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1. 已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}, y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，则$x^3y+xy^3$的结果为 （）
A.$10+2\sqrt{2}$
B.$10$
C.$10-2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
A.$10+2\sqrt{2}$
B.$10$
C.$10-2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
B
解析
先对所求式子因式分解：
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=xy[(x+y)^2-2xy]$
计算$x+y$：
$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
计算$xy$，利用平方差公式：
$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
将$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=1$代入变形后的式子：
原式$=1×[(2\sqrt{3})^2 - 2×1]=12-2=10$
$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=xy[(x+y)^2-2xy]$
计算$x+y$：
$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
计算$xy$，利用平方差公式：
$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
将$x+y=2\sqrt{3}$，$xy=1$代入变形后的式子：
原式$=1×[(2\sqrt{3})^2 - 2×1]=12-2=10$
2. 下列式子中正确的是 （）
A.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
B.$\sqrt{a^2 - b^2}=a - b$
C.$a\sqrt{x} - b\sqrt{x}=(a - b)\sqrt{x}$
D.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{3}+\sqrt{4}$
A.$\sqrt{5}+\sqrt{2}=\sqrt{7}$
B.$\sqrt{a^2 - b^2}=a - b$
C.$a\sqrt{x} - b\sqrt{x}=(a - b)\sqrt{x}$
D.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{3}+\sqrt{4}$
答案
C
解析
逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{2}≠\sqrt{7}$，该式错误。
2. 选项B：$a^2-b^2$不是完全平方式，$\sqrt{a^2-b^2}$已经是最简二次根式，不能化简为$a-b$，该式错误。
3. 选项C：根据二次根式的加减运算法则，提取公因式$\sqrt{x}$，可得$a\sqrt{x}-b\sqrt{x}=(a-b)\sqrt{x}$，该式正确。
4. 选项D：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{2}$，而$\sqrt{3}+\sqrt{4}=\sqrt{3}+2$，两者不相等，该式错误。
1. 选项A：$\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，$\sqrt{5}+\sqrt{2}≠\sqrt{7}$，该式错误。
2. 选项B：$a^2-b^2$不是完全平方式，$\sqrt{a^2-b^2}$已经是最简二次根式，不能化简为$a-b$，该式错误。
3. 选项C：根据二次根式的加减运算法则，提取公因式$\sqrt{x}$，可得$a\sqrt{x}-b\sqrt{x}=(a-b)\sqrt{x}$，该式正确。
4. 选项D：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{2}$，而$\sqrt{3}+\sqrt{4}=\sqrt{3}+2$，两者不相等，该式错误。
3.若$6-\sqrt{14}$的整数部分为$x$，小数部分为$y$，则$(2x+\sqrt{14})y$的值是（）
A.$5-\sqrt{14}$
B.$2$
C.$3\sqrt{14}-5$
D.$-2$
A.$5-\sqrt{14}$
B.$2$
C.$3\sqrt{14}-5$
D.$-2$
答案
B
解析
先估算无理数$\sqrt{14}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$3＜\sqrt{14}＜4$，
由此可得$2＜6-\sqrt{14}＜3$，因此$6-\sqrt{14}$的整数部分$x=2$，
小数部分$y=6-\sqrt{14}-2=4-\sqrt{14}$。
将$x$、$y$代入$(2x+\sqrt{14})y$：
$(2×2+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})=(4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})=4^2-(\sqrt{14})^2=16-14=2$
因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$3＜\sqrt{14}＜4$，
由此可得$2＜6-\sqrt{14}＜3$，因此$6-\sqrt{14}$的整数部分$x=2$，
小数部分$y=6-\sqrt{14}-2=4-\sqrt{14}$。
将$x$、$y$代入$(2x+\sqrt{14})y$：
$(2×2+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})=(4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})=4^2-(\sqrt{14})^2=16-14=2$
4.电流通过导线时会产生热量，电流$ I $（单位：A）、导线电阻$ R $（单位：$\Omega$）、通电时间$ t $（单位：s）与产生的热量$ Q $（单位：J）满足$ Q=I^2Rt $。已知导线的电阻为2 $\Omega$，1 s时间导线产生50 J的热量，电流$ I $的值是（）
A.2
B.5
C.8
D.10
A.2
B.5
C.8
D.10
答案
B
解析
将已知的Q=50J，R=2Ω，t=1s代入公式Q=I²Rt，可得50 = I²×2×1，整理后得到I²=25，由于电流为正值，解得I=5A。
5. 若$a=\sqrt{6}-\sqrt{2},b=\sqrt{3}-1,c=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$，则$a,b,c$之间的大小关系是。
答案
$\boldsymbol{a＞b＞c}$
解析
解：
先对$c$分母有理化：
$c=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
将$a$、$b$变形可得：
$a=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1),\quad b=\sqrt{3}-1$
因为$\sqrt{2}＞1$，且$\sqrt{3}-1＞0$，所以：
$a=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)＞\sqrt{3}-1=b$
又因为$\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$，且$\sqrt{3}-1＞0$，所以：
$c=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}＜\sqrt{3}-1=b$
综上可得$a＞b＞c$。
最终
先对$c$分母有理化：
$c=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
将$a$、$b$变形可得：
$a=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1),\quad b=\sqrt{3}-1$
因为$\sqrt{2}＞1$，且$\sqrt{3}-1＞0$，所以：
$a=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)＞\sqrt{3}-1=b$
又因为$\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$，且$\sqrt{3}-1＞0$，所以：
$c=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2}＜\sqrt{3}-1=b$
综上可得$a＞b＞c$。
最终
6.一个物体由静止开始沿斜坡下滑的距离d(单位:m)与运动时间t(单位:s)满足关系$d=\frac{1}{2}t^2$，若用含有d的式子表示t，则t=，当d=5时，t的值是。
答案
$\sqrt{2d}$；$\sqrt{10}$
解析
解：
由$d=\frac{1}{2}t^2$变形，两边同乘2得：
$t^2=2d$
因为运动时间$t＞0$，所以$t=\sqrt{2d}$。
将$d=5$代入$t=\sqrt{2d}$，得：
$t=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$
由$d=\frac{1}{2}t^2$变形，两边同乘2得：
$t^2=2d$
因为运动时间$t＞0$，所以$t=\sqrt{2d}$。
将$d=5$代入$t=\sqrt{2d}$，得：
$t=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$
7. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间$t$(单位:s)与细线的长度$L$(单位:m)之间满足关系$t=2π\sqrt{\frac{L}{10}}$，当细线的长度为0.3 m时，小重物来回摆动一次所用的时间是s.
答案
解：
将$L=0.3$代入关系式$t=2π\sqrt{\frac{L}{10}}$，得：
$\begin{aligned}t&=2π\sqrt{\frac{0.3}{10}}\\&=2π\sqrt{\frac{3}{100}}\\&=2π×\frac{\sqrt{3}}{10}\\&=\frac{\sqrt{3}π}{5}\end{aligned}$
$\frac{\sqrt{3}π}{5}$
将$L=0.3$代入关系式$t=2π\sqrt{\frac{L}{10}}$，得：
$\begin{aligned}t&=2π\sqrt{\frac{0.3}{10}}\\&=2π\sqrt{\frac{3}{100}}\\&=2π×\frac{\sqrt{3}}{10}\\&=\frac{\sqrt{3}π}{5}\end{aligned}$
$\frac{\sqrt{3}π}{5}$
8. 已知$x+y=5$，$xy=3$，求$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$的值。
答案
解：
∵ $x+y=5＞0$，$xy=3＞0$，
∴ $x＞0$，$y＞0$，
∴ $\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$=\sqrt{\dfrac{xy}{y^2}}+\sqrt{\dfrac{xy}{x^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{xy}}{y}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x}$
$=\sqrt{xy}·\dfrac{x+y}{xy}$
将$x+y=5$，$xy=3$代入得：
原式$=\sqrt{3}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
∵ $x+y=5＞0$，$xy=3＞0$，
∴ $x＞0$，$y＞0$，
∴ $\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$=\sqrt{\dfrac{xy}{y^2}}+\sqrt{\dfrac{xy}{x^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{xy}}{y}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x}$
$=\sqrt{xy}·\dfrac{x+y}{xy}$
将$x+y=5$，$xy=3$代入得：
原式$=\sqrt{3}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
