17. 以下是两张不同类型火车的车票(“Dxxx次”表示动车,“Gxxx次”表示高铁)。
(1)请根据车票中的信息填空：两车行驶方向 ,出发时刻 (填“相同”或“不同”)。
(2)已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h和300km/h,如果两车均按车票信息准时出发直达终点,且同时到达终点,求A,B两地之间的距离。
答案：
(3)在(2)的条件下,请写出在什么时刻两车相距150km。
答案：

【解析】：
### $(1)$ 分析两车行驶方向和出发时刻
从车票信息可知，两车都是从$A$地到$B$地，所以行驶方向**相同**；
动车出发时刻是$20:00$，高铁出发时刻是$21:00$，所以出发时刻**不同**。
### $(2)$ 计算$A$、$B$两地之间的距离
设$A$、$B$两地之间的距离为$s$。
动车行驶时间为$t_{动}$，高铁行驶时间为$t_{高}$，已知动车速度$v_{动}=200km/h$，高铁速度$v_{高}=300km/h$，且$t_{动}-t_{高}=1h$。
根据$v = \frac{s}{t}$，可得$t=\frac{s}{v}$，则$\frac{s}{200}-\frac{s}{300}=1$。
通分得到$\frac{3s}{600}-\frac{2s}{600}=1$，即$\frac{s}{600}=1$，解得$s = 600km$。
### $(3)$ 计算两车相距$150km$的时刻
**情况一：高铁出发前**
动车先出发，当动车行驶$150km$时，根据$t=\frac{s}{v}$，$t=\frac{150}{200}=0.75h = 45min$，$20$时$ + 45$分$ = 20$时$45$分。
**情况二：两车都出发后**
设高铁出发$t$小时后两车相距$150km$，此时动车行驶时间为$(t + 1)$小时。
$200(t + 1)-300t = 150$，
$200t+200 - 300t = 150$，
$-100t=150 - 200$，
$-100t=-50$，
解得$t = 0.5h=30min$，$21$时$ + 30$分$ = 21$时$30$分。
【答案】：
$(1)$ 相同；不同。
$(2)$ $600km$。
$(3)$ $20$时$45$分和$21$时$30$分。

18. 如图,已知数轴上有三点$A$,$B$,$C$,若用$AB$表示$A$,$B$两点的距离,$AC$表示$A$,$C$两点的距离,且$AB = \frac{1}{3}AC$,点$A$、点$C$对应的数分别是$a$,$c$,且$\vert a + 40\vert + \vert c - 20\vert = 0$。
(1)求$BC$的长。
答案：$BC$的长为。
(2)若点$P$,$Q$分别从$A$,$C$两点同时出发向左运动,速度分别为$2$个单位长度每秒、$5$个单位长度每秒,则运动了多少秒时,$Q$到$B$的距离与$P$到$B$的距离相等？
答案：运动了秒或秒时，$Q$到$B$的距离与$P$到$B$的距离相等。
(3)若点$P$,$Q$仍然以(2)中的速度分别从$A$,$C$两点同时出发向左运动,$2$秒后,动点$R$从$A$点出发向右运动,点$R$的速度为$1$个单位长度每秒,点$M$为线段$PR$的中点,点$N$为线段$RQ$的中点,点$R$运动了多少秒时恰好满足$MN + AQ = 31$？求出此时$R$点所对应的数。
答案：点$R$运动了秒时恰好满足$MN + AQ = 31$，此时$R$点所对应的数为。

【解析】：
### $(1)$求$BC$的长
已知$\vert a + 40\vert+\vert c - 20\vert = 0$，因为绝对值一定是非负的，即$\vert a + 40\vert\geq0$，$\vert c - 20\vert\geq0$。
要使两个非负项的和为$0$，则$\vert a + 40\vert=0$且$\vert c - 20\vert=0$，所以$a=-40$，$c = 20$。
那么$AC=\vert c - a\vert=\vert20-(-40)\vert = 60$。
又因为$AB=\frac{1}{3}AC$，所以$AB=\frac{1}{3}×60 = 20$。
则$BC=AC - AB=60 - 20=40$。
### $(2)$求运动时间
设运动时间为$t$秒。
点$P$对应的数为$-40-2t$，点$Q$对应的数为$20 - 5t$，点$B$对应的数为$-40 + 20=-20$。
当$Q$到$B$的距离与$P$到$B$的距离相等时，$\vert20 - 5t-(-20)\vert=\vert-40-2t-(-20)\vert$。
即$\vert40 - 5t\vert=\vert-20 - 2t\vert$，则有$40 - 5t=-20 - 2t$或$40 - 5t=20 + 2t$。
当$40 - 5t=-20 - 2t$时：
移项可得$-5t + 2t=-20 - 40$，即$-3t=-60$，解得$t = 20$。
当$40 - 5t=20 + 2t$时：
移项可得$-5t-2t=20 - 40$，即$-7t=-20$，解得$t=\frac{20}{7}$。
### $(3)$求点$R$运动时间和对应数
设点$R$运动了$x$秒。
点$P$对应的数为$-40-2(x + 2)=-44-2x$，点$Q$对应的数为$20-5(x + 2)=10-5x$，点$R$对应的数为$-40+x$。
因为点$M$为线段$PR$的中点，则点$M$对应的数为$\frac{-44-2x-40 + x}{2}=\frac{-84 - x}{2}=-42-\frac{x}{2}$。
因为点$N$为线段$RQ$的中点，则点$N$对应的数为$\frac{-40+x+10-5x}{2}=\frac{-30 - 4x}{2}=-15-2x$。
$AQ=\vert10-5x-(-40)\vert=\vert50 - 5x\vert$，$MN=\vert-15-2x-(-42-\frac{x}{2})\vert=\vert27-\frac{3x}{2}\vert$。
已知$MN + AQ = 31$，即$\vert27-\frac{3x}{2}\vert+\vert50 - 5x\vert = 31$。
当$x\leq\frac{20}{3}$时：
$27-\frac{3x}{2}+50 - 5x = 31$，$77-\frac{13x}{2}=31$，$\frac{13x}{2}=46$，$x=\frac{92}{13}$（舍去，因为$\frac{92}{13}＞\frac{20}{3}$）。
当$\frac{20}{3}＜x\leq6$时：
$27-\frac{3x}{2}+5x - 50 = 31$，$\frac{7x}{2}=54$，$x=\frac{108}{7}$（舍去，因为$\frac{108}{7}＞6$）。
当$x＞6$时：
$-27+\frac{3x}{2}+5x - 50 = 31$，$\frac{13x}{2}=108$，$x = 8$。
此时$R$点对应的数为$-40+8=-32$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{40}$；
$(2)$$\boldsymbol{\frac{20}{7}}$秒或$\boldsymbol{20}$秒；
$(3)$点$R$运动了$\boldsymbol{8}$秒时恰好满足$MN + AQ = 31$，此时$R$点所对应的数为$\boldsymbol{-32}$。