登录
【实践应用】（3）右图是一个长方形养鸡场，养鸡场的长边靠墙，其他三边用竹篱笆围成，已知长方形养鸡场的面积为$200\ \mathrm{m}^2$，则所用篱笆的长度至少为多少米？
答案
解：设长方形养鸡场垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $（$ x＞0 $），平行于墙的边长为$ y \, \mathrm{m} $（$ y＞0 $）。
由题意得养鸡场面积$ xy=200 $，所用篱笆总长度$ L=2x+y $。
将$ y=\frac{200}{x} $代入篱笆长度表达式，得：
$ L=2x+\frac{200}{x} $
对非负实数$ a,b $，由二次根式性质可知$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0 $，展开得$ a+b≥2\sqrt{ab} $。
令$ a=2x $，$ b=\frac{200}{x} $，代入得：
$\begin{aligned}2x+\frac{200}{x}&≥2\sqrt{2x·\frac{200}{x}}\\&=2\sqrt{400}\\&=2×20\\&=40\end{aligned}$
当且仅当$ \sqrt{2x}=\sqrt{\frac{200}{x}} $，即$ 2x=\frac{200}{x} $，解得正根$ x=10 $时，等号成立，此时$ y=20 $，符合实际要求。
答：所用篱笆的长度至少为40米。
由题意得养鸡场面积$ xy=200 $，所用篱笆总长度$ L=2x+y $。
将$ y=\frac{200}{x} $代入篱笆长度表达式，得：
$ L=2x+\frac{200}{x} $
对非负实数$ a,b $，由二次根式性质可知$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0 $，展开得$ a+b≥2\sqrt{ab} $。
令$ a=2x $，$ b=\frac{200}{x} $，代入得：
$\begin{aligned}2x+\frac{200}{x}&≥2\sqrt{2x·\frac{200}{x}}\\&=2\sqrt{400}\\&=2×20\\&=40\end{aligned}$
当且仅当$ \sqrt{2x}=\sqrt{\frac{200}{x}} $，即$ 2x=\frac{200}{x} $，解得正根$ x=10 $时，等号成立，此时$ y=20 $，符合实际要求。
答：所用篱笆的长度至少为40米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据题意设出垂直于墙和平行于墙的边长，结合面积公式得到边长的关系，进而表示出篱笆总长度；再利用基本不等式求篱笆长度的最小值，需注意等号成立的条件，确保结果符合实际意义。
【解析】
解：设长方形养鸡场垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $（$ x＞0 $），平行于墙的边长为$ y \, \mathrm{m} $（$ y＞0 $）。
根据题意，养鸡场面积为$ 200 \, \mathrm{m}^2 $，因此：
$ xy = 200 $
所用篱笆总长度为垂直于墙的两边长加平行于墙的边长，即：
$ L = 2x + y $
由$ xy = 200 $得$ y = \frac{200}{x} $，代入篱笆长度表达式得：
$ L = 2x + \frac{200}{x} $
对于两个正数$ a,b $，根据基本不等式$ a + b ≥ 2\sqrt{ab} $（当且仅当$ a = b $时等号成立），令$ a = 2x $，$ b = \frac{200}{x} $，代入得：
$\begin{aligned}2x + \frac{200}{x} &≥ 2\sqrt{2x · \frac{200}{x}} \\&= 2\sqrt{400} \\&= 40\end{aligned}$
当且仅当$ 2x = \frac{200}{x} $时等号成立，解方程得$ x^2 = 100 $，因$ x＞0 $，故$ x = 10 $，此时$ y = \frac{200}{10} = 20 $，符合实际要求。
【答案】
所用篱笆的长度至少为40米。
【知识点】
基本不等式应用、长方形面积计算
【点评】
本题是利用基本不等式解决实际最值问题的典型题，关键是建立篱笆长度的函数表达式，合理运用基本不等式求最小值，需验证等号成立条件符合实际，体现数学的实用性。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先根据题意设出垂直于墙和平行于墙的边长，结合面积公式得到边长的关系，进而表示出篱笆总长度；再利用基本不等式求篱笆长度的最小值，需注意等号成立的条件，确保结果符合实际意义。
【解析】
解：设长方形养鸡场垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $（$ x＞0 $），平行于墙的边长为$ y \, \mathrm{m} $（$ y＞0 $）。
根据题意，养鸡场面积为$ 200 \, \mathrm{m}^2 $，因此：
$ xy = 200 $
所用篱笆总长度为垂直于墙的两边长加平行于墙的边长，即：
$ L = 2x + y $
由$ xy = 200 $得$ y = \frac{200}{x} $，代入篱笆长度表达式得：
$ L = 2x + \frac{200}{x} $
对于两个正数$ a,b $，根据基本不等式$ a + b ≥ 2\sqrt{ab} $（当且仅当$ a = b $时等号成立），令$ a = 2x $，$ b = \frac{200}{x} $，代入得：
$\begin{aligned}2x + \frac{200}{x} &≥ 2\sqrt{2x · \frac{200}{x}} \\&= 2\sqrt{400} \\&= 40\end{aligned}$
当且仅当$ 2x = \frac{200}{x} $时等号成立，解方程得$ x^2 = 100 $，因$ x＞0 $，故$ x = 10 $，此时$ y = \frac{200}{10} = 20 $，符合实际要求。
【答案】
所用篱笆的长度至少为40米。
【知识点】
基本不等式应用、长方形面积计算
【点评】
本题是利用基本不等式解决实际最值问题的典型题，关键是建立篱笆长度的函数表达式，合理运用基本不等式求最小值，需验证等号成立条件符合实际，体现数学的实用性。
【难度系数】
0.5
你不知道的二次根式
数学来源于生活又服务于生活.二次根式不仅在数学中有着广泛的应用,在其他学科以及实际生活中也有着重要的作用.
比如,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是$v = 16\sqrt{df}$.其中$v$表示车速(单位: km/h),$d$表示刹车后车轮滑过的距离(单位: m),$f$表示摩擦系数.在某次交通事故调查中测得$d = 24$ m,$f = 1.3$,则肇事汽车的车速大约是 km/h.
再比如,你知道舞台上主持人的站位一般是在哪里吗?主持人一般站在舞台的$\frac{2}{3}$处,接近“黄金比”0.618,因为这样可以呈现更好的美感;我们用的纸张及书本的长宽比也是“黄金比”;还有我国五星红旗上的五角星,我们可以发现其中所有线段之间的长度关系都符合“黄金比”.“黄金比”自古希腊时期就被誉为最协调、最美观的长宽比,即长:宽 = $1:0.618$.上述黄金比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值,它是二次根式的一个最典型的应用.
除此之外,二次根式在工程学、经济学等领域也有广泛的应用,这些就留给同学们自己去探索吧!现在,请你观察生活中与“二次根式”有联系的事物,以数学小论文或手抄报的形式记录下来!
数学来源于生活又服务于生活.二次根式不仅在数学中有着广泛的应用,在其他学科以及实际生活中也有着重要的作用.
比如,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是$v = 16\sqrt{df}$.其中$v$表示车速(单位: km/h),$d$表示刹车后车轮滑过的距离(单位: m),$f$表示摩擦系数.在某次交通事故调查中测得$d = 24$ m,$f = 1.3$,则肇事汽车的车速大约是 km/h.
再比如,你知道舞台上主持人的站位一般是在哪里吗?主持人一般站在舞台的$\frac{2}{3}$处,接近“黄金比”0.618,因为这样可以呈现更好的美感;我们用的纸张及书本的长宽比也是“黄金比”;还有我国五星红旗上的五角星,我们可以发现其中所有线段之间的长度关系都符合“黄金比”.“黄金比”自古希腊时期就被誉为最协调、最美观的长宽比,即长:宽 = $1:0.618$.上述黄金比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值,它是二次根式的一个最典型的应用.
除此之外,二次根式在工程学、经济学等领域也有广泛的应用,这些就留给同学们自己去探索吧!现在,请你观察生活中与“二次根式”有联系的事物,以数学小论文或手抄报的形式记录下来!
答案
解：
将$d=24$，$f=1.3$代入公式$v = 16\sqrt{df}$，得
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{24×1.3}\\&=16×\sqrt{31.2}\\&\approx16×5.59\\&\approx89\end{aligned}$
答：肇事汽车的车速大约是$\boldsymbol{89}$ km/h（或近似90 km/h，合理即可）。
将$d=24$，$f=1.3$代入公式$v = 16\sqrt{df}$，得
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{24×1.3}\\&=16×\sqrt{31.2}\\&\approx16×5.59\\&\approx89\end{aligned}$
答：肇事汽车的车速大约是$\boldsymbol{89}$ km/h（或近似90 km/h，合理即可）。
解析
【分析】本题是二次根式在实际生活中的应用，解题思路为：根据题目给出的车速经验公式$v = 16\sqrt{df}$，将已知的刹车距离$d=24$和摩擦系数$f=1.3$代入公式，先计算根号内的乘积，再求平方根，最后乘以16得到车速，结果需取合理的近似值。
【解析】将$d=24$，$f=1.3$代入公式$v = 16\sqrt{df}$，计算得：
$df = 24×1.3 = 31.2$，
$\sqrt{31.2} \approx 5.59$，
则$v = 16×5.59 \approx 89$（km/h）。
【答案】89
【知识点】二次根式的应用、近似值计算
【点评】本题结合交通调查的实际场景，考查二次根式的实际应用，要求学生能正确代入数值计算并合理取近似值，体现了数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】0.5
【解析】将$d=24$，$f=1.3$代入公式$v = 16\sqrt{df}$，计算得：
$df = 24×1.3 = 31.2$，
$\sqrt{31.2} \approx 5.59$，
则$v = 16×5.59 \approx 89$（km/h）。
【答案】89
【知识点】二次根式的应用、近似值计算
【点评】本题结合交通调查的实际场景，考查二次根式的实际应用，要求学生能正确代入数值计算并合理取近似值，体现了数学知识在生活中的实用性。
【难度系数】0.5
