生活实际的基础应用题，解题关键是明确组合图形的面积构成，即整体面积减去挖去部分的面积，再代入对应公式计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
6. 甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动。已知线段AB长为90 cm，甲的速度为2.5 cm/s。设运动时间为x，甲、乙两点之间的距离为y，y与x的函数图象如图3所示，则甲、乙相遇的时间为第
20
s。答案
6. 20
解析
【分析】
要计算甲、乙的相遇时间，首先明确相遇的特征：甲乙相向运动，相遇时两人走过的路程之和等于线段AB的总长度90cm。解题思路分三步：第一步，先根据函数图像的信息求出乙的运动速度；第二步，利用行程问题的基本公式“路程=速度×时间”分别表示出相遇时甲、乙的路程；第三步，根据路程和等于总长度列方程求解即可。
【解析】
首先计算甲走完全程的时间：$90÷2.5=36\mathrm{s}$，结合函数图像可知乙走完全程用时45s，因此乙的速度为：$90÷45=2\mathrm{cm/s}$。
设甲、乙相遇的时间为$t\mathrm{s}$，相遇时甲的路程为$2.5t\mathrm{cm}$，乙的路程为$2t\mathrm{cm}$，根据相遇时路程和为90cm，列方程：
$2.5t + 2t = 90$
合并同类项得：$4.5t = 90$
解得：$t=20$
【答案】
20
【知识点】
1. 行程相遇问题
2. 一次函数的实际应用
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际问题，解题的核心是从函数图像中提取有效信息求出乙的运动速度，再结合相遇时的路程关系列式求解，需要同学们具备图像信息与实际运动过程的对应转化能力。
【难度系数】
0.7
要计算甲、乙的相遇时间，首先明确相遇的特征：甲乙相向运动，相遇时两人走过的路程之和等于线段AB的总长度90cm。解题思路分三步：第一步，先根据函数图像的信息求出乙的运动速度；第二步，利用行程问题的基本公式“路程=速度×时间”分别表示出相遇时甲、乙的路程；第三步，根据路程和等于总长度列方程求解即可。
【解析】
首先计算甲走完全程的时间：$90÷2.5=36\mathrm{s}$，结合函数图像可知乙走完全程用时45s，因此乙的速度为：$90÷45=2\mathrm{cm/s}$。
设甲、乙相遇的时间为$t\mathrm{s}$，相遇时甲的路程为$2.5t\mathrm{cm}$，乙的路程为$2t\mathrm{cm}$，根据相遇时路程和为90cm，列方程：
$2.5t + 2t = 90$
合并同类项得：$4.5t = 90$
解得：$t=20$
【答案】
20
【知识点】
1. 行程相遇问题
2. 一次函数的实际应用
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际问题，解题的核心是从函数图像中提取有效信息求出乙的运动速度，再结合相遇时的路程关系列式求解，需要同学们具备图像信息与实际运动过程的对应转化能力。
【难度系数】
0.7
7. 暑假期间，跳跳一家乘坐高铁前往某市旅游，他们计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
甲公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；
乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）如图所示，租用时间为$x$（时），租用甲公司的车所需费用为$y_1$（元），租用乙公司的车所需费用为$y_2$（元），分别求出$y_1$，$y_2$与$x$的函数解析式。
（2）请你帮助跳跳一家选择合算的租车方案。
甲公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；
乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）如图所示，租用时间为$x$（时），租用甲公司的车所需费用为$y_1$（元），租用乙公司的车所需费用为$y_2$（元），分别求出$y_1$，$y_2$与$x$的函数解析式。
（2）请你帮助跳跳一家选择合算的租车方案。
答案
7.（1）由题意，设$y_1=kx+80$。
将（2，110）代入得$110=2k+80$，解得$k=15$。
则$y_1$与$x$的函数表达式为$y_1=15x+80$。
设$y_2=mx$，将（5，150）代入得$150=5m$，解得$m=30$。
则$y_2$与$x$的函数表达式为$y_2=30x$。
（2）由（1）结果$y_1=y_2$，得$15x+80=30x$，得$x= \frac{16}{3}$；
由$y_1 ＜ y_2$，得$15x+80 ＜ 30x$，得$x ＞ \frac{16}{3}$；
由$y_1 ＞ y_2$，得$15x+80 ＞ 30x$，得$x ＜ \frac{16}{3}$。
故，当租车时间为$\frac{16}{3}$小时时，两种选择花费一样；当租车时间大于$\frac{16}{3}$小时时，选择甲公司划算；当租车时间小于$\frac{16}{3}$小时时，选择乙公司划算。
将（2，110）代入得$110=2k+80$，解得$k=15$。
则$y_1$与$x$的函数表达式为$y_1=15x+80$。
设$y_2=mx$，将（5，150）代入得$150=5m$，解得$m=30$。
则$y_2$与$x$的函数表达式为$y_2=30x$。
（2）由（1）结果$y_1=y_2$，得$15x+80=30x$，得$x= \frac{16}{3}$；
由$y_1 ＜ y_2$，得$15x+80 ＜ 30x$，得$x ＞ \frac{16}{3}$；
由$y_1 ＞ y_2$，得$15x+80 ＞ 30x$，得$x ＜ \frac{16}{3}$。
故，当租车时间为$\frac{16}{3}$小时时，两种选择花费一样；当租车时间大于$\frac{16}{3}$小时时，选择甲公司划算；当租车时间小于$\frac{16}{3}$小时时，选择乙公司划算。
解析
【分析】
（1）求函数解析式可采用待定系数法：首先判断$y_1$的函数类型，甲公司有固定租金80元，即$x=0$时$y_1=80$，因此$y_1$是一次函数，形式为$y_1=kx+80$，只需代入$y_1$经过的已知点$(2,110)$即可求出$k$的值；乙公司无固定租金，即$x=0$时$y_2=0$，因此$y_2$是正比例函数，形式为$y_2=mx$，代入$y_2$经过的已知点$(5,150)$即可求出$m$的值。
（2）选择合算的租车方案本质是比较两个函数值的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$三种情况，分别解方程、不等式得到对应的租车时间范围，即可得出不同情况下的最优方案。
【解析】
（1）设$y_1=kx+80$（$k≠0$），将点$(2,110)$代入解析式得：
$110=2k+80$，解得$k=15$，
因此$y_1$与$x$的函数解析式为$y_1=15x+80$（$x≥0$）。
设$y_2=mx$（$m≠0$），将点$(5,150)$代入解析式得：
$150=5m$，解得$m=30$，
因此$y_2$与$x$的函数解析式为$y_2=30x$（$x≥0$）。
（2）分三种情况讨论：
① 当$y_1=y_2$时，两者花费相同，列方程得：
$15x+80=30x$，解得$x=\frac{16}{3}$；
② 当$y_1＜y_2$时，选择甲公司更合算，列不等式得：
$15x+80＜30x$，解得$x＞\frac{16}{3}$；
③ 当$y_1＞y_2$时，选择乙公司更合算，列不等式得：
$15x+80＞30x$，解得$x＜\frac{16}{3}$。
【答案】
（1）$y_1=15x+80$，$y_2=30x$；
（2）当租车时间为$\frac{16}{3}$小时时，两家公司花费相同；当租车时间大于$\frac{16}{3}$小时时，选择甲公司合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}$小时时，选择乙公司合算。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数实际应用
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能够通过比较函数值的大小解决实际方案选择问题，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
（1）求函数解析式可采用待定系数法：首先判断$y_1$的函数类型，甲公司有固定租金80元，即$x=0$时$y_1=80$，因此$y_1$是一次函数，形式为$y_1=kx+80$，只需代入$y_1$经过的已知点$(2,110)$即可求出$k$的值；乙公司无固定租金，即$x=0$时$y_2=0$，因此$y_2$是正比例函数，形式为$y_2=mx$，代入$y_2$经过的已知点$(5,150)$即可求出$m$的值。
（2）选择合算的租车方案本质是比较两个函数值的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$三种情况，分别解方程、不等式得到对应的租车时间范围，即可得出不同情况下的最优方案。
【解析】
（1）设$y_1=kx+80$（$k≠0$），将点$(2,110)$代入解析式得：
$110=2k+80$，解得$k=15$，
因此$y_1$与$x$的函数解析式为$y_1=15x+80$（$x≥0$）。
设$y_2=mx$（$m≠0$），将点$(5,150)$代入解析式得：
$150=5m$，解得$m=30$，
因此$y_2$与$x$的函数解析式为$y_2=30x$（$x≥0$）。
（2）分三种情况讨论：
① 当$y_1=y_2$时，两者花费相同，列方程得：
$15x+80=30x$，解得$x=\frac{16}{3}$；
② 当$y_1＜y_2$时，选择甲公司更合算，列不等式得：
$15x+80＜30x$，解得$x＞\frac{16}{3}$；
③ 当$y_1＞y_2$时，选择乙公司更合算，列不等式得：
$15x+80＞30x$，解得$x＜\frac{16}{3}$。
【答案】
（1）$y_1=15x+80$，$y_2=30x$；
（2）当租车时间为$\frac{16}{3}$小时时，两家公司花费相同；当租车时间大于$\frac{16}{3}$小时时，选择甲公司合算；当租车时间小于$\frac{16}{3}$小时时，选择乙公司合算。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数实际应用
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能够通过比较函数值的大小解决实际方案选择问题，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
