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1. －8的立方根为 （
A.－4
B.－2
C.$2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$
B
）A.－4
B.－2
C.$2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即x³=a，那么x就叫做a的立方根。要求-8的立方根，本质就是找到满足x³=-8的x的值，结合“负数的立方根仍为负数”的性质，我们可以通过计算各选项的立方，或者直接运算得出结果。
【解析】
根据立方根的定义，我们计算各选项的立方：
A选项：$(-4)^3=-64≠-8$，不符合要求；
B选项：$(-2)^3=-8$，满足立方等于-8，符合立方根的定义；
C选项：$(2\sqrt{2})^3=16\sqrt{2}$，结果为正数且不等于-8，不符合要求；
D选项：$(-2\sqrt{2})^3=-16\sqrt{2}≠-8$，不符合要求。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义、有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对立方根定义的掌握程度，解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数有且只有一个负的立方根，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即x³=a，那么x就叫做a的立方根。要求-8的立方根，本质就是找到满足x³=-8的x的值，结合“负数的立方根仍为负数”的性质，我们可以通过计算各选项的立方，或者直接运算得出结果。
【解析】
根据立方根的定义，我们计算各选项的立方：
A选项：$(-4)^3=-64≠-8$，不符合要求；
B选项：$(-2)^3=-8$，满足立方等于-8，符合立方根的定义；
C选项：$(2\sqrt{2})^3=16\sqrt{2}$，结果为正数且不等于-8，不符合要求；
D选项：$(-2\sqrt{2})^3=-16\sqrt{2}≠-8$，不符合要求。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义、有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对立方根定义的掌握程度，解题时注意区分立方根与平方根的性质，负数有且只有一个负的立方根，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的是 （
A.－27 的立方根是 3
B.16 的平方根是 4
C.4 的算术平方根是±2
D.1 的立方根是 1
D
）A.－27 的立方根是 3
B.16 的平方根是 4
C.4 的算术平方根是±2
D.1 的立方根是 1
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的概念辨析，解题时首先要明确三个概念的核心区别：①立方根：任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②平方根：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根；③算术平方根：正数的正的平方根叫做它的算术平方根，只有非负值。我们只需逐一验证每个选项是否符合概念，即可选出正确答案。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 因为$(-3)^3=-27$，所以-27的立方根是-3，不是3，该选项错误；
B. 16是正数，它的平方根为$\pm4$，不是只有4，该选项错误；
C. 4的算术平方根是指正的平方根，结果为2，不是$\pm2$，该选项错误；
D. 因为$1^3=1$，所以1的立方根是1，该选项正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
立方根；平方根；算术平方根
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆平方根和算术平方根的取值范围，以及忽略负数立方根的符号特征，准确记忆三类方根的定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的概念辨析，解题时首先要明确三个概念的核心区别：①立方根：任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0；②平方根：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根；③算术平方根：正数的正的平方根叫做它的算术平方根，只有非负值。我们只需逐一验证每个选项是否符合概念，即可选出正确答案。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 因为$(-3)^3=-27$，所以-27的立方根是-3，不是3，该选项错误；
B. 16是正数，它的平方根为$\pm4$，不是只有4，该选项错误；
C. 4的算术平方根是指正的平方根，结果为2，不是$\pm2$，该选项错误；
D. 因为$1^3=1$，所以1的立方根是1，该选项正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
立方根；平方根；算术平方根
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆平方根和算术平方根的取值范围，以及忽略负数立方根的符号特征，准确记忆三类方根的定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3.(1)已知$a^3=8$，$\sqrt[3]{b}=-2$，则$\sqrt{6a+b}=$
(2)若一个数的立方根是0.3，则这个数是
2
；(2)若一个数的立方根是0.3，则这个数是
0.027
。答案
3.(1)2 (2)0.027
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 要计算$\sqrt{6a+b}$的值，需先求出$a$和$b$的取值。根据立方根与立方运算的互逆关系：已知一个数的立方求原数，就是求该数的立方根；已知一个数的立方根求原数，就是对立方根做立方运算。得到$a$、$b$后代入代数式求值，最后计算算术平方根即可。
(2) 已知一个数的立方根求原数，直接将立方根进行三次乘方运算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$a^3=8$，根据立方根的定义，得$a=\sqrt[3]{8}=2$；
又因为$\sqrt[3]{b}=-2$，对等式两边同时立方，得$b=(-2)^3=-8$；
将$a=2$，$b=-8$代入$6a+b$，得$6×2+(-8)=12-8=4$；
因此$\sqrt{6a+b}=\sqrt{4}=2$。
(2) 设这个数为$x$，由题意得$\sqrt[3]{x}=0.3$，对等式两边同时立方，得$x=0.3^3=0.3×0.3×0.3=0.027$。
【答案】
(1)$2$；(2)$0.027$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根计算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于立方根相关的基础运算题，核心考查立方与开立方的互逆运算关系，牢记开方和乘方的运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：
(1) 要计算$\sqrt{6a+b}$的值，需先求出$a$和$b$的取值。根据立方根与立方运算的互逆关系：已知一个数的立方求原数，就是求该数的立方根；已知一个数的立方根求原数，就是对立方根做立方运算。得到$a$、$b$后代入代数式求值，最后计算算术平方根即可。
(2) 已知一个数的立方根求原数，直接将立方根进行三次乘方运算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$a^3=8$，根据立方根的定义，得$a=\sqrt[3]{8}=2$；
又因为$\sqrt[3]{b}=-2$，对等式两边同时立方，得$b=(-2)^3=-8$；
将$a=2$，$b=-8$代入$6a+b$，得$6×2+(-8)=12-8=4$；
因此$\sqrt{6a+b}=\sqrt{4}=2$。
(2) 设这个数为$x$，由题意得$\sqrt[3]{x}=0.3$，对等式两边同时立方，得$x=0.3^3=0.3×0.3×0.3=0.027$。
【答案】
(1)$2$；(2)$0.027$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根计算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于立方根相关的基础运算题，核心考查立方与开立方的互逆运算关系，牢记开方和乘方的运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
4.若一个数的立方根等于它本身，则这个数是
1,-1或0
。答案
4.1,-1或0
解析
【分析】
解题时首先设这个数为$a$，根据题意“立方根等于它本身”可列出等式$\sqrt[3]{a}=a$。接下来利用立方根和立方的互逆关系，将等式两边同时立方得到关于$a$的方程，再通过因式分解求解方程，最后对得到的解逐一验证是否符合题意即可，注意不要遗漏负数和0的情况。
【解析】
设这个数为$a$，根据题意可得：
$\sqrt[3]{a}=a$
等式两边同时立方，得：
$a=a^3$
移项整理得：
$a^3 - a = 0$
提取公因式$a$，再利用平方差公式分解因式：
$a(a^2 - 1)=a(a-1)(a+1)=0$
解得：$a=0$或$a=1$或$a=-1$
验证：$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，均符合题意。
【答案】
1，-1或0
【知识点】
立方根的定义；因式分解；方程求解
【点评】
本题是立方根相关的基础常考题，核心考查对立方根概念的理解，解题时容易出现漏解的问题，要注意验证特殊值0和负数是否满足条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先设这个数为$a$，根据题意“立方根等于它本身”可列出等式$\sqrt[3]{a}=a$。接下来利用立方根和立方的互逆关系，将等式两边同时立方得到关于$a$的方程，再通过因式分解求解方程，最后对得到的解逐一验证是否符合题意即可，注意不要遗漏负数和0的情况。
【解析】
设这个数为$a$，根据题意可得：
$\sqrt[3]{a}=a$
等式两边同时立方，得：
$a=a^3$
移项整理得：
$a^3 - a = 0$
提取公因式$a$，再利用平方差公式分解因式：
$a(a^2 - 1)=a(a-1)(a+1)=0$
解得：$a=0$或$a=1$或$a=-1$
验证：$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，均符合题意。
【答案】
1，-1或0
【知识点】
立方根的定义；因式分解；方程求解
【点评】
本题是立方根相关的基础常考题，核心考查对立方根概念的理解，解题时容易出现漏解的问题，要注意验证特殊值0和负数是否满足条件。
【难度系数】
0.7
5. 求下列各式的值.
(1) $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$；
(2) $\sqrt[3]{-1000}$；
(3) $\sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}}$；
(4) $\sqrt[3]{\dfrac{7}{8}-1}$；
(5) $\sqrt[3]{(-8)^2}$；
(6) $(\sqrt[3]{-7})^3$。
(1) $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$；
(2) $\sqrt[3]{-1000}$；
(3) $\sqrt[3]{1\dfrac{61}{64}}$；
(4) $\sqrt[3]{\dfrac{7}{8}-1}$；
(5) $\sqrt[3]{(-8)^2}$；
(6) $(\sqrt[3]{-7})^3$。
答案
5.(1)$\dfrac{1}{2}$ (2)$-10$ (3)$\dfrac{5}{4}$ (4)$-\dfrac{1}{2}$ (5)$4$ (6)$-7$
解析
【分析】
本题考查立方根的运算，解题核心是运用立方根的定义和性质求解：①立方根定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；②立方根性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，$(\sqrt[3]{a})^3=a$，$\sqrt[3]{a^3}=a$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。解题时先化简被开方数，将其转化为某个数的立方的形式，再结合上述性质计算即可。
【解析】
(1) 因为$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$；
(2) 因为$(-10)^3=-1000$，根据立方根的性质可得：$\sqrt[3]{-1000}=-10$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\frac{61}{64}=\frac{64+61}{64}=\frac{125}{64}$，又因为$(\frac{5}{4})^3=\frac{125}{64}$，所以$\sqrt[3]{1\frac{61}{64}}=\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=\frac{5}{4}$；
(4) 先计算被开方数：$\frac{7}{8}-1=-\frac{1}{8}$，因为$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{\frac{7}{8}-1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$；
(5) 先计算被开方数：$(-8)^2=64$，因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{(-8)^2}=\sqrt[3]{64}=4$；
(6) 根据立方根的性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，直接可得：$(\sqrt[3]{-7})^3=-7$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}$；(2)$-10$；(3)$\dfrac{5}{4}$；(4)$-\dfrac{1}{2}$；(5)$4$；(6)$-7$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；根式化简运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，解题时要注意先化简被开方数，牢记常见整数的立方值，计算过程中尤其要注意负数立方根的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.85
本题考查立方根的运算，解题核心是运用立方根的定义和性质求解：①立方根定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；②立方根性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，$(\sqrt[3]{a})^3=a$，$\sqrt[3]{a^3}=a$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。解题时先化简被开方数，将其转化为某个数的立方的形式，再结合上述性质计算即可。
【解析】
(1) 因为$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$；
(2) 因为$(-10)^3=-1000$，根据立方根的性质可得：$\sqrt[3]{-1000}=-10$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\frac{61}{64}=\frac{64+61}{64}=\frac{125}{64}$，又因为$(\frac{5}{4})^3=\frac{125}{64}$，所以$\sqrt[3]{1\frac{61}{64}}=\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=\frac{5}{4}$；
(4) 先计算被开方数：$\frac{7}{8}-1=-\frac{1}{8}$，因为$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{\frac{7}{8}-1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$；
(5) 先计算被开方数：$(-8)^2=64$，因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{(-8)^2}=\sqrt[3]{64}=4$；
(6) 根据立方根的性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，直接可得：$(\sqrt[3]{-7})^3=-7$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}$；(2)$-10$；(3)$\dfrac{5}{4}$；(4)$-\dfrac{1}{2}$；(5)$4$；(6)$-7$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；根式化简运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，解题时要注意先化简被开方数，牢记常见整数的立方值，计算过程中尤其要注意负数立方根的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.85
6. 下列各式中,错误的是 （
A.$\sqrt{25}=5$
B.$\pm\sqrt{64}=\pm8$
C.$\sqrt[3]{-8}=-2$
D.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
D
）A.$\sqrt{25}=5$
B.$\pm\sqrt{64}=\pm8$
C.$\sqrt[3]{-8}=-2$
D.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查算术平方根、平方根、立方根的基本性质与运算，解题时需先明确三类根式的运算规则：1. 非负数的算术平方根结果为非负数；2. 正数的平方根有两个，互为相反数；3. 立方根的符号与被开立方的数的符号一致。再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结论对比，即可找出错误的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，因为$5^2=25$，所以$\sqrt{25}=5$，该选项计算正确，不符合题意；
B选项：$\pm\sqrt{64}$表示64的平方根，因为$(\pm8)^2=64$，所以$\pm\sqrt{64}=\pm8$，该选项计算正确，不符合题意；
C选项：$\sqrt[3]{-8}$表示-8的立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项计算正确，不符合题意；
D选项：先计算被开方数：$(-6)^2=36$，则$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}$，$\sqrt{36}$是36的算术平方根，结果为6，不等于-6，该选项计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的运算，平方根的运算，立方根的运算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心考查对算术平方根非负性的理解，以及平方根、立方根性质的区分，易错点是混淆算术平方根和平方根的符号规则，直接忽略算术平方根的非负性误判D选项正确。
【难度系数】
0.7
本题考查算术平方根、平方根、立方根的基本性质与运算，解题时需先明确三类根式的运算规则：1. 非负数的算术平方根结果为非负数；2. 正数的平方根有两个，互为相反数；3. 立方根的符号与被开立方的数的符号一致。再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结论对比，即可找出错误的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，因为$5^2=25$，所以$\sqrt{25}=5$，该选项计算正确，不符合题意；
B选项：$\pm\sqrt{64}$表示64的平方根，因为$(\pm8)^2=64$，所以$\pm\sqrt{64}=\pm8$，该选项计算正确，不符合题意；
C选项：$\sqrt[3]{-8}$表示-8的立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项计算正确，不符合题意；
D选项：先计算被开方数：$(-6)^2=36$，则$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}$，$\sqrt{36}$是36的算术平方根，结果为6，不等于-6，该选项计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的运算，平方根的运算，立方根的运算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心考查对算术平方根非负性的理解，以及平方根、立方根性质的区分，易错点是混淆算术平方根和平方根的符号规则，直接忽略算术平方根的非负性误判D选项正确。
【难度系数】
0.7
7.若$2a^2=32$，则$\sqrt[3]{4-a}$的值为 （
A.0
B.$-2$
C.0或2
D.0或$-2$
C
）A.0
B.$-2$
C.0或2
D.0或$-2$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先需要先根据已知方程求出a的所有可能取值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；再将a的不同取值分别代入待求代数式，根据立方根的定义计算结果，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
第一步：求解a的取值
已知$2a^2=32$，等式两边同时除以2得：$a^2=16$
根据平方根的性质，平方等于16的数有两个，即$a=4$或$a=-4$
第二步：分别代入计算立方根
①当$a=4$时，$\sqrt[3]{4-a}=\sqrt[3]{4-4}=\sqrt[3]{0}=0$
②当$a=-4$时，$\sqrt[3]{4-a}=\sqrt[3]{4-(-4)}=\sqrt[3]{8}=2$
因此$\sqrt[3]{4-a}$的值为0或2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查平方根和立方根的性质区别，易错点是求解a的取值时只取正数解$a=4$，遗漏负数解$a=-4$，导致漏算结果，做题时要注意正数的平方根有两个，立方根只有一个，二者性质不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要先根据已知方程求出a的所有可能取值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；再将a的不同取值分别代入待求代数式，根据立方根的定义计算结果，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
第一步：求解a的取值
已知$2a^2=32$，等式两边同时除以2得：$a^2=16$
根据平方根的性质，平方等于16的数有两个，即$a=4$或$a=-4$
第二步：分别代入计算立方根
①当$a=4$时，$\sqrt[3]{4-a}=\sqrt[3]{4-4}=\sqrt[3]{0}=0$
②当$a=-4$时，$\sqrt[3]{4-a}=\sqrt[3]{4-(-4)}=\sqrt[3]{8}=2$
因此$\sqrt[3]{4-a}$的值为0或2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查平方根和立方根的性质区别，易错点是求解a的取值时只取正数解$a=4$，遗漏负数解$a=-4$，导致漏算结果，做题时要注意正数的平方根有两个，立方根只有一个，二者性质不要混淆。
【难度系数】
0.7
8.若两个连续整数$a,b$满足$a＜\sqrt[3]{68}＜b$，则$\frac{1}{ab}$的值为
$\dfrac{1}{20}$
。答案
8.$\dfrac{1}{20}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt[3]{68}$的取值范围，找到满足条件的连续整数$a$和$b$，再代入代数式$\frac{1}{ab}$计算即可。具体思考步骤：①回忆立方根的性质，若$x^3=m$，则$x=\sqrt[3]{m}$，要找$\sqrt[3]{68}$在哪两个连续整数之间，只需找相邻的两个整数，它们的立方分别小于和大于68；②确定$a$、$b$的值后，计算乘积$ab$，再求倒数即可。
【解析】
第一步，计算相邻整数的立方，确定$\sqrt[3]{68}$的范围：
因为$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，且$64 ＜ 68 ＜ 125$，
根据立方根的性质，对不等式各项同时开立方，不等号方向不变，可得：
$\sqrt[3]{64} ＜ \sqrt[3]{68} ＜ \sqrt[3]{125}$，即$4 ＜ \sqrt[3]{68} ＜ 5$。
第二步，确定$a$、$b$的值：
已知$a$、$b$是连续整数，且$a ＜ \sqrt[3]{68} ＜ b$，所以$a=4$，$b=5$。
第三步，代入计算$\frac{1}{ab}$：
$ab = 4 × 5 = 20$，因此$\frac{1}{ab} = \frac{1}{20}$。
【答案】
$\dfrac{1}{20}$
【知识点】
立方根的估算；代数式求值
【点评】
本题考查对立方根的理解和估算能力，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全立方数，从而确定无理数的整数范围，再代入代数式计算即可，是立方根应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt[3]{68}$的取值范围，找到满足条件的连续整数$a$和$b$，再代入代数式$\frac{1}{ab}$计算即可。具体思考步骤：①回忆立方根的性质，若$x^3=m$，则$x=\sqrt[3]{m}$，要找$\sqrt[3]{68}$在哪两个连续整数之间，只需找相邻的两个整数，它们的立方分别小于和大于68；②确定$a$、$b$的值后，计算乘积$ab$，再求倒数即可。
【解析】
第一步，计算相邻整数的立方，确定$\sqrt[3]{68}$的范围：
因为$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，且$64 ＜ 68 ＜ 125$，
根据立方根的性质，对不等式各项同时开立方，不等号方向不变，可得：
$\sqrt[3]{64} ＜ \sqrt[3]{68} ＜ \sqrt[3]{125}$，即$4 ＜ \sqrt[3]{68} ＜ 5$。
第二步，确定$a$、$b$的值：
已知$a$、$b$是连续整数，且$a ＜ \sqrt[3]{68} ＜ b$，所以$a=4$，$b=5$。
第三步，代入计算$\frac{1}{ab}$：
$ab = 4 × 5 = 20$，因此$\frac{1}{ab} = \frac{1}{20}$。
【答案】
$\dfrac{1}{20}$
【知识点】
立方根的估算；代数式求值
【点评】
本题考查对立方根的理解和估算能力，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全立方数，从而确定无理数的整数范围，再代入代数式计算即可，是立方根应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 已知$4a+4$的立方根是$2$，$2a+4b+2$的算术平方根是$4$，则$a+b$的平方根是________。
答案
9.$\pm2$
解析
【分析】
解题时先根据立方根的定义，若一个数的立方根是2，则这个数等于2的立方，据此列方程求出a的值；再根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，将求出的a代入该式列方程求出b的值；最后计算a+b的和，再求它的平方根即可，注意平方根有两个互为相反数的结果。
【解析】
∵ $4a+4$的立方根是$2$
∴ $4a+4 = 2^3 = 8$
解得：$4a=4$，$a=1$
∵ $2a+4b+2$的算术平方根是$4$
∴ $2a+4b+2 = 4^2 = 16$
把$a=1$代入上式得：$2×1 +4b +2 =16$
化简得：$4+4b=16$，$4b=12$，解得$b=3$
∴ $a+b=1+3=4$
∵ $(\pm2)^2=4$
∴ $4$的平方根是$\pm2$，即$a+b$的平方根是$\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题侧重考查根式相关基础定义的应用，解题核心是根据立方根、算术平方根的性质列方程求解未知参数，需注意平方根和算术平方根的区别，求解平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
解题时先根据立方根的定义，若一个数的立方根是2，则这个数等于2的立方，据此列方程求出a的值；再根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，将求出的a代入该式列方程求出b的值；最后计算a+b的和，再求它的平方根即可，注意平方根有两个互为相反数的结果。
【解析】
∵ $4a+4$的立方根是$2$
∴ $4a+4 = 2^3 = 8$
解得：$4a=4$，$a=1$
∵ $2a+4b+2$的算术平方根是$4$
∴ $2a+4b+2 = 4^2 = 16$
把$a=1$代入上式得：$2×1 +4b +2 =16$
化简得：$4+4b=16$，$4b=12$，解得$b=3$
∴ $a+b=1+3=4$
∵ $(\pm2)^2=4$
∴ $4$的平方根是$\pm2$，即$a+b$的平方根是$\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题侧重考查根式相关基础定义的应用，解题核心是根据立方根、算术平方根的性质列方程求解未知参数，需注意平方根和算术平方根的区别，求解平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
