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23.如图,在四边形ABCD中,CD//AB,连接AC,E是AC的中点,连接DE并延长交AB于点F.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
(2)若BF=FC,AB=10,求四边形AFCD的周长.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
(2)若BF=FC,AB=10,求四边形AFCD的周长.
答案
23.(1)证明:$\because E$是AC的中点,$\therefore AE=CE$.
$\because CD// AB,\therefore ∠AFE=∠CDE$.
在$△ AEF$和$△ CED$中,$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CED(\mathrm{AAS}),\therefore AF=CD$.
$\because CD// AB$,即$AF// CD$,$\therefore$四边形AFCD是平行四边形.
(2)解:$\because BF=FC,AB=10,\therefore AF+FC=AF+BF=AB=10,\therefore C_{\mathrm{四边形}AFCD}=2(AF+FC)=20$.
$\because CD// AB,\therefore ∠AFE=∠CDE$.
在$△ AEF$和$△ CED$中,$\begin{cases} ∠AFE=∠CDE, \\ ∠AEF=∠CED, \\ AE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CED(\mathrm{AAS}),\therefore AF=CD$.
$\because CD// AB$,即$AF// CD$,$\therefore$四边形AFCD是平行四边形.
(2)解:$\because BF=FC,AB=10,\therefore AF+FC=AF+BF=AB=10,\therefore C_{\mathrm{四边形}AFCD}=2(AF+FC)=20$.
24. A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息见下表:
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求$a,b$的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量$x$(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的$\frac{4}{3}$,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为$y$元,求$y$的最大值.
(注意:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差)
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求$a,b$的值;
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量$x$(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的$\frac{4}{3}$,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为$y$元,求$y$的最大值.
(注意:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差)
答案
24. 解:(1)根据题意,得$\begin{cases} 8a+7b=670, \\ 4a+5b=410, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=40, \\ b=50, \end{cases}$$\therefore a$的值是40,b的值是50.
(2)易得购买B种型号吉祥物的数量为$(90-x)$个.根据题意,得$\begin{cases} x≥\frac{4}{3}(90-x), \\ x≤2(90-x), \end{cases}$解得$\frac{360}{7}≤ x≤60$.易得$y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720$.$\because -3＜0$,$\therefore y$随x的减小而增大.$\because \frac{360}{7}≤ x≤60$且x为整数,$\therefore$当$x=52$时,y的值最大,$y_{\mathrm{最大}}=-3×52+720=564$,$\therefore y$的最大值是564.
解得$\begin{cases} a=40, \\ b=50, \end{cases}$$\therefore a$的值是40,b的值是50.
(2)易得购买B种型号吉祥物的数量为$(90-x)$个.根据题意,得$\begin{cases} x≥\frac{4}{3}(90-x), \\ x≤2(90-x), \end{cases}$解得$\frac{360}{7}≤ x≤60$.易得$y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720$.$\because -3＜0$,$\therefore y$随x的减小而增大.$\because \frac{360}{7}≤ x≤60$且x为整数,$\therefore$当$x=52$时,y的值最大,$y_{\mathrm{最大}}=-3×52+720=564$,$\therefore y$的最大值是564.
