登录
2. 如图，已知$A(-4,2),B(n,-4)$是一次函数$y=kx+b$的图像与反比例函数$y=\frac {m}{x}(m≠0)$的图像的两个交点。
(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式：反比例函数解析式为
(2)根据图像写出使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$的取值范围：
(3)求$\triangle AOB$的面积：
(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式：反比例函数解析式为
$y = -\frac{8}{x}$
，一次函数解析式为$y=-x - 2$
；(2)根据图像写出使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$的取值范围：
$x\gt2$
或$-4\lt x\lt0$
；(3)求$\triangle AOB$的面积：
$6$
。答案
【解析】：
### $(1)$求反比例函数和一次函数的解析式
**步骤一：求反比例函数的解析式**
已知$A(-4,2)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}(m\neq0)$的图像上，将$A$点坐标代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，可得$2=\frac{m}{-4}$，解得$m = - 8$，所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
**步骤二：求$n$的值**
因为$B(n,-4)$在反比例函数$y = -\frac{8}{x}$的图像上，将$B$点纵坐标代入反比例函数可得$-4=-\frac{8}{n}$，解得$n = 2$，即$B(2,-4)$。
**步骤三：求一次函数的解析式**
将$A(-4,2)$，$B(2,-4)$代入一次函数$y=kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}-4k + b = 2\\2k + b = -4\end{cases}$
用第一个方程$-4k + b = 2$减去第二个方程$2k + b = -4$，可得：
$(-4k + b)-(2k + b)=2-(-4)$
$-4k + b - 2k - b = 2 + 4$
$-6k = 6$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$-4k + b = 2$，即$-4×(-1)+b = 2$，$4 + b = 2$，解得$b=-2$。
所以一次函数的解析式为$y=-x - 2$。
### $(2)$求使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$的取值范围
一次函数的值小于反比例函数的值，即$kx + b\lt\frac{m}{x}$，从图像上看，就是一次函数图像在反比例函数图像下方时$x$的取值范围。
当$x\gt2$或$-4\lt x\lt0$时，一次函数$y=-x - 2$的图像在反比例函数$y = -\frac{8}{x}$图像的下方。
### $(3)$求$\triangle AOB$的面积
设直线$y=-x - 2$与$y$轴交于点$C$，令$x = 0$，则$y=-2$，所以$C(0,-2)$，那么$OC = 2$。
$\triangle AOB$的面积$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OC×|x_A|=\frac{1}{2}×2×4 = 4$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OC×|x_B|=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
所以$S_{\triangle AOB}=4 + 2=6$。
【答案】：
$(1)$反比例函数解析式为$\boldsymbol{y = -\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x - 2}$；
$(2)$$\boldsymbol{x\gt2}$或$\boldsymbol{-4\lt x\lt0}$；
$(3)$$\boldsymbol{6}$。
### $(1)$求反比例函数和一次函数的解析式
**步骤一：求反比例函数的解析式**
已知$A(-4,2)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}(m\neq0)$的图像上，将$A$点坐标代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，可得$2=\frac{m}{-4}$，解得$m = - 8$，所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
**步骤二：求$n$的值**
因为$B(n,-4)$在反比例函数$y = -\frac{8}{x}$的图像上，将$B$点纵坐标代入反比例函数可得$-4=-\frac{8}{n}$，解得$n = 2$，即$B(2,-4)$。
**步骤三：求一次函数的解析式**
将$A(-4,2)$，$B(2,-4)$代入一次函数$y=kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}-4k + b = 2\\2k + b = -4\end{cases}$
用第一个方程$-4k + b = 2$减去第二个方程$2k + b = -4$，可得：
$(-4k + b)-(2k + b)=2-(-4)$
$-4k + b - 2k - b = 2 + 4$
$-6k = 6$，解得$k=-1$。
把$k = - 1$代入$-4k + b = 2$，即$-4×(-1)+b = 2$，$4 + b = 2$，解得$b=-2$。
所以一次函数的解析式为$y=-x - 2$。
### $(2)$求使一次函数的值小于反比例函数的值的$x$的取值范围
一次函数的值小于反比例函数的值，即$kx + b\lt\frac{m}{x}$，从图像上看，就是一次函数图像在反比例函数图像下方时$x$的取值范围。
当$x\gt2$或$-4\lt x\lt0$时，一次函数$y=-x - 2$的图像在反比例函数$y = -\frac{8}{x}$图像的下方。
### $(3)$求$\triangle AOB$的面积
设直线$y=-x - 2$与$y$轴交于点$C$，令$x = 0$，则$y=-2$，所以$C(0,-2)$，那么$OC = 2$。
$\triangle AOB$的面积$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OC×|x_A|=\frac{1}{2}×2×4 = 4$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OC×|x_B|=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
所以$S_{\triangle AOB}=4 + 2=6$。
【答案】：
$(1)$反比例函数解析式为$\boldsymbol{y = -\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x - 2}$；
$(2)$$\boldsymbol{x\gt2}$或$\boldsymbol{-4\lt x\lt0}$；
$(3)$$\boldsymbol{6}$。
3. 如图，已知菱形$OABC$，点$C$在$x$轴上，直线$y=x$经过点$A$，菱形$OABC$的面积是$\sqrt {2}$。若反比例函数的图像经过点$B$，求此反比例函数的解析式为
$y=\frac{2}{x}$
。答案
【解析】：
设$A(a,a)$，因为直线$y = x$经过点$A$，所以$OA=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$。
由于四边形$OABC$是菱形，所以$OA = AB = BC = CO=\sqrt{2}a$。
又因为菱形$OABC$的面积是$\sqrt{2}$，且$A$到$x$轴的距离为$a$（$A$纵坐标的绝对值），根据菱形面积公式$S = 底×高$，这里底$OC=\sqrt{2}a$，高为$a$，则$\sqrt{2}a× a=\sqrt{2}$，即$a^{2}=1$，解得$a = 1$或$a=-1$（因为点$A$在第一象限，所以$a = 1$）。
那么$A(1,1)$，因为$AB// OC$，$AB = \sqrt{2}$，$A$的横坐标为$1$，所以$B$点横坐标为$1 + \sqrt{2}×\cos45^{\circ}=1 + 1=2$，$B$点纵坐标为$1$（$AB// x$轴，$A$、$B$纵坐标相同），即$B(2,1)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，把$B(2,1)$代入得$k = 2×1=2$。
【答案】：$y=\frac{2}{x}$
设$A(a,a)$，因为直线$y = x$经过点$A$，所以$OA=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$。
由于四边形$OABC$是菱形，所以$OA = AB = BC = CO=\sqrt{2}a$。
又因为菱形$OABC$的面积是$\sqrt{2}$，且$A$到$x$轴的距离为$a$（$A$纵坐标的绝对值），根据菱形面积公式$S = 底×高$，这里底$OC=\sqrt{2}a$，高为$a$，则$\sqrt{2}a× a=\sqrt{2}$，即$a^{2}=1$，解得$a = 1$或$a=-1$（因为点$A$在第一象限，所以$a = 1$）。
那么$A(1,1)$，因为$AB// OC$，$AB = \sqrt{2}$，$A$的横坐标为$1$，所以$B$点横坐标为$1 + \sqrt{2}×\cos45^{\circ}=1 + 1=2$，$B$点纵坐标为$1$（$AB// x$轴，$A$、$B$纵坐标相同），即$B(2,1)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，把$B(2,1)$代入得$k = 2×1=2$。
【答案】：$y=\frac{2}{x}$
