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10.一组数据 $x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$ 的方差是 $a$，平均数是 $b$，则另一组数据 $3x_1+2,3x_2+2,3x_3+2,\dots,3x_n+2$ 的方差和平均数分别是（
A.$a,b$
B.$9a,3b+2$
C.$3b,2a$
D.$3a+2,b+2$
B
）A.$a,b$
B.$9a,3b+2$
C.$3b,2a$
D.$3a+2,b+2$
答案
10.B
解析
【分析】
我们可以结合平均数、方差的定义，分别计算新数据的平均数和方差，再和原数据的平均数b、方差a对比即可得到结果。解题时先根据平均数公式计算新数据的平均数，再代入方差公式推导新数据的方差，注意加减常数项在计算方差时会抵消，只有系数会影响方差大小。
【解析】
设原数据的平均数为$\bar{x}=b$，方差为$s^2_x=a$。
1. 计算新数据的平均数：
新数据的平均数$\bar{y}=\frac{(3x_1+2)+(3x_2+2)+\dots+(3x_n+2)}{n}$
拆分分子得：$\bar{y}=\frac{3(x_1+x_2+\dots+x_n) + 2n}{n}=3×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+2=3b+2$
2. 计算新数据的方差：
新数据的方差$s^2_y=\frac{1}{n}[(3x_1+2-\bar{y})^2+(3x_2+2-\bar{y})^2+\dots+(3x_n+2-\bar{y})^2]$
将$\bar{y}=3b+2$代入括号内，得$3x_i+2-(3b+2)=3(x_i-b)$，因此：
$s^2_y=\frac{1}{n}[9(x_1-b)^2+9(x_2-b)^2+\dots+9(x_n-b)^2]=9×\frac{1}{n}[(x_1-b)^2+\dots+(x_n-b)^2]=9a$
因此新数据的方差为$9a$，平均数为$3b+2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题核心考查数据做线性变换（即每个数据乘k再加m）后，平均数和方差的变化规律：平均数变为原来的k倍再加m，方差变为原来的$k^2$倍，加减常数不改变方差，牢记规律可以快速解题。
【难度系数】
0.7
我们可以结合平均数、方差的定义，分别计算新数据的平均数和方差，再和原数据的平均数b、方差a对比即可得到结果。解题时先根据平均数公式计算新数据的平均数，再代入方差公式推导新数据的方差，注意加减常数项在计算方差时会抵消，只有系数会影响方差大小。
【解析】
设原数据的平均数为$\bar{x}=b$，方差为$s^2_x=a$。
1. 计算新数据的平均数：
新数据的平均数$\bar{y}=\frac{(3x_1+2)+(3x_2+2)+\dots+(3x_n+2)}{n}$
拆分分子得：$\bar{y}=\frac{3(x_1+x_2+\dots+x_n) + 2n}{n}=3×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+2=3b+2$
2. 计算新数据的方差：
新数据的方差$s^2_y=\frac{1}{n}[(3x_1+2-\bar{y})^2+(3x_2+2-\bar{y})^2+\dots+(3x_n+2-\bar{y})^2]$
将$\bar{y}=3b+2$代入括号内，得$3x_i+2-(3b+2)=3(x_i-b)$，因此：
$s^2_y=\frac{1}{n}[9(x_1-b)^2+9(x_2-b)^2+\dots+9(x_n-b)^2]=9×\frac{1}{n}[(x_1-b)^2+\dots+(x_n-b)^2]=9a$
因此新数据的方差为$9a$，平均数为$3b+2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题核心考查数据做线性变换（即每个数据乘k再加m）后，平均数和方差的变化规律：平均数变为原来的k倍再加m，方差变为原来的$k^2$倍，加减常数不改变方差，牢记规律可以快速解题。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，两人5次射击的成绩如下表所示(单位:环).计算得到两人成绩的平均数：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=8$；方差：$s^2_甲=2$，$s^2_乙=0.8$.要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
乙
.答案
11.乙
解析
【分析】
解题时需结合题目“成绩好且发挥稳定”的要求，分两步判断：第一步先看反映平均水平的平均数，本题中甲、乙平均数相等，说明两人平均成绩一致；第二步看反映发挥稳定性的方差，方差越小代表数据波动越小、发挥越稳定，只需比较两人方差大小就能得出结论。
【解析】
首先比较平均成绩：已知$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=8$，说明甲、乙两人的平均射击成绩相同，整体成绩水平相当。
再比较方差：方差是反映数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。已知$s^2_甲=2$，$s^2_乙=0.8$，可得$s^2_乙＜s^2_甲$，因此乙的成绩发挥更稳定。
两人平均成绩相同，乙的发挥更稳定，符合“成绩好且发挥稳定”的要求，所以选择乙。
【答案】
乙
【知识点】
平均数；方差
【点评】
本题是统计知识在实际场景的应用，解题关键是理解平均数和方差各自代表的实际意义，结合实际需求选择合适的统计量比较判断即可。
【难度系数】
0.85
解题时需结合题目“成绩好且发挥稳定”的要求，分两步判断：第一步先看反映平均水平的平均数，本题中甲、乙平均数相等，说明两人平均成绩一致；第二步看反映发挥稳定性的方差，方差越小代表数据波动越小、发挥越稳定，只需比较两人方差大小就能得出结论。
【解析】
首先比较平均成绩：已知$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=8$，说明甲、乙两人的平均射击成绩相同，整体成绩水平相当。
再比较方差：方差是反映数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。已知$s^2_甲=2$，$s^2_乙=0.8$，可得$s^2_乙＜s^2_甲$，因此乙的成绩发挥更稳定。
两人平均成绩相同，乙的发挥更稳定，符合“成绩好且发挥稳定”的要求，所以选择乙。
【答案】
乙
【知识点】
平均数；方差
【点评】
本题是统计知识在实际场景的应用，解题关键是理解平均数和方差各自代表的实际意义，结合实际需求选择合适的统计量比较判断即可。
【难度系数】
0.85
12.为了解某校八年级学生参加志愿者活动的次数,随机调查了该年级20名学生,统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下:3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4.在这次调查中,参加志愿者活动的次数的众数为
4
,中位数为4
.答案
12.4 4
解析
【分析】
解题时首先回忆众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于中间位置的数，若数据总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。第一步先统计每个活动次数的出现频次，找到频次最高的数即为众数；第二步将所有数据从小到大排序，找到第10、11位数据，计算二者的平均数就是中位数。
【解析】
1. 求众数：统计各活动次数的出现次数：1出现1次，2出现2次，3出现4次，4出现6次，5出现5次，6出现2次。其中4出现的次数最多，因此众数为4。
2. 求中位数：将20个数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6。总共有20个数据，是偶数个，中位数为第10个和第11个数据的平均数，第10个数据是4，第11个数据也是4，因此中位数为$\frac{4+4}{2}=4$。
【答案】
4；4
【知识点】
众数的判定；中位数的计算；数据排序
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查对众数、中位数概念的理解，计算中位数时要注意先对数据排序，若数据总个数为偶数，需取中间两个数的平均值作为中位数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于中间位置的数，若数据总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。第一步先统计每个活动次数的出现频次，找到频次最高的数即为众数；第二步将所有数据从小到大排序，找到第10、11位数据，计算二者的平均数就是中位数。
【解析】
1. 求众数：统计各活动次数的出现次数：1出现1次，2出现2次，3出现4次，4出现6次，5出现5次，6出现2次。其中4出现的次数最多，因此众数为4。
2. 求中位数：将20个数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6。总共有20个数据，是偶数个，中位数为第10个和第11个数据的平均数，第10个数据是4，第11个数据也是4，因此中位数为$\frac{4+4}{2}=4$。
【答案】
4；4
【知识点】
众数的判定；中位数的计算；数据排序
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查对众数、中位数概念的理解，计算中位数时要注意先对数据排序，若数据总个数为偶数，需取中间两个数的平均值作为中位数。
【难度系数】
0.8
13.一组数据5,4,x,6,7的平均数为5,则这组数据的方差为
2
.答案
13.2
解析
【分析】
解题时首先要利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，再将所有数据代入方差的计算公式即可算出结果。第一步，根据“平均数=数据总和÷数据个数”，列方程求出x；第二步，根据方差的定义，即方差是各数据与平均数差的平方的平均数，代入数值计算即可。
【解析】
解：首先根据平均数的定义求x的值：
已知这组数据的平均数为5，数据总个数为5，因此这组数据的总和为 $5 × 5 = 25$
可得方程：$5 + 4 + x + 6 + 7 = 25$
计算得：$22 + x = 25$，解得 $x = 3$
接下来计算方差，方差公式为 $S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}=5$，$n=5$
代入各数据计算：
$S^2 = \frac{1}{5}[(5-5)^2 + (4-5)^2 + (3-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2]$
$=\frac{1}{5}[0 + 1 + 4 + 1 + 4]$
$=\frac{1}{5} × 10 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心是熟记平均数和方差的计算公式，计算时注意数值代入准确，避免运算失误即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先要利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，再将所有数据代入方差的计算公式即可算出结果。第一步，根据“平均数=数据总和÷数据个数”，列方程求出x；第二步，根据方差的定义，即方差是各数据与平均数差的平方的平均数，代入数值计算即可。
【解析】
解：首先根据平均数的定义求x的值：
已知这组数据的平均数为5，数据总个数为5，因此这组数据的总和为 $5 × 5 = 25$
可得方程：$5 + 4 + x + 6 + 7 = 25$
计算得：$22 + x = 25$，解得 $x = 3$
接下来计算方差，方差公式为 $S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}=5$，$n=5$
代入各数据计算：
$S^2 = \frac{1}{5}[(5-5)^2 + (4-5)^2 + (3-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2]$
$=\frac{1}{5}[0 + 1 + 4 + 1 + 4]$
$=\frac{1}{5} × 10 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心是熟记平均数和方差的计算公式，计算时注意数值代入准确，避免运算失误即可。
【难度系数】
0.85
14.某校举行“传承经典文化，诵读时代心声”的主题诵读比赛，八年级2班在作品内容、仪表形象、舞台表现三个方面的得分分别为84，89，90，若将三项得分依次按3：2：5的比例计算总成绩，则八年级2班的总成绩为
88
。答案
14.88
解析
【分析】
这道题考查加权平均数的实际应用，解题时首先要明确加权平均数的计算规则：将各数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，也可先算出各项权重占总权重的比例，再用各项得分乘对应占比后求和。本题已知三项得分的权重比为3:2:5，我们先算出各项的权重占比，再代入对应得分计算即可得到总成绩。
【解析】
第一步：计算权重总份数：$3+2+5=10$
第二步：根据加权平均数的计算方法，代入数据计算总成绩：
$\begin{aligned}总成绩&=84×\frac{3}{10}+89×\frac{2}{10}+90×\frac{5}{10}\\&=84×0.3 + 89×0.2 + 90×0.5\\&=25.2+17.8+45\\&=88\end{aligned}$
【答案】
88
【知识点】
加权平均数计算、比的应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查加权平均数的计算方法，解题的关键是找准各项对应的权重占比，运算时仔细计算即可拿到分数。
【难度系数】
0.85
这道题考查加权平均数的实际应用，解题时首先要明确加权平均数的计算规则：将各数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，也可先算出各项权重占总权重的比例，再用各项得分乘对应占比后求和。本题已知三项得分的权重比为3:2:5，我们先算出各项的权重占比，再代入对应得分计算即可得到总成绩。
【解析】
第一步：计算权重总份数：$3+2+5=10$
第二步：根据加权平均数的计算方法，代入数据计算总成绩：
$\begin{aligned}总成绩&=84×\frac{3}{10}+89×\frac{2}{10}+90×\frac{5}{10}\\&=84×0.3 + 89×0.2 + 90×0.5\\&=25.2+17.8+45\\&=88\end{aligned}$
【答案】
88
【知识点】
加权平均数计算、比的应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查加权平均数的计算方法，解题的关键是找准各项对应的权重占比，运算时仔细计算即可拿到分数。
【难度系数】
0.85
15.某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的
中位数
（选填“平均数”“中位数”或“众数”）。答案
15.中位数
解析
【分析】
解题时首先明确核心需求：判断自己的成绩能否进入前7名，需要找到能反映成绩位次的统计量。首先回忆三个统计量的含义：平均数反映整体平均水平，易受极端值影响，无法对应具体排名；众数是出现次数最多的数，本题成绩各不相同，众数没有参考意义；15个不同的成绩排序后，中位数恰好是第8名的成绩，只要自己的成绩高于中位数，就说明排名在第8名之前，就能进入前7，因此只需知道中位数即可判断。
【解析】
15名学生的成绩各不相同，将所有成绩按从高到低排序后，这组数据的中位数就是第8名的成绩：
1. 若这名学生的成绩高于中位数，说明他的排名在第8名之前，可进入前7名；
2. 若成绩低于中位数，说明他的排名在第8名之后，无法进入前7名。
平均数反映整体平均水平，不能对应具体排名；本题所有成绩均不重复，众数无参考价值，因此需要了解成绩的中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
中位数的意义；统计量的选择
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查统计量的应用，解题核心是区分不同统计量的含义和适用场景，侧重考察知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心需求：判断自己的成绩能否进入前7名，需要找到能反映成绩位次的统计量。首先回忆三个统计量的含义：平均数反映整体平均水平，易受极端值影响，无法对应具体排名；众数是出现次数最多的数，本题成绩各不相同，众数没有参考意义；15个不同的成绩排序后，中位数恰好是第8名的成绩，只要自己的成绩高于中位数，就说明排名在第8名之前，就能进入前7，因此只需知道中位数即可判断。
【解析】
15名学生的成绩各不相同，将所有成绩按从高到低排序后，这组数据的中位数就是第8名的成绩：
1. 若这名学生的成绩高于中位数，说明他的排名在第8名之前，可进入前7名；
2. 若成绩低于中位数，说明他的排名在第8名之后，无法进入前7名。
平均数反映整体平均水平，不能对应具体排名；本题所有成绩均不重复，众数无参考价值，因此需要了解成绩的中位数。
【答案】
中位数
【知识点】
中位数的意义；统计量的选择
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查统计量的应用，解题核心是区分不同统计量的含义和适用场景，侧重考察知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
16.如图所示的是某市某年6月至9月最高气温的箱线图,从中你能获取哪些信息?
答案
16.从题图可知,6月最高气温数据分布较分散.这四个月中,7月最高气温的中位数最高,9月最高气温的中位数最低.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
首先回忆箱线图各组成部分的意义：箱线图的上下“须”的端点分别对应一组数据的最大值和最小值，箱子中间的横线是数据的中位数，“须”和箱子的长度越长，说明数据的分布越分散。解题时先对比四个月箱线图的“须”的长度，判断数据的分散程度，再对比四个月箱子中间的中位数的高低，就能得到对应的统计信息，本题答案开放，合理即可。
【解析】
1. 观察各月箱线图的波动范围：6月的最高气温最小值为25℃，最大值为40℃，波动范围是四个月中最大的，因此6月的最高气温数据分布较分散。
2. 观察各月箱线图的中位数（箱子中间的横线）：对比四个月的中位数位置，7月的中位数最高，9月的中位数最低，说明7月整体最高气温水平最高，9月整体最高气温水平最低。
本题为开放题，还可得到如“9月最高气温的最小值是四个月中最低的”等其他合理结论。
【答案】
从题图可知,6月最高气温数据分布较分散.这四个月中,7月最高气温的中位数最高,9月最高气温的中位数最低。(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
箱线图的认识；统计图表信息提取
【点评】
本题考查统计图表的信息分析能力，核心是掌握箱线图各部分代表的统计含义，通过横向对比不同组的箱线图特征即可得到对应结论，答案开放，符合统计逻辑即可得分。
【难度系数】
0.8
首先回忆箱线图各组成部分的意义：箱线图的上下“须”的端点分别对应一组数据的最大值和最小值，箱子中间的横线是数据的中位数，“须”和箱子的长度越长，说明数据的分布越分散。解题时先对比四个月箱线图的“须”的长度，判断数据的分散程度，再对比四个月箱子中间的中位数的高低，就能得到对应的统计信息，本题答案开放，合理即可。
【解析】
1. 观察各月箱线图的波动范围：6月的最高气温最小值为25℃，最大值为40℃，波动范围是四个月中最大的，因此6月的最高气温数据分布较分散。
2. 观察各月箱线图的中位数（箱子中间的横线）：对比四个月的中位数位置，7月的中位数最高，9月的中位数最低，说明7月整体最高气温水平最高，9月整体最高气温水平最低。
本题为开放题，还可得到如“9月最高气温的最小值是四个月中最低的”等其他合理结论。
【答案】
从题图可知,6月最高气温数据分布较分散.这四个月中,7月最高气温的中位数最高,9月最高气温的中位数最低。(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
箱线图的认识；统计图表信息提取
【点评】
本题考查统计图表的信息分析能力，核心是掌握箱线图各部分代表的统计含义，通过横向对比不同组的箱线图特征即可得到对应结论，答案开放，符合统计逻辑即可得分。
【难度系数】
0.8
