9. 如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点E,若$DE= OC,∠AOC= 84^{\circ }$,则$∠E$的度数为______.

$28^{\circ}$

10. (原创题)如图,AB是⊙O的弦,C是AB上一点,且$OC⊥OA,OC= BC= 1$,则$∠A$的度数是______,⊙O的半径为______.

$30^{\circ}$ $\sqrt{3}$

11. 如图,在$△AOB$中,$∠A= 2∠B= 45^{\circ }$,以OA为半径作⊙O,交AB于点C,则$\frac {AC}{BC}$的值为______.

$\sqrt{2}$

12. (教材$P_{80}$例1变式)如图,在四边形ABCD中,$∠ABC= ∠ADC= 90^{\circ }$.求证:A,B,C,D四点

在同一个圆上.

证明:取 AC 的中点 O,
连接 OB,OD.
$\because \angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$,
$\therefore OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore A,B,C,D$ 四点在以点 O 为圆心,
OA 为半径的同一个圆上.

13. 如图,在扇形AOB中,$∠AOB= 90^{\circ }$,P为$\widehat {AB}$上的一点,$PC⊥OA$于点C,交AB于点D.若$PD= 3,CD= 2$,求⊙O的半径.

解:连接 OP,则 $OP=OB=OA$.
$\because \angle AOB=90^{\circ}$,
$\therefore \angle OAB=\angle OBA=45^{\circ}$.
$\because PC\perp OA$,
$\therefore \angle CDA=\angle CAD=45^{\circ}$,
$\therefore CA=CD=2$.
设 $OP=OA=r$,
则 $OC=r - 2$. 在 $Rt\triangle POC$ 中,
$r^{2}=5^{2}+(r - 2)^{2}$,
$\therefore r=\frac{29}{4}$,即$\odot O$ 的半径为 $\frac{29}{4}$.

14. (原创题)以$△ABC$的边AB为直径作半⊙O,分别交AC,BC于点D,E.
(1)【问题背景】如图1,若$AC= BC,∠C= 70^{\circ }$,则$∠DOE$的度数为______;
(2)【迁移应用】如图2,若$AC≠BC,∠C= 60^{\circ }$,求$∠DOE$的度数.

解:(1)$\because AC=BC,\angle C=70^{\circ}$,
$\therefore \angle CAB=\angle CBA=55^{\circ}$.
$\because OA=OD$,
$\therefore \angle ODA=\angle OAD=55^{\circ}$,
$\therefore \angle AOD=70^{\circ}$.
同理可得$\angle BOE=70^{\circ}$,
$\therefore \angle DOE=180^{\circ}-70^{\circ}\times 2=40^{\circ}$;
(2)$\because \angle C=60^{\circ}$,
$\therefore \angle A+\angle B=120^{\circ}$.
$\because OA=OD=OE=OB$,
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$\therefore \angle A=\angle ODA,\angle B=\angle OEB$,
$\therefore \angle A+\angle ODA+\angle B+\angle OEB=$
240^{\circ},
$\therefore \angle AOD+\angle BOE=180^{\circ}\times 2-$
$240^{\circ}=120^{\circ}$,
$\therefore \angle DOE=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.