1 已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别是$A(3,2),B(-1,0),C(2,0)$.在如图所示的平面直角坐标系中画出$△ ABC$,并求出$△ ABC$的面积.

1. 解:如图,$△ ABC$即为所求.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×2=\frac{1}{2}×3×2=3$.

【分析】
解决本题分为两步：第一步绘制三角形，根据点的坐标的定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，分别描出A、B、C三个点，再依次连接三条边即可得到△ABC。第二步计算面积，首先观察到B、C两点纵坐标均为0，说明两点都在x轴上，因此BC的长度可直接用两点横坐标的差计算；BC在x轴上，BC边上的高就是点A到x轴的距离，即A点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 绘制△ABC：
根据坐标的含义，在平面直角坐标系中找到横坐标为3、纵坐标为2的点A，横坐标为-1、纵坐标为0的点B，横坐标为2、纵坐标为0的点C，依次连接AB、BC、CA，得到所求的△ABC。
2. 计算△ABC的面积：
∵点B(-1,0)、C(2,0)都在x轴上，
∴底边BC的长度为：$BC=2-(-1)=3$，
又
∵点A的坐标为(3,2)，
∴BC边上的高为点A到x轴的距离，即高为2，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
如图，△ABC即为所求。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×2=\frac{1}{2}×3×2=3$.

【知识点】
平面直角坐标系描点；坐标与线段长度；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的基础题型，解题的关键是观察点的坐标特征，利用坐标轴上点的性质简化底和高的计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

2 已知点$A(3,0),B(0,2),C(-2,0),D(0,-1)$,在同一坐标系中作出$A,B,C,D$各点,并求出四边形$ABCD$的面积.

2. 解:如图,四点 A,B,C,D 即为所求.
$S_{四边形ABCD}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ COD}+S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×(3×2+2×2+2×1+1×3)=\frac{15}{2}$.

【分析】
解题时首先观察四边形ABCD的顶点特征：四个顶点均在平面直角坐标系的坐标轴上，因此可以采用分割法，将四边形分割为4个以坐标轴为边的直角三角形，分别是△AOB、△BOC、△COD、△AOD。我们可以根据各点坐标直接得到每个直角三角形的直角边长度，再利用三角形面积公式分别计算四个三角形的面积，求和即可得到四边形ABCD的面积。
【解析】
首先根据各点坐标描点：A(3,0)在x轴正半轴，横坐标为3；B(0,2)在y轴正半轴，纵坐标为2；C(-2,0)在x轴负半轴，横坐标绝对值为2；D(0,-1)在y轴负半轴，纵坐标绝对值为1。
将四边形ABCD分割为△AOB、△BOC、△COD、△AOD四个直角三角形：
1. 计算△AOB的面积：OA=3，OB=2，$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×3×2=3$
2. 计算△BOC的面积：OC=2，OB=2，$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×OC×OB=\frac{1}{2}×2×2=2$
3. 计算△COD的面积：OC=2，OD=1，$S_{△COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×2×1=1$
4. 计算△AOD的面积：OA=3，OD=1，$S_{△AOD}=\frac{1}{2}×OA×OD=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
所以四边形ABCD的面积为四个三角形面积之和：
$S_{四边形ABCD}=3+2+1+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$
【答案】
如图，四点A,B,C,D即为所求。
$S_{四边形ABCD}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ COD}+S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×(3×2+2×2+2×1+1×3)=\frac{15}{2}$

【知识点】
平面直角坐标系点的特征；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的求解，核心是利用图形顶点在坐标轴上的特点，将不规则四边形分割为多个规则的直角三角形，简化计算过程，解题时需注意坐标的绝对值对应坐标轴上线段的长度，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

3 如图，$△ ABC$在平面直角坐标系中.
（1）请写出$△ ABC$各顶点的坐标；
（2）求出$△ ABC$的面积.

3. 解:(1) 由图可知 A(-2,-2),B(3,1),C(0,2).
(2) $S_{△ ABC}=4×5-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4=7$.

【分析】
（1）确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，按（横坐标，纵坐标）的格式书写即可。
（2）△ABC没有边与坐标轴平行，直接用底乘高计算面积较繁琐，因此采用“割补法”：先将△ABC补成一个包含它的矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
（1）观察坐标系中各点的位置：
点A的横坐标为-2，纵坐标为-2，即$A(-2,-2)$；
点B的横坐标为3，纵坐标为1，即$B(3,1)$；
点C的横坐标为0，纵坐标为2，即$C(0,2)$。
（2）用补形法计算面积：
先构造边界为$x=-2$、$x=3$、$y=-2$、$y=2$的矩形，矩形的长为$3-(-2)=5$，宽为$2-(-2)=4$，矩形面积为$4×5=20$。
矩形内△ABC外有3个直角三角形：
① 顶点为A、B、$(3,-2)$的直角三角形，底为5，高为$1-(-2)=3$，面积为$\frac{1}{2}×5×3$；
② 顶点为B、C、$(3,2)$的直角三角形，底为$3-0=3$，高为$2-1=1$，面积为$\frac{1}{2}×3×1$；
③ 顶点为A、C、$(-2,2)$的直角三角形，底为$0-(-2)=2$，高为$2-(-2)=4$，面积为$\frac{1}{2}×2×4$。
因此$S_{△ABC}=4×5-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4=7$。
【答案】
（1）$A(-2,-2)$，$B(3,1)$，$C(0,2)$；
（2）$△ ABC$的面积为7。
【知识点】
点的坐标读取、割补法求面积、三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的基础题，读取坐标时要注意横纵坐标的顺序和符号，割补法是坐标系中求解不规则图形面积的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

4 已知点$A(4,0)$，点$B$在$x$轴上，且$AB=5$。
(1) 直接写出点$B$的坐标；
(2) 若点$C$在$y$轴上，且$S_{△ ABC}=10$，求点$C$的坐标；
(3) 若点$D(a-3,a+2)$，且$S_{△ ABD}=15$，求点$D$的坐标。

4. 解:(1) 点 B 的坐标为(-1,0)或(9,0).
(2) 因为 AB=5,点 C 在 y 轴上,$S_{△ ABC}=10$,
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OC$,
即 $10=\frac{1}{2}×5×OC$,
解得 OC=4,
所以点 C 的坐标为(0,4)或(0,-4).
(3) 因为 AB=5,点 D(a-3,a+2),且 $S_{△ ABD}=15$,
所以 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5×|a+2|=15$,
解得 a=4 或 a=-8,
所以点 D 的坐标为(1,6)或(-11,-6).

【分析】
(1) 点A和点B都在x轴上，纵坐标均为0，两点的距离等于横坐标差的绝对值，设B的坐标为$(x,0)$，根据$AB=5$列绝对值方程即可求解，距离为非负数，因此会得到两个符合条件的解。
(2) $△ ABC$的底$AB=5$，且AB在x轴上，因此AB边上的高就是点C到x轴的距离，即点C纵坐标的绝对值（也就是OC的长度），代入三角形面积公式列方程求出高，再结合点C在y轴上的坐标特征，分正负两种情况即可得到点C的坐标。
(3) $△ ABD$的底仍然是$AB=5$，AB边上的高是点D到x轴的距离，即点D纵坐标的绝对值$|a+2|$，代入面积公式列方程求解$a$的值，再代入点D的坐标表达式即可得到结果，注意绝对值对应两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 设点B的坐标为$(x,0)$，已知$A(4,0)$，$AB=5$，则$|x-4|=5$，解得$x=9$或$x=-1$，因此点B的坐标为$(-1,0)$或$(9,0)$。
(2) 设点C的坐标为$(0,y)$，$△ ABC$中AB边上的高为点C到x轴的距离，即$|y|=OC$。由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OC$，代入$S_{△ ABC}=10$、$AB=5$得：
$10=\frac{1}{2}×5×OC$，解得$OC=4$，即$|y|=4$，因此$y=4$或$y=-4$，故点C的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
(3) $△ ABD$中AB边上的高为点D到x轴的距离，即$|a+2|$，由$S_{△ ABD}=15$得：
$\frac{1}{2}×5×|a+2|=15$，化简得$|a+2|=6$，因此$a+2=6$或$a+2=-6$，解得$a=4$或$a=-8$。
当$a=4$时，$a-3=1$，$a+2=6$，点D坐标为$(1,6)$；当$a=-8$时，$a-3=-11$，$a+2=-6$，点D坐标为$(-11,-6)$。
【答案】
(1) $(-1,0)$或$(9,0)$；
(2) $(0,4)$或$(0,-4)$；
(3) $(1,6)$或$(-11,-6)$。
【知识点】
1. 坐标与距离计算
2. 三角形面积公式
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积的基础题型，解题核心是明确当三角形底边在x轴上时，底边上的高等于第三个顶点纵坐标的绝对值，解题时需注意绝对值的非负性对应多种情况，避免漏解，能很好地锻炼分类讨论的思维。
【难度系数】
0.7