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7. 命题“同角的余角相等”的条件为
两个角是同一个角的余角
；结论为这两个角相等
。答案
两个角是同一个角的余角 这两个角相等
解析
【分析】
要确定命题的条件和结论，首先回忆命题的组成规则：所有命题都可以改写为“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面引领的内容是已知的条件，“那么”后面引领的内容是由条件推导得出的结论。解题时先把原命题改写为“如果……那么……”的标准形式，就能快速准确区分条件和结论。
【解析】
第一步，将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的标准形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。
第二步，提取条件：“如果”后面的内容即为条件，也就是两个角是同一个角的余角。
第三步，提取结论：“那么”后面的内容即为结论，也就是这两个角相等。
【答案】
两个角是同一个角的余角；这两个角相等
【知识点】
命题的结构；余角的定义
【点评】
本题考查对命题结构的识别能力，解题核心是掌握将省略表述的命题转化为“如果……那么……”标准形式的方法，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
要确定命题的条件和结论，首先回忆命题的组成规则：所有命题都可以改写为“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面引领的内容是已知的条件，“那么”后面引领的内容是由条件推导得出的结论。解题时先把原命题改写为“如果……那么……”的标准形式，就能快速准确区分条件和结论。
【解析】
第一步，将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的标准形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。
第二步，提取条件：“如果”后面的内容即为条件，也就是两个角是同一个角的余角。
第三步，提取结论：“那么”后面的内容即为结论，也就是这两个角相等。
【答案】
两个角是同一个角的余角；这两个角相等
【知识点】
命题的结构；余角的定义
【点评】
本题考查对命题结构的识别能力，解题核心是掌握将省略表述的命题转化为“如果……那么……”标准形式的方法，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
8.命题“0除以任何一个数都是0”是
假
（填“真”或“假”）命题.答案
假
解析
【分析】
要判断这个命题的真假，首先需明确有理数除法的运算规则：除法运算中除数不能为0，0做除数没有意义。我们先看命题的表述“0除以任何一个数都是0”，这里的“任何一个数”包含了0，当除数为0时，该除法运算本身不成立，因此原命题的结论不总是成立，由此可判断命题的真假。
【解析】
根据有理数除法的规定：除数不能为0，0作除数没有意义。
命题中“任何一个数”包含0，当除数是0时，0÷0的运算不存在，无法得到结果为0，因此原命题不成立，是假命题。
【答案】
假
【知识点】
命题真假判断；有理数除法法则；0的运算特性
【点评】
本题易错点是容易忽略除法运算中除数不能为0的限制条件，直接判断命题为真，解决这类问题时要注意考虑特殊数值的限制，避免遗漏运算成立的前提。
【难度系数】
0.6
要判断这个命题的真假，首先需明确有理数除法的运算规则：除法运算中除数不能为0，0做除数没有意义。我们先看命题的表述“0除以任何一个数都是0”，这里的“任何一个数”包含了0，当除数为0时，该除法运算本身不成立，因此原命题的结论不总是成立，由此可判断命题的真假。
【解析】
根据有理数除法的规定：除数不能为0，0作除数没有意义。
命题中“任何一个数”包含0，当除数是0时，0÷0的运算不存在，无法得到结果为0，因此原命题不成立，是假命题。
【答案】
假
【知识点】
命题真假判断；有理数除法法则；0的运算特性
【点评】
本题易错点是容易忽略除法运算中除数不能为0的限制条件，直接判断命题为真，解决这类问题时要注意考虑特殊数值的限制，避免遗漏运算成立的前提。
【难度系数】
0.6
9.能说明命题“对于任意数$a$，$|a|＞-a$”是假命题的一个反例可以是
$a=-2$(答案不唯一)
。答案
$a=-2$(答案不唯一)
解析
【分析】
要判断一个命题是假命题，只需要找到一个反例：即满足命题的条件，但不满足命题结论的数值即可。本题中命题的条件是“a为任意数”，结论是“|a|＞-a”，我们需要找到a的取值使得|a|≤-a。结合绝对值的性质分析：当a≥0时，|a|=a，仅a＞0时|a|＞-a成立，a=0时|a|=-a；当a＜0时，|a|=-a，此时|a|=-a，也不满足|a|＞-a，因此只要取a≤0的数就可以作为反例。
【解析】
我们选取a=-2验证：
左边|a|=|-2|=2，
右边-a=-(-2)=2，
此时2＞2不成立，即|a|＞-a不成立，因此a=-2可作为该命题是假命题的反例。
（注：任意非正数如a=0、a=-1等均符合要求）
【答案】
$a=-2$(答案不唯一)
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定
【点评】
本题核心是掌握假命题反例的构造方法，以及不同取值下绝对值的化简规则，明确非正数的绝对值等于它的相反数，就能快速找到符合要求的反例。
【难度系数】
0.7
要判断一个命题是假命题，只需要找到一个反例：即满足命题的条件，但不满足命题结论的数值即可。本题中命题的条件是“a为任意数”，结论是“|a|＞-a”，我们需要找到a的取值使得|a|≤-a。结合绝对值的性质分析：当a≥0时，|a|=a，仅a＞0时|a|＞-a成立，a=0时|a|=-a；当a＜0时，|a|=-a，此时|a|=-a，也不满足|a|＞-a，因此只要取a≤0的数就可以作为反例。
【解析】
我们选取a=-2验证：
左边|a|=|-2|=2，
右边-a=-(-2)=2，
此时2＞2不成立，即|a|＞-a不成立，因此a=-2可作为该命题是假命题的反例。
（注：任意非正数如a=0、a=-1等均符合要求）
【答案】
$a=-2$(答案不唯一)
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定
【点评】
本题核心是掌握假命题反例的构造方法，以及不同取值下绝对值的化简规则，明确非正数的绝对值等于它的相反数，就能快速找到符合要求的反例。
【难度系数】
0.7
10. 观察下列算式，完成问题.
算式①：$4^2 - 2^2 = 12 = 4 × 3$；
算式②：$6^2 - 4^2 = 20 = 4 × 5$；
算式③：$8^2 - 6^2 = 28 = 4 × 7$；
算式④：$10^2 - 8^2 = 36 = 4 × 9$；
……
按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：
算式①：$4^2 - 2^2 = 12 = 4 × 3$；
算式②：$6^2 - 4^2 = 20 = 4 × 5$；
算式③：$8^2 - 6^2 = 28 = 4 × 7$；
算式④：$10^2 - 8^2 = 36 = 4 × 9$；
……
按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：
$12^2 - 10^2 = 44 = 4 × 11$
.答案
$12^2 - 10^2 = 44 = 4 × 11$
解析
【分析】
我们可以把算式拆成左边平方差、中间计算结果、右边乘法式三个部分逐一找规律：①先看左边被减数的底数：前4个依次是4、6、8、10，是依次增加2的偶数，第5个的被减数底数就是前一个的10加2得12；②同个算式里减数的底数都比被减数的底数小2，所以第5个的减数底数是12-2=10；③再看右边乘法式里的第二个因数：前4个依次是3、5、7、9，是依次增加2的奇数，第5个的这个因数就是9加2得11，再验证计算结果是否匹配即可。
【解析】
步骤1：确定左边平方的底数
前4个算式被减数底数：4，6，8，10，后一个比前一个大2，所以第5个被减数底数为10+2=12；
每个算式减数底数比被减数底数小2，所以第5个减数底数为12-2=10；
步骤2：计算平方差的结果
$12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44$；
步骤3：确定右边的乘法式
前4个算式右边均为4乘一个连续奇数：3，5，7，9，后一个比前一个大2，所以第5个乘的奇数为9+2=11，即$4×11=44$，和平方差结果一致。
因此算式⑤为$12^2 - 10^2 = 44 = 4 × 11$。
【答案】
$12^2 - 10^2 = 44 = 4 × 11$
【知识点】
1.数字规律探究
2.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础的数字规律探究题，通过拆分等式的不同部分分别寻找变化规律，就能快速推导得出答案，平时要养成观察数字变化特征的习惯。
【难度系数】
0.8
我们可以把算式拆成左边平方差、中间计算结果、右边乘法式三个部分逐一找规律：①先看左边被减数的底数：前4个依次是4、6、8、10，是依次增加2的偶数，第5个的被减数底数就是前一个的10加2得12；②同个算式里减数的底数都比被减数的底数小2，所以第5个的减数底数是12-2=10；③再看右边乘法式里的第二个因数：前4个依次是3、5、7、9，是依次增加2的奇数，第5个的这个因数就是9加2得11，再验证计算结果是否匹配即可。
【解析】
步骤1：确定左边平方的底数
前4个算式被减数底数：4，6，8，10，后一个比前一个大2，所以第5个被减数底数为10+2=12；
每个算式减数底数比被减数底数小2，所以第5个减数底数为12-2=10；
步骤2：计算平方差的结果
$12^2 - 10^2 = 144 - 100 = 44$；
步骤3：确定右边的乘法式
前4个算式右边均为4乘一个连续奇数：3，5，7，9，后一个比前一个大2，所以第5个乘的奇数为9+2=11，即$4×11=44$，和平方差结果一致。
因此算式⑤为$12^2 - 10^2 = 44 = 4 × 11$。
【答案】
$12^2 - 10^2 = 44 = 4 × 11$
【知识点】
1.数字规律探究
2.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础的数字规律探究题，通过拆分等式的不同部分分别寻找变化规律，就能快速推导得出答案，平时要养成观察数字变化特征的习惯。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假.
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等.
11. 请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假.
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等.
答案
(1)条件:两个角是直角;结论:这两个角相等;直角为90°,故原命题是真命题.
(2)条件:两个数绝对值相等;结论:这两个数相等;绝对值相等的两个数,还可以互为相反数,不一定相等,故原命题是假命题.
(2)条件:两个数绝对值相等;结论:这两个数相等;绝对值相等的两个数,还可以互为相反数,不一定相等,故原命题是假命题.
解析
【分析】
解决这类问题的思路是：首先明确命题的结构，通常“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论；对于没有“如果……那么……”形式的命题，先将其改写为该形式，再拆分条件和结论。判断命题真假时，真命题要结合已学的性质验证成立，假命题只需找到一个反例证明不成立即可。
【解析】
(1) 该命题是“如果……那么……”的标准形式，拆分可得：
条件为两个角是直角，结论为这两个角相等。
根据直角的定义，所有直角的度数都是90°，因此两个直角一定相等，该命题成立，是真命题。
(2) 先将原命题改写为“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”，拆分可得：
条件为两个数绝对值相等，结论为这两个数相等。
举反例：3和-3的绝对值都是3，二者绝对值相等，但3≠-3，说明绝对值相等的两个数可能互为相反数，不一定相等，因此该命题不成立，是假命题。
【答案】
(1)条件:两个角是直角;结论:这两个角相等;直角为90°,故原命题是真命题.
(2)条件:两个数绝对值相等;结论:这两个数相等;绝对值相等的两个数,还可以互为相反数,不一定相等,故原命题是假命题.
【知识点】
命题的组成、真假命题判断、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对命题结构的认识和真假命题的判断方法，要注意没有明显关联词的命题需要先改写再拆分条件和结论，判断假命题时举反例是最简便的方法。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的思路是：首先明确命题的结构，通常“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论；对于没有“如果……那么……”形式的命题，先将其改写为该形式，再拆分条件和结论。判断命题真假时，真命题要结合已学的性质验证成立，假命题只需找到一个反例证明不成立即可。
【解析】
(1) 该命题是“如果……那么……”的标准形式，拆分可得：
条件为两个角是直角，结论为这两个角相等。
根据直角的定义，所有直角的度数都是90°，因此两个直角一定相等，该命题成立，是真命题。
(2) 先将原命题改写为“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”，拆分可得：
条件为两个数绝对值相等，结论为这两个数相等。
举反例：3和-3的绝对值都是3，二者绝对值相等，但3≠-3，说明绝对值相等的两个数可能互为相反数，不一定相等，因此该命题不成立，是假命题。
【答案】
(1)条件:两个角是直角;结论:这两个角相等;直角为90°,故原命题是真命题.
(2)条件:两个数绝对值相等;结论:这两个数相等;绝对值相等的两个数,还可以互为相反数,不一定相等,故原命题是假命题.
【知识点】
命题的组成、真假命题判断、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对命题结构的认识和真假命题的判断方法，要注意没有明显关联词的命题需要先改写再拆分条件和结论，判断假命题时举反例是最简便的方法。
【难度系数】
0.8
12.已知A,B是两个整式，$A=4a^2 -5a +2$，$B=3a^2 -5a -3$.
(1)当$a=0$时，$A=$
(2)小军猜测:无论$a$为何值，$A$
(3)请证明小军猜测的结论.
(1)当$a=0$时，$A=$
2
；当$a=2$时，$B=$-1
；(2)小军猜测:无论$a$为何值，$A$
＞
（填“＞”或“＜”）$B$始终成立；(3)请证明小军猜测的结论.
答案
(1)2 -1
(2)＞
(3)证明:因为$A=4a^2 -5a +2$,$B=3a^2 -5a -3$,
所以$A-B=4a^2 -5a +2 -(3a^2 -5a -3)=4a^2 -5a +2 -3a^2 +5a +3 =a^2 +5$.
因为$a^2≥0$,
所以$a^2 +5＞0$,
所以$A-B＞0$,
所以$A＞B$.
(2)＞
(3)证明:因为$A=4a^2 -5a +2$,$B=3a^2 -5a -3$,
所以$A-B=4a^2 -5a +2 -(3a^2 -5a -3)=4a^2 -5a +2 -3a^2 +5a +3 =a^2 +5$.
因为$a^2≥0$,
所以$a^2 +5＞0$,
所以$A-B＞0$,
所以$A＞B$.
解析
【分析】
(1) 第一问属于整式代入求值问题，只需将给定的a值分别代入对应整式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
(2) 比较两个整式的大小常用“作差法”，先计算A与B的差，根据差的正负就能判断A和B的大小关系。
(3) 证明时先按整式加减的运算法则化简A-B，再结合任意实数的平方具有非负性的性质，判断A-B的正负，即可证明结论。
【解析】
(1) 当a=0时，将a=0代入$A=4a^2 -5a +2$，得$A=4×0^2 -5×0 +2=2$；
当a=2时，将a=2代入$B=3a^2 -5a -3$，得$B=3×2^2 -5×2 -3=12-10-3=-1$。
(2) 计算A-B的结果可知，无论a取何值，A-B恒为正数，故A＞B始终成立。
(3) 证明：
已知$A=4a^2 -5a +2$，$B=3a^2 -5a -3$，
则$A-B=4a^2 -5a +2 -(3a^2 -5a -3)$
$=4a^2 -5a +2 -3a^2 +5a +3$
合并同类项得：$A-B=a^2 +5$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$a^2≥0$
∴ $a^2 +5≥0+5=5＞0$，即$A-B＞0$
∴ $A＞B$，小军的猜测成立。
【答案】
(1)2；-1
(2)＞
(3)证明:因为$A=4a^2 -5a +2$,$B=3a^2 -5a -3$,
所以$A-B=4a^2 -5a +2 -(3a^2 -5a -3)=4a^2 -5a +2 -3a^2 +5a +3 =a^2 +5$.
因为$a^2≥0$,
所以$a^2 +5＞0$,
所以$A-B＞0$,
所以$A＞B$.
【知识点】
整式代入求值；整式加减运算；平方的非负性
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式的加减法则和代数式大小比较的常用方法，作差法是比较两个代数式大小的通用技巧，结合平方的非负性即可快速判断结论，掌握基础运算规则就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问属于整式代入求值问题，只需将给定的a值分别代入对应整式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
(2) 比较两个整式的大小常用“作差法”，先计算A与B的差，根据差的正负就能判断A和B的大小关系。
(3) 证明时先按整式加减的运算法则化简A-B，再结合任意实数的平方具有非负性的性质，判断A-B的正负，即可证明结论。
【解析】
(1) 当a=0时，将a=0代入$A=4a^2 -5a +2$，得$A=4×0^2 -5×0 +2=2$；
当a=2时，将a=2代入$B=3a^2 -5a -3$，得$B=3×2^2 -5×2 -3=12-10-3=-1$。
(2) 计算A-B的结果可知，无论a取何值，A-B恒为正数，故A＞B始终成立。
(3) 证明：
已知$A=4a^2 -5a +2$，$B=3a^2 -5a -3$，
则$A-B=4a^2 -5a +2 -(3a^2 -5a -3)$
$=4a^2 -5a +2 -3a^2 +5a +3$
合并同类项得：$A-B=a^2 +5$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$a^2≥0$
∴ $a^2 +5≥0+5=5＞0$，即$A-B＞0$
∴ $A＞B$，小军的猜测成立。
【答案】
(1)2；-1
(2)＞
(3)证明:因为$A=4a^2 -5a +2$,$B=3a^2 -5a -3$,
所以$A-B=4a^2 -5a +2 -(3a^2 -5a -3)=4a^2 -5a +2 -3a^2 +5a +3 =a^2 +5$.
因为$a^2≥0$,
所以$a^2 +5＞0$,
所以$A-B＞0$,
所以$A＞B$.
【知识点】
整式代入求值；整式加减运算；平方的非负性
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式的加减法则和代数式大小比较的常用方法，作差法是比较两个代数式大小的通用技巧，结合平方的非负性即可快速判断结论，掌握基础运算规则就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
