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(3)在一条路的一边种树，从第一棵到最后一棵的距离是80 m，原来每隔2 m栽一棵树，现在改为每隔5 m栽一棵树。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？
答案
6.(3)2和5的最小公倍数是10。
80÷10-1=7(棵)
80÷10-1=7(棵)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先得明确不用移动的树的位置特点：因为两端的树固定不动，中间不需要移动的树到第一棵树的距离，必须同时是2m和5m的倍数，也就是2和5的公倍数，其中最小公倍数就是相邻两棵不用移动的树之间的距离。先求出2和5的最小公倍数，再用总距离除以这个最小公倍数得到间隔数，最后减去1（去掉重复计算的端点）就能得到中间不用移动的树的数量。
【解析】
1. 求2和5的最小公倍数：2和5是互质数，最小公倍数为$2×5=10$，即每隔10m位置的树不用移动。
2. 计算80m内包含多少个10m的间隔：$80÷10=8$（个）
3. 因为两端的树不算入中间的数量，所以中间不用移动的树的棵数为间隔数减1：$8-1=7$（棵）
【答案】
中间有7棵树不用移动。
【知识点】
最小公倍数计算，植树问题，公倍数应用
【点评】
这道题将公倍数知识和植树问题结合，解题核心是先确定不用移动的树的位置规律，再结合两端不计数的要求计算结果，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先得明确不用移动的树的位置特点：因为两端的树固定不动，中间不需要移动的树到第一棵树的距离，必须同时是2m和5m的倍数，也就是2和5的公倍数，其中最小公倍数就是相邻两棵不用移动的树之间的距离。先求出2和5的最小公倍数，再用总距离除以这个最小公倍数得到间隔数，最后减去1（去掉重复计算的端点）就能得到中间不用移动的树的数量。
【解析】
1. 求2和5的最小公倍数：2和5是互质数，最小公倍数为$2×5=10$，即每隔10m位置的树不用移动。
2. 计算80m内包含多少个10m的间隔：$80÷10=8$（个）
3. 因为两端的树不算入中间的数量，所以中间不用移动的树的棵数为间隔数减1：$8-1=7$（棵）
【答案】
中间有7棵树不用移动。
【知识点】
最小公倍数计算，植树问题，公倍数应用
【点评】
这道题将公倍数知识和植树问题结合，解题核心是先确定不用移动的树的位置规律，再结合两端不计数的要求计算结果，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(4)一节长方体通风管长是250 cm，宽和高都是20 cm，如果做12节这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？
答案
6.(4)250 cm=2.5 m 20 cm=0.2 m
2.5×0.2×4×12=24($m^2$)
2.5×0.2×4×12=24($m^2$)
解析
【分析】
解题时首先要明确通风管是两端开口的，不需要计算上下两个底面的面积，只需求侧面积即可。首先题目最终要求的面积单位是平方米，所以先将题目中厘米的单位统一换算成米。又因为这节通风管的宽和高相等，所以四个侧面是完全相同的长方形，先算出1节通风管的侧面积，再乘12就能得到12节通风管总共需要的铁皮面积。
【解析】
第一步：统一单位
$250\ \mathrm{cm}=2.5\ \mathrm{m}$，$20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$
第二步：计算1节通风管的侧面积
通风管的4个侧面面积相等，每个侧面是长2.5m、宽0.2m的长方形，1节侧面积为：
$2.5×0.2×4=2(\mathrm{m}^2)$
第三步：计算12节通风管需要的铁皮面积
$2×12=24(\mathrm{m}^2)$
也可列综合算式：$2.5×0.2×4×12=24(\mathrm{m}^2)$
【答案】
24平方米
【知识点】
长方体侧面积计算，长度单位换算，表面积实际应用
【点评】
本题是长方体表面积的实际应用类题目，解题核心是结合生活实际判断通风管不需要计算两个底面的面积，同时要注意计算前统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确通风管是两端开口的，不需要计算上下两个底面的面积，只需求侧面积即可。首先题目最终要求的面积单位是平方米，所以先将题目中厘米的单位统一换算成米。又因为这节通风管的宽和高相等，所以四个侧面是完全相同的长方形，先算出1节通风管的侧面积，再乘12就能得到12节通风管总共需要的铁皮面积。
【解析】
第一步：统一单位
$250\ \mathrm{cm}=2.5\ \mathrm{m}$，$20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$
第二步：计算1节通风管的侧面积
通风管的4个侧面面积相等，每个侧面是长2.5m、宽0.2m的长方形，1节侧面积为：
$2.5×0.2×4=2(\mathrm{m}^2)$
第三步：计算12节通风管需要的铁皮面积
$2×12=24(\mathrm{m}^2)$
也可列综合算式：$2.5×0.2×4×12=24(\mathrm{m}^2)$
【答案】
24平方米
【知识点】
长方体侧面积计算，长度单位换算，表面积实际应用
【点评】
本题是长方体表面积的实际应用类题目，解题核心是结合生活实际判断通风管不需要计算两个底面的面积，同时要注意计算前统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
7.李叔叔用80 cm长的铁丝围成一个长方体(接头处忽略不计),它的长、宽、高是三个不同的质数,这个长方体的体积最大是多少？
答案
7.80÷4=20(cm) 20=2+5+13=2+7+11
长方体的长、宽、高可能是13 cm、5 cm和2 cm或11 cm、7 cm和2 cm。
2×7×11=154($cm^3$)
13×5×2=130($cm^3$) 130＜154
这个长方体的体积最大是154 $cm^3$。
长方体的长、宽、高可能是13 cm、5 cm和2 cm或11 cm、7 cm和2 cm。
2×7×11=154($cm^3$)
13×5×2=130($cm^3$) 130＜154
这个长方体的体积最大是154 $cm^3$。
解析
【分析】
解题时首先要明确长方体棱长总和的特点：长方体有4条长、4条宽、4条高，因此用铁丝总长度除以4，就能得到1组长、宽、高的和。接下来题目说明长、宽、高是不同的质数，我们需要把求得的和拆成3个不同质数相加的所有符合要求的组合。最后根据长方体体积=长×宽×高的公式，分别计算不同组合的体积，比较大小后就能得到最大体积。
【解析】
1. 计算长、宽、高的和：
长方体棱长总和=4×(长+宽+高)，因此长+宽+高=80÷4=20(cm)
2. 拆分20为3个不同质数的和：
质数中只有2是偶数，3个质数相加得偶数20，说明其中一定包含偶质数2，剩余两个质数的和为20-2=18。
将18拆分为两个不同质数的和，可得18=5+13=7+11，因此长宽高的组合有两组：2cm、5cm、13cm和2cm、7cm、11cm。
3. 分别计算两组的体积：
第一组体积：2×5×13=130($cm^3$)
第二组体积：2×7×11=154($cm^3$)
4. 比较体积大小：130＜$154$，因此最大体积为154$cm^3$。
【答案】
154 $cm^3$
【知识点】
长方体棱长总和计算；质数的认识；长方体体积计算
【点评】
本题综合考查了立体图形棱长、体积计算与质数的相关知识，解题关键是先利用棱长公式求出长宽高的和，再结合质数的性质拆分出符合要求的组合，最后通过比较乘积大小得到结果，能有效锻炼学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确长方体棱长总和的特点：长方体有4条长、4条宽、4条高，因此用铁丝总长度除以4，就能得到1组长、宽、高的和。接下来题目说明长、宽、高是不同的质数，我们需要把求得的和拆成3个不同质数相加的所有符合要求的组合。最后根据长方体体积=长×宽×高的公式，分别计算不同组合的体积，比较大小后就能得到最大体积。
【解析】
1. 计算长、宽、高的和：
长方体棱长总和=4×(长+宽+高)，因此长+宽+高=80÷4=20(cm)
2. 拆分20为3个不同质数的和：
质数中只有2是偶数，3个质数相加得偶数20，说明其中一定包含偶质数2，剩余两个质数的和为20-2=18。
将18拆分为两个不同质数的和，可得18=5+13=7+11，因此长宽高的组合有两组：2cm、5cm、13cm和2cm、7cm、11cm。
3. 分别计算两组的体积：
第一组体积：2×5×13=130($cm^3$)
第二组体积：2×7×11=154($cm^3$)
4. 比较体积大小：130＜$154$，因此最大体积为154$cm^3$。
【答案】
154 $cm^3$
【知识点】
长方体棱长总和计算；质数的认识；长方体体积计算
【点评】
本题综合考查了立体图形棱长、体积计算与质数的相关知识，解题关键是先利用棱长公式求出长宽高的和，再结合质数的性质拆分出符合要求的组合，最后通过比较乘积大小得到结果，能有效锻炼学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
8. 小明妈妈买了3袋盐，其中2袋是500 g，另一袋不知道是比500 g重还是比500 g轻。你能用天平找出来吗？试一试，用合适的方法表示称的过程，至少要称几次才能保证找出来？
答案
8.能用天平找出。第一次天平两边各放一袋盐，若天平平衡，则剩下的那袋就是次品，再称一次就能判断次品是轻还是重；若天平不平衡，则称的这两袋盐一定有一袋是次品，可以取下轻(或重)的那袋，把剩下的那袋放天平上，若天平平衡，则轻(或重)的是次品，若天平不平衡，则重(或轻)的是次品。至少要称2次才能保证找出来。
解析
【分析】
这是一道次品轻重未知的找次品问题，解题时我们可以利用天平平衡的原理，通过分类讨论不同称量情况逐步缩小次品范围，最终确定次品。首先思考第一次称量的方案：3袋盐中先取2袋分别放在天平两端，会出现平衡和不平衡两种情况，我们需要对两种情况分别推导处理，同时要注意“保证找出来”需要考虑最不利的称量情况，据此计算最少称量次数。
【解析】
我们可以用天平找出这袋质量不同的盐，称量过程如下：
1. 第一次称量：将任意2袋盐分别放在天平的左右两端。
情况一：天平平衡，说明这两袋都是500g的标准品，剩下的1袋就是质量不同的次品。此时再进行第二次称量：将次品和任意一袋标准品放在天平两端，就能判断出次品比500g重还是轻。
情况二：天平不平衡，说明这两袋中一定有1袋是次品，剩下的1袋是标准品。此时进行第二次称量：取下其中一端的盐，把剩下的那袋标准品放到这端，若此时天平平衡，说明刚才取下的那袋是次品，结合第一次称量的结果就能知道次品是轻还是重；若此时天平仍然不平衡，说明之前留在天平上没有被取下的那袋是次品，也能直接判断次品的轻重。
综合所有情况，至少要称2次才能保证找出这袋质量不同的盐。
【答案】
能用天平找出。第一次天平两边各放一袋盐，若天平平衡，则剩下的那袋就是次品，再称一次就能判断次品是轻还是重；若天平不平衡，则称的这两袋盐一定有一袋是次品，可以取下轻(或重)的那袋，把剩下的那袋放天平上，若天平平衡，则轻(或重)的是次品，若天平不平衡，则重(或轻)的是次品。至少要称2次才能保证找出来。
【知识点】
找次品问题，逻辑推理，天平称量原理
【点评】
这道题是找次品的典型基础题，解题的关键是要注意次品轻重未知的特殊条件，需要通过分类讨论不同的称量情况推导结论，要注意“保证找出”需要覆盖所有可能的情况，不能只考虑最幸运的情况，能很好地考察学生的逻辑思维和分类讨论能力。
【难度系数】
0.7
这是一道次品轻重未知的找次品问题，解题时我们可以利用天平平衡的原理，通过分类讨论不同称量情况逐步缩小次品范围，最终确定次品。首先思考第一次称量的方案：3袋盐中先取2袋分别放在天平两端，会出现平衡和不平衡两种情况，我们需要对两种情况分别推导处理，同时要注意“保证找出来”需要考虑最不利的称量情况，据此计算最少称量次数。
【解析】
我们可以用天平找出这袋质量不同的盐，称量过程如下：
1. 第一次称量：将任意2袋盐分别放在天平的左右两端。
情况一：天平平衡，说明这两袋都是500g的标准品，剩下的1袋就是质量不同的次品。此时再进行第二次称量：将次品和任意一袋标准品放在天平两端，就能判断出次品比500g重还是轻。
情况二：天平不平衡，说明这两袋中一定有1袋是次品，剩下的1袋是标准品。此时进行第二次称量：取下其中一端的盐，把剩下的那袋标准品放到这端，若此时天平平衡，说明刚才取下的那袋是次品，结合第一次称量的结果就能知道次品是轻还是重；若此时天平仍然不平衡，说明之前留在天平上没有被取下的那袋是次品，也能直接判断次品的轻重。
综合所有情况，至少要称2次才能保证找出这袋质量不同的盐。
【答案】
能用天平找出。第一次天平两边各放一袋盐，若天平平衡，则剩下的那袋就是次品，再称一次就能判断次品是轻还是重；若天平不平衡，则称的这两袋盐一定有一袋是次品，可以取下轻(或重)的那袋，把剩下的那袋放天平上，若天平平衡，则轻(或重)的是次品，若天平不平衡，则重(或轻)的是次品。至少要称2次才能保证找出来。
【知识点】
找次品问题，逻辑推理，天平称量原理
【点评】
这道题是找次品的典型基础题，解题的关键是要注意次品轻重未知的特殊条件，需要通过分类讨论不同的称量情况推导结论，要注意“保证找出”需要覆盖所有可能的情况，不能只考虑最幸运的情况，能很好地考察学生的逻辑思维和分类讨论能力。
【难度系数】
0.7
