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判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
1. 二元一次方程组的解法的基本思路是消元. （）
2. 代入消元法(简称代入法)的关键是用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. （）
3. 加减消元法:通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解,这种方法叫作加减消元法. （）
4. 加减消元法适用于某个未知数的系数有相等或互为相反数或具有倍数关系的方程组,含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再去解. （）
5. 在解方程组$\begin{cases}3x - y = 18①, \\ y = x + 1②\end{cases}$的过程中,将②代入①可得$3x - x + 1 = 18$. （ ）
1. 二元一次方程组的解法的基本思路是消元. （）
2. 代入消元法(简称代入法)的关键是用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. （）
3. 加减消元法:通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解,这种方法叫作加减消元法. （）
4. 加减消元法适用于某个未知数的系数有相等或互为相反数或具有倍数关系的方程组,含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再去解. （）
5. 在解方程组$\begin{cases}3x - y = 18①, \\ y = x + 1②\end{cases}$的过程中,将②代入①可得$3x - x + 1 = 18$. （ ）
答案
1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.×
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组解法的相关概念，解题时需逐个结合消元思想、代入消元法、加减消元法的定义和操作要点判断正误即可：首先回忆二元一次方程组求解的核心思路，再对应代入法、加减法的定义、适用场景和代入操作的注意事项，逐一分析每个说法是否符合所学概念即可。
【解析】
1. 二元一次方程组含有两个未知数，求解的基本思路是消去一个未知数，将其转化为一元一次方程求解，核心是消元，故该说法正确。
2. 代入消元法的首要步骤是选取一个系数简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，这是后续代入消元的关键前提，故该说法正确。
3. 加减消元法的定义就是通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，把方程组转化为一元一次方程求解，符合概念，故该说法正确。
4. 当方程组中某个未知数的系数相等、互为相反数或成倍数关系时，很容易通过乘系数后加减消去该未知数，适合用加减消元法；若方程组含分母、小数、括号，先化简为标准的二元一次方程形式能更方便后续计算，故该说法正确。
5. 将②代入①时，$y$整体为$x+1$，代入后应为$3x-(x+1)=18$，去括号得$3x - x - 1 = 18$，题中代入时没有给$x+1$加括号，导致符号错误，故该说法错误。
【答案】
1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.×
【知识点】
二元一次方程组消元思想；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组解法的基础概念，难度较低，需要熟练掌握消元的核心思路、两种消元方法的定义和操作细节，尤其要注意代入消元时要将替换的部分作为整体处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
本题考查二元一次方程组解法的相关概念，解题时需逐个结合消元思想、代入消元法、加减消元法的定义和操作要点判断正误即可：首先回忆二元一次方程组求解的核心思路，再对应代入法、加减法的定义、适用场景和代入操作的注意事项，逐一分析每个说法是否符合所学概念即可。
【解析】
1. 二元一次方程组含有两个未知数，求解的基本思路是消去一个未知数，将其转化为一元一次方程求解，核心是消元，故该说法正确。
2. 代入消元法的首要步骤是选取一个系数简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，这是后续代入消元的关键前提，故该说法正确。
3. 加减消元法的定义就是通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，把方程组转化为一元一次方程求解，符合概念，故该说法正确。
4. 当方程组中某个未知数的系数相等、互为相反数或成倍数关系时，很容易通过乘系数后加减消去该未知数，适合用加减消元法；若方程组含分母、小数、括号，先化简为标准的二元一次方程形式能更方便后续计算，故该说法正确。
5. 将②代入①时，$y$整体为$x+1$，代入后应为$3x-(x+1)=18$，去括号得$3x - x - 1 = 18$，题中代入时没有给$x+1$加括号，导致符号错误，故该说法错误。
【答案】
1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.×
【知识点】
二元一次方程组消元思想；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组解法的基础概念，难度较低，需要熟练掌握消元的核心思路、两种消元方法的定义和操作细节，尤其要注意代入消元时要将替换的部分作为整体处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
1. 用代入法解方程组$\begin{cases}2x - 1 = y, \\3x - 2y = 1\end{cases}$时，下列代入变形正确的是（ ）
A.$3x - 4x - 1 = 1$
B.$3x - 4x + 1 = 1$
C.$3x - 4x - 2 = 1$
D.$3x - 4x + 2 = 1$
A.$3x - 4x - 1 = 1$
B.$3x - 4x + 1 = 1$
C.$3x - 4x - 2 = 1$
D.$3x - 4x + 2 = 1$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入变形步骤。解题时首先观察方程组，第一个方程已经直接给出y关于x的表达式，只需将该表达式整体代入第二个方程，再按照去括号法则展开即可得到变形后的式子，需注意代入时要将替换的代数式加括号，避免符号错误。
【解析】
首先由第一个方程$2x-1=y$可得：$y=2x-1$。
将$y=2x-1$代入第二个方程$3x-2y=1$中，把$y$看作整体，代入后为：
$3x - 2(2x - 1) = 1$
根据去括号法则展开括号：$-2$乘$2x$得$-4x$，$-2$乘$-1$得$+2$，因此展开后为：
$3x - 4x + 2 = 1$
与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法，去括号法则
【点评】
本题属于代入消元法的基础应用题型，易错点是代入时未将替换的代数式加括号，或者去括号时漏乘系数、符号出错，掌握整体代入思想和去括号规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入变形步骤。解题时首先观察方程组，第一个方程已经直接给出y关于x的表达式，只需将该表达式整体代入第二个方程，再按照去括号法则展开即可得到变形后的式子，需注意代入时要将替换的代数式加括号，避免符号错误。
【解析】
首先由第一个方程$2x-1=y$可得：$y=2x-1$。
将$y=2x-1$代入第二个方程$3x-2y=1$中，把$y$看作整体，代入后为：
$3x - 2(2x - 1) = 1$
根据去括号法则展开括号：$-2$乘$2x$得$-4x$，$-2$乘$-1$得$+2$，因此展开后为：
$3x - 4x + 2 = 1$
与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法，去括号法则
【点评】
本题属于代入消元法的基础应用题型，易错点是代入时未将替换的代数式加括号，或者去括号时漏乘系数、符号出错，掌握整体代入思想和去括号规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2.已知方程组$\begin{cases}x + 2y = 5, \\2x + y = 7,\end{cases}$则$x - y$的值是（ ）
A.2
B.$-2$
C.0
D.$-1$
A.2
B.$-2$
C.0
D.$-1$
答案
2.A
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：观察方程组中两个方程的系数特点，若将第二个方程减去第一个方程，左边化简后恰好是要求的$x-y$，右边是两个常数的差，可直接得出结果，计算更简便；思路2：按照常规二元一次方程组的解法，先求出$x$和$y$的值，再代入$x-y$计算即可，两种方法都符合学段知识要求。
【解析】
方法一（简便法）：
用第二个方程减去第一个方程：
$(2x + y) - (x + 2y) = 7 - 5$
去括号得：$2x + y - x - 2y = 2$
合并同类项得：$x - y = 2$
方法二（常规解法）：
解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5&① \\2x + y = 7&②\end{cases}$
由①得：$x = 5 - 2y$ ③
把③代入②得：$2(5 - 2y) + y = 7$
去括号：$10 - 4y + y = 7$
合并同类项：$10 - 3y = 7$
移项得：$-3y = -3$
解得：$y = 1$
把$y=1$代入③得：$x = 5 - 2×1 = 3$
所以$x - y = 3 - 1 = 2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，既可以通过常规解方程组的步骤求出未知数后代入计算，也可以观察式子结构用整体运算的方法快速得到答案，解题时可多观察式子特点，选择更简便的方法提高解题效率。
【难度系数】
0.9
解题有两种常用思路：思路1：观察方程组中两个方程的系数特点，若将第二个方程减去第一个方程，左边化简后恰好是要求的$x-y$，右边是两个常数的差，可直接得出结果，计算更简便；思路2：按照常规二元一次方程组的解法，先求出$x$和$y$的值，再代入$x-y$计算即可，两种方法都符合学段知识要求。
【解析】
方法一（简便法）：
用第二个方程减去第一个方程：
$(2x + y) - (x + 2y) = 7 - 5$
去括号得：$2x + y - x - 2y = 2$
合并同类项得：$x - y = 2$
方法二（常规解法）：
解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5&① \\2x + y = 7&②\end{cases}$
由①得：$x = 5 - 2y$ ③
把③代入②得：$2(5 - 2y) + y = 7$
去括号：$10 - 4y + y = 7$
合并同类项：$10 - 3y = 7$
移项得：$-3y = -3$
解得：$y = 1$
把$y=1$代入③得：$x = 5 - 2×1 = 3$
所以$x - y = 3 - 1 = 2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，既可以通过常规解方程组的步骤求出未知数后代入计算，也可以观察式子结构用整体运算的方法快速得到答案，解题时可多观察式子特点，选择更简便的方法提高解题效率。
【难度系数】
0.9
3.将方程组$\begin{cases}2x + y = 5,\\2x - 3y = 1\end{cases}$中的$x$消去后，得到的方程是（ ）
A.$4y = 4$
B.$-2y = 6$
C.$2y = 4$
D.$4y = -4$
A.$4y = 4$
B.$-2y = 6$
C.$2y = 4$
D.$4y = -4$
答案
3.A
解析
【分析】
要消去方程组中的x，首先观察两个方程中x的系数，发现两个方程x的系数都是2，数值相等，根据加减消元法的规则，当要消去的未知数系数相等时，将两个方程左右两边分别相减，就可以消去x，再合并同类项整理就能得到仅含y的方程。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}2x + y = 5&①\\2x - 3y = 1&②\end{cases}$
因为两个方程中x的系数均为2，相等，所以用①式减去②式消去x：
左边计算：$(2x + y) - (2x - 3y) = 2x + y - 2x + 3y = 4y$
右边计算：$5 - 1 = 4$
最终得到方程$4y = 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组消元
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，解题关键是观察待消去未知数的系数特征，系数相等时两式相减消元，系数互为相反数时两式相加消元，属于基础题型，熟练掌握消元规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要消去方程组中的x，首先观察两个方程中x的系数，发现两个方程x的系数都是2，数值相等，根据加减消元法的规则，当要消去的未知数系数相等时，将两个方程左右两边分别相减，就可以消去x，再合并同类项整理就能得到仅含y的方程。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}2x + y = 5&①\\2x - 3y = 1&②\end{cases}$
因为两个方程中x的系数均为2，相等，所以用①式减去②式消去x：
左边计算：$(2x + y) - (2x - 3y) = 2x + y - 2x + 3y = 4y$
右边计算：$5 - 1 = 4$
最终得到方程$4y = 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组消元
【点评】
本题考查加减消元法的基础应用，解题关键是观察待消去未知数的系数特征，系数相等时两式相减消元，系数互为相反数时两式相加消元，属于基础题型，熟练掌握消元规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 二元一次方程组$\begin{cases}2x+5y=25, \\4x+3y=15\end{cases}$的解是（ ）
答案
4.B
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元方程求解，常用加减消元法或代入消元法；也可将选项逐一代入两个方程，同时满足两个方程的即为方程组的解。这里选择加减消元法，先消去x求出y，再代入求x即可。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}2x+5y=25&①\\4x+3y=15&②\end{cases}$
将①×2得：$4x+10y=50$ ③
用③减去②消去x：
$(4x+10y)-(4x+3y)=50-15$
化简得$7y=35$，解得$y=5$
把$y=5$代入①式：
$2x+5×5=25$，解得$x=0$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题，既可以通过消元法直接计算得到结果，也可以通过代入选项验证的方法快速选出答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元方程求解，常用加减消元法或代入消元法；也可将选项逐一代入两个方程，同时满足两个方程的即为方程组的解。这里选择加减消元法，先消去x求出y，再代入求x即可。
【解析】
记方程组为$\begin{cases}2x+5y=25&①\\4x+3y=15&②\end{cases}$
将①×2得：$4x+10y=50$ ③
用③减去②消去x：
$(4x+10y)-(4x+3y)=50-15$
化简得$7y=35$，解得$y=5$
把$y=5$代入①式：
$2x+5×5=25$，解得$x=0$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题，既可以通过消元法直接计算得到结果，也可以通过代入选项验证的方法快速选出答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.8
5. 已知$-4a^{x-y}b^4$与$a^2b^{x+y}$是同类项，那么$x,y$的值为（
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
答案
5.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。本题中两个单项式是同类项，说明a的指数对应相等，b的指数也对应相等，我们可以据此列出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组就能得到x、y的取值，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可得方程组：
$\begin{cases}x - y = 2 \\x + y = 4\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：
$(x-y)+(x+y)=2+4$
化简得$2x=6$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$x-y=2$，得$3-y=2$，解得$y=1$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是同类项定义的典型应用题型，解题核心是抓住同类项中“相同字母的指数对应相等”这一核心特征列方程，难度较低，掌握基础概念和简单方程组解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。本题中两个单项式是同类项，说明a的指数对应相等，b的指数也对应相等，我们可以据此列出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组就能得到x、y的取值，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同类项的定义，相同字母的指数相同，可得方程组：
$\begin{cases}x - y = 2 \\x + y = 4\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：
$(x-y)+(x+y)=2+4$
化简得$2x=6$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$x-y=2$，得$3-y=2$，解得$y=1$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题是同类项定义的典型应用题型，解题核心是抓住同类项中“相同字母的指数对应相等”这一核心特征列方程，难度较低，掌握基础概念和简单方程组解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 利用加减消元法解方程组
$\begin{cases}3x - 4y = 16, ① \\5x + 6y = 33, ②\end{cases}$
嘉嘉说:要消去$x$,可以将①×3−②×5;琪琪说:要消去$y$,
可以将①×3+②×2,关于嘉嘉和琪琪的说法,下列判断正确的是 (
A.嘉嘉对,琪琪不对
B.嘉嘉不对,琪琪对
C.嘉嘉和琪琪都对
D.嘉嘉和琪琪都不对
$\begin{cases}3x - 4y = 16, ① \\5x + 6y = 33, ②\end{cases}$
嘉嘉说:要消去$x$,可以将①×3−②×5;琪琪说:要消去$y$,
可以将①×3+②×2,关于嘉嘉和琪琪的说法,下列判断正确的是 (
B
)A.嘉嘉对,琪琪不对
B.嘉嘉不对,琪琪对
C.嘉嘉和琪琪都对
D.嘉嘉和琪琪都不对
答案
6.B
解析
【分析】
要判断嘉嘉和琪琪的说法是否正确，需结合加减消元法的核心规则验证：用加减消元法消去某一未知数时，要先将该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过相加或相减的运算消去该未知数。我们分别验证两人的消元方法是否能消去对应未知数即可。
【解析】
1. 验证嘉嘉的说法：
嘉嘉提出要消去$x$，用①×3−②×5：
①×3得：$9x - 12y = 48$，
②×5得：$25x + 30y = 165$，
两式相减得：$(9x-12y)-(25x+30y)=48-165$，化简为$-16x-42y=-117$，$x$没有被消去，因此嘉嘉的说法错误。
2. 验证琪琪的说法：
琪琪提出要消去$y$，用①×3+②×2：
①×3得：$9x - 12y = 48$，
②×2得：$10x + 12y = 66$，
两式相加得：$(9x-12y)+(10x+12y)=48+66$，化简为$19x=114$，$y$被完全消去，因此琪琪的说法正确。
综上，嘉嘉不对，琪琪对，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查对加减消元法规则的理解，解题时要注意消元前先匹配目标未知数的系数，运算时注意符号的处理，避免因符号失误判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断嘉嘉和琪琪的说法是否正确，需结合加减消元法的核心规则验证：用加减消元法消去某一未知数时，要先将该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过相加或相减的运算消去该未知数。我们分别验证两人的消元方法是否能消去对应未知数即可。
【解析】
1. 验证嘉嘉的说法：
嘉嘉提出要消去$x$，用①×3−②×5：
①×3得：$9x - 12y = 48$，
②×5得：$25x + 30y = 165$，
两式相减得：$(9x-12y)-(25x+30y)=48-165$，化简为$-16x-42y=-117$，$x$没有被消去，因此嘉嘉的说法错误。
2. 验证琪琪的说法：
琪琪提出要消去$y$，用①×3+②×2：
①×3得：$9x - 12y = 48$，
②×2得：$10x + 12y = 66$，
两式相加得：$(9x-12y)+(10x+12y)=48+66$，化简为$19x=114$，$y$被完全消去，因此琪琪的说法正确。
综上，嘉嘉不对，琪琪对，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查对加减消元法规则的理解，解题时要注意消元前先匹配目标未知数的系数，运算时注意符号的处理，避免因符号失误判断错误。
【难度系数】
0.8
