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9. 求下列各式中 $ x $ 的值.
(1)$ 4x^2 = 121 $;
(2)$ (x+2)^2 = 25 $;
(3)$ \sqrt{x+3} = 2 $;
(4)$ 24(x-1)^2 - 6 = 0 $.
(1)$ 4x^2 = 121 $;
(2)$ (x+2)^2 = 25 $;
(3)$ \sqrt{x+3} = 2 $;
(4)$ 24(x-1)^2 - 6 = 0 $.
答案
9.解:(1)整理,得 $x^2=\frac{121}{4}$,开平方,得 $x=\frac{11}{2}$或 $x=-\frac{11}{2}$.
(2)开平方,得 $x+2=\pm5$,解得 $x=3$ 或 $x=-7$.
(3)平方,得 $x+3=4$,解得 $x=1$.
(4)移项,得 $24(x-1)^2=6$,系数化为 1,得$(x-1)^2=\frac{1}{4}$,开平方,得 $x-1=\pm\frac{1}{2}$,解得 $x=\frac{3}{2}$或 $x=\frac{1}{2}$.
(2)开平方,得 $x+2=\pm5$,解得 $x=3$ 或 $x=-7$.
(3)平方,得 $x+3=4$,解得 $x=1$.
(4)移项,得 $24(x-1)^2=6$,系数化为 1,得$(x-1)^2=\frac{1}{4}$,开平方,得 $x-1=\pm\frac{1}{2}$,解得 $x=\frac{3}{2}$或 $x=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这四道题均为利用平方根相关知识求解一元方程的题型，解题核心思路如下：首先通过移项、系数化为1等代数变形，将方程转化为“某个式子的平方等于非负常数”，或“算术平方根等于非负常数”的标准形式；对于平方型的方程，根据平方根的定义：若$a^2=b（b≥0）$，则$a=±\sqrt{b}$，开平方后求解即可，注意不要漏掉负根；对于带算术平方根的方程，先根据算术平方根的非负性确定取值范围，再两边平方去掉根号求解，最后代入检验是否为增根。
【解析】
(1) 先将方程系数化为1，整理得：$x^2=\frac{121}{4}$，
根据平方根的定义开平方，得：$x=±\sqrt{\frac{121}{4}}=±\frac{11}{2}$。
(2) 把$(x+2)$看作整体开平方，得：$x+2=±\sqrt{25}=±5$，
当$x+2=5$时，解得$x=3$；当$x+2=-5$时，解得$x=-7$。
(3) 方程两边同时平方，去掉根号得：$x+3=2^2=4$，
解得$x=1$，代入原方程检验，左边$\sqrt{1+3}=2=$右边，解成立。
(4) 先移项得：$24(x-1)^2=6$，
系数化为1得：$(x-1)^2=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$，
把$(x-1)$看作整体开平方得：$x-1=±\sqrt{\frac{1}{4}}=±\frac{1}{2}$，
当$x-1=\frac{1}{2}$时，解得$x=\frac{3}{2}$；当$x-1=-\frac{1}{2}$时，解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x=\frac{11}{2}$或$x=-\frac{11}{2}$；
(2)$x=3$或$x=-7$；
(3)$x=1$；
(4)$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{1}{2}$。
【知识点】
平方根的定义，利用平方根解方程，二次根式的性质
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，侧重考察对平方根定义的理解和运用，解题时要注意：开平方运算会得到正负两个互为相反数的根，不要漏解；求解含算术平方根的方程后要检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.85
这四道题均为利用平方根相关知识求解一元方程的题型，解题核心思路如下：首先通过移项、系数化为1等代数变形，将方程转化为“某个式子的平方等于非负常数”，或“算术平方根等于非负常数”的标准形式；对于平方型的方程，根据平方根的定义：若$a^2=b（b≥0）$，则$a=±\sqrt{b}$，开平方后求解即可，注意不要漏掉负根；对于带算术平方根的方程，先根据算术平方根的非负性确定取值范围，再两边平方去掉根号求解，最后代入检验是否为增根。
【解析】
(1) 先将方程系数化为1，整理得：$x^2=\frac{121}{4}$，
根据平方根的定义开平方，得：$x=±\sqrt{\frac{121}{4}}=±\frac{11}{2}$。
(2) 把$(x+2)$看作整体开平方，得：$x+2=±\sqrt{25}=±5$，
当$x+2=5$时，解得$x=3$；当$x+2=-5$时，解得$x=-7$。
(3) 方程两边同时平方，去掉根号得：$x+3=2^2=4$，
解得$x=1$，代入原方程检验，左边$\sqrt{1+3}=2=$右边，解成立。
(4) 先移项得：$24(x-1)^2=6$，
系数化为1得：$(x-1)^2=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$，
把$(x-1)$看作整体开平方得：$x-1=±\sqrt{\frac{1}{4}}=±\frac{1}{2}$，
当$x-1=\frac{1}{2}$时，解得$x=\frac{3}{2}$；当$x-1=-\frac{1}{2}$时，解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x=\frac{11}{2}$或$x=-\frac{11}{2}$；
(2)$x=3$或$x=-7$；
(3)$x=1$；
(4)$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{1}{2}$。
【知识点】
平方根的定义，利用平方根解方程，二次根式的性质
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，侧重考察对平方根定义的理解和运用，解题时要注意：开平方运算会得到正负两个互为相反数的根，不要漏解；求解含算术平方根的方程后要检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.85
10.已知正数$ x $的平方根为$ a $和$ a+b $.
(1)当$ b=6 $时,$ x $的值为________;
(2)若$ a^2x+(a+b)^2x=8 $,则$ x $的值为________.
(1)当$ b=6 $时,$ x $的值为________;
(2)若$ a^2x+(a+b)^2x=8 $,则$ x $的值为________.
答案
10.(1)9 (2)2
解析
【分析】
解题首先回忆平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正数本身。
针对第(1)问：先根据“两个平方根互为相反数”得到$a + (a+b) = 0$，将$b=6$代入该式就能求出$a$的值，再用$x = a^2$即可算出$x$的结果。
针对第(2)问：根据“平方根的平方等于原数”，可得$a^2=x$、$(a+b)^2=x$，把这两个关系代入已知的等式，就能得到只含$x$的方程，解方程后结合$x$是正数的条件，即可得到$x$的取值。
【解析】
(1) 因为正数$x$的平方根是$a$和$a+b$，由正数的两个平方根互为相反数可得：
$a + (a + b) = 0$，即$2a + b = 0$
当$b=6$时，代入得$2a + 6 = 0$，解得$a=-3$
又因为平方根的平方等于原数，所以$x = a^2 = (-3)^2 = 9$
(2) 由平方根的性质可知：$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$，代入$a^2x + (a+b)^2x =8$得：
$x· x + x· x = 8$
即$2x^2 = 8$，化简得$x^2 = 4$
因为$x$是正数，所以$x = 2$（负根舍去）
【答案】
(1)9；(2)2
【知识点】
平方根的性质，一元一次方程求解，开方运算
【点评】
本题围绕平方根的基础性质命题，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握正数的两个平方根的关系，以及平方根与原数的关系，计算时注意$x$是正数的隐含条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正数本身。
针对第(1)问：先根据“两个平方根互为相反数”得到$a + (a+b) = 0$，将$b=6$代入该式就能求出$a$的值，再用$x = a^2$即可算出$x$的结果。
针对第(2)问：根据“平方根的平方等于原数”，可得$a^2=x$、$(a+b)^2=x$，把这两个关系代入已知的等式，就能得到只含$x$的方程，解方程后结合$x$是正数的条件，即可得到$x$的取值。
【解析】
(1) 因为正数$x$的平方根是$a$和$a+b$，由正数的两个平方根互为相反数可得：
$a + (a + b) = 0$，即$2a + b = 0$
当$b=6$时，代入得$2a + 6 = 0$，解得$a=-3$
又因为平方根的平方等于原数，所以$x = a^2 = (-3)^2 = 9$
(2) 由平方根的性质可知：$a^2 = x$，$(a+b)^2 = x$，代入$a^2x + (a+b)^2x =8$得：
$x· x + x· x = 8$
即$2x^2 = 8$，化简得$x^2 = 4$
因为$x$是正数，所以$x = 2$（负根舍去）
【答案】
(1)9；(2)2
【知识点】
平方根的性质，一元一次方程求解，开方运算
【点评】
本题围绕平方根的基础性质命题，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握正数的两个平方根的关系，以及平方根与原数的关系，计算时注意$x$是正数的隐含条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
