23. (10分)定义:如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合,我们就把这个四边形称为“优乐四边形”. 如图①,凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合,四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“优乐四边形”.
(1)下列四边形一定是“优乐四边形”的有.(填序号)
①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形
(2)如图②,在矩形ABCD中,E是BC边上的中点,四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“优乐四边形”(点M在四边形ABCD内部),连接AM并延长交DC于点N. 求证:四边形MECN是“优乐四边形”.

(1)②④(2分)
(2)如图①,连接EN.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形, $\therefore ∠ B=∠ C=90°$.
$\because E$是$BC$的中点, $\therefore EB=EC$.
由轴对称的性质,可得$∠ AME=∠ B=90°$,$ME=EB$,
$\therefore ∠ EMN=180°-∠ AME=90°=∠ C$,$EM=EC$.
又$\because EN=EN$, $\therefore \mathrm{Rt}△ EMN≌ \mathrm{Rt}△ ECN(\mathrm{HL})$.
$\therefore$ 四边形$MECN$沿$EN$对折后能完全重合.
$\therefore$ 四边形$MECN$是“优乐四边形”.(8分)

(3)如图③,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,AB=3,AD=5,E是BC边上的中点,四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“优乐四边形”(点M在四边形ABCD内部),连接AM并延长交DC于点N.当△ADN是直角三角形时,线段CN的长为.

(3)$\frac{25}{12}$ 或 $\frac{\sqrt{14}}{2}$(10分)
【解析】①如图②,当$∠ ADN=90°$时,连接$EN$,则四边形$ABCD$是矩形. $\therefore ∠ B=∠ C=90°$. 由(2)知,$AB=AM$,$CN=MN$. 设$CN=x$,则$AN=3+x$,$DN=3-x$. $\because AD^2+DN^2=AN^2$, $\therefore 5^2+(3-x)^2=(3+x)^2$, 解得$x=\frac{25}{12}$. $\therefore CN=\frac{25}{12}$.
②如图③,当$∠ AND=90°$时,连接$EN$,$MC$. 易得四边形$ABCD$是平行四边形,$∠ B=∠ AME$,$AM=AB=3$,$BE=ME=CE$, $\therefore ∠ EMC=∠ ECM$,$∠ EMN=180°-∠ AME=180°-∠ B$. $\because AB// CD$, $\therefore ∠ ECN=180°-∠ B$. $\therefore ∠ EMN=∠ ECN$. $\therefore ∠ EMN-∠ EMC=∠ ECN-∠ ECM$, 即$∠ NMC=∠ NCM$. $\therefore MN=CN$. 设$MN=CN=a$, 则$AN=3+a$,$DN=3-a$. $\because AN^2+DN^2=AD^2$, $\therefore (a+3)^2+(3-a)^2=5^2$, 解得$a=\frac{\sqrt{14}}{2}$(负值已舍去). $\therefore CN=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
综上所述,线段$CN$的长为$\frac{25}{12}$或$\frac{\sqrt{14}}{2}$.