9. 军军猜想对于实数$ m,n(m＞0,n＞0),m+n $与$ 2\sqrt{mn} $之间存在某种大小关系,请你解决下列问题.
(1)军军先尝试用特殊数据探究:$ 4+3 $ $ 2\sqrt{4×3},1+\frac{1}{6} $ $ 2\sqrt{1×\frac{1}{6}},5+5 $ $ 2\sqrt{5×5} $(选填“＞”“＜”或“=”).
(2)由(1)中各式猜想$ m+n $与$ 2\sqrt{mn}(m＞0,n＞0) $的大小,并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面问题:某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成矩形的花圃.如图所示,花圃恰好可以借用一段墙体,为了围成面积为$ 200\ \mathrm{m}^2 $的花圃,所用的篱笆至少需要 m.

$\boldsymbol{40}$

解：
(1)
$4+3=7$，$2\sqrt{4×3}=4\sqrt{3}\approx6.928$，故$4+3＞2\sqrt{4×3}$；
$1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\approx1.167$，$2\sqrt{1×\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx0.816$，故$1+\frac{1}{6}＞2\sqrt{1×\frac{1}{6}}$；
$5+5=10$，$2\sqrt{5×5}=10$，故$5+5=2\sqrt{5×5}$。
答案依次为：$＞$，$＞$，$=$。
(2)
猜想：$m+n≥2\sqrt{mn}\ (m＞0,n＞0)$，当且仅当$m=n$时等号成立。
理由：$\because m＞0,n＞0$，
$\therefore (\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0$，
展开得：$m-2\sqrt{mn}+n≥0$，
移项可得：$m+n≥2\sqrt{mn}$，当且仅当$\sqrt{m}=\sqrt{n}$即$m=n$时，等号成立。
(3)
设矩形花圃垂直于墙体的边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于墙体的边长为$y\ \mathrm{m}$，由题意得$xy=200$，篱笆总长度为$(2x+y)\ \mathrm{m}$。
根据上述结论：
$2x+y≥2\sqrt{2x· y}=2\sqrt{2xy}=2\sqrt{2×200}=2\sqrt{400}=40$，
当且仅当$2x=y$时取等号，此时$x=10$，$y=20$，符合实际条件。
即所用篱笆至少需要$40\ \mathrm{m}$。
最终