1. 关于x的方程$ax^{2}-(3a+1)x+2(a+1)=0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}-x_{1}x_{2}+x_{2}=1-a$,则a的值是 ()

A.1
B.-1
C.1或-1
D.2

1. C

当$a=0$时，方程化为$-x + 2 = 0$，解得$x=2$，只有一个实数根，不符合题意。
当$a\neq0$时，方程$ax^{2}-(3a + 1)x + 2(a + 1)=0$是一元二次方程。
由韦达定理得：$x_{1}+x_{2}=\frac{3a + 1}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{2(a + 1)}{a}$。
已知$x_{1}-x_{1}x_{2}+x_{2}=1 - a$，即$(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=1 - a$。
代入韦达定理表达式：$\frac{3a + 1}{a}-\frac{2(a + 1)}{a}=1 - a$。
化简左边：$\frac{3a + 1 - 2a - 2}{a}=\frac{a - 1}{a}$。
所以$\frac{a - 1}{a}=1 - a$，等式两边同乘$a$（$a\neq0$）得：$a - 1 = a(1 - a)$。
整理得：$a - 1 = a - a^{2}$，移项得$a^{2}-1 = 0$，即$(a - 1)(a + 1)=0$，解得$a=1$或$a=-1$。
当$a=1$时，方程为$x^{2}-4x + 4 = 0$，$\Delta=16 - 16 = 0$，有两个相等实数根，符合题意。
当$a=-1$时，方程为$-x^{2}+2x + 0 = 0$，即$x^{2}-2x = 0$，$\Delta=4 - 0 = 4＞0$，有两个不等实数根，符合题意。
综上，$a=1$或$a=-1$。
C

2. (易错题)(2024·内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,则p的值为 ()

A.-1
B.3
C.1或-3
D.-1或3

2. B [易错分析]解答本题时容易忽视题中的“一元二次方程根的判别式为正数”这一特征而错选 D.

3. (2023·岳阳)已知关于x的方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}· x_{2}=2$,则m的值为.

3. 3

∵方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=(2m)^{2}-4×1×(m^{2}-m+2)=4m - 8＞0$，解得$m＞2$。
由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-m+2$。
∵$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$，
∴$-2m + m^{2}-m + 2=2$，即$m^{2}-3m=0$，解得$m=0$或$m=3$。
∵$m＞2$，
∴$m=3$。

4. 设$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+5x-3=0$的两个实数根,且$2x_{1}(x_{2}^{2}+6x_{2}-3)+a=4$,则a的值为.

4. 10

解：因为$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+5x - 3=0$的根，所以$x_{2}^{2}+5x_{2}-3=0$，即$x_{2}^{2}+5x_{2}=3$。
则$x_{2}^{2}+6x_{2}-3=(x_{2}^{2}+5x_{2})+x_{2}-3=3 + x_{2}-3=x_{2}$。
由韦达定理得$x_{1}x_{2}=-3$。
将$x_{2}^{2}+6x_{2}-3=x_{2}$代入$2x_{1}(x_{2}^{2}+6x_{2}-3)+a=4$，得$2x_{1}x_{2}+a=4$。
把$x_{1}x_{2}=-3$代入，得$2×(-3)+a=4$，解得$a=10$。
10

5. (2023·襄阳)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个实数根分别为α、β,且$k^{2}=αβ+3k$,求k的值.

5. (1) $ b^{2}-4ac=2^{2}-4(3-k)=-8+4k $.
∵ 原方程有两个不相等的实数根,
∴ $ -8+4k＞0 $, 解得 $ k＞2 $ (2)
∵ 方程的两个实数根分别为 $ \alpha 、\beta $,
∴ $ \alpha \beta =3-k $.
∵ $ k^{2}=\alpha \beta +3k $,
∴ $ k^{2}=3-k+3k $, 即 $ k^{2}-2k-3=0 $, 解得 $ k_{1}=3 $, $ k_{2}=-1 $ (不合题意, 舍去).
∴ $ k $ 的值为 3

6. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17$,求m的值.

6.
∵ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0 $ 有两个实数根 $ x_{1}、x_{2} $,
∴ $ b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m^{2}-4m-1)\geqslant 0 $, 即 $ m\geqslant -\frac{1}{4} $, 且 $ x_{1}x_{2}=m^{2}-4m-1 $, $ x_{1}+x_{2}=2m $.
∵ $ (x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17 $,
∴ $ x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4-2x_{1}x_{2}=17 $, 即 $ 2(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=13 $,
∴ $ 4m-m^{2}+4m+1=13 $. 整理, 得 $ m^{2}-8m+12=0 $, 解得 $ m_{1}=2 $, $ m_{2}=6 $.
∵ $ m\geqslant -\frac{1}{4} $,
∴ 满足题意的 $ m $ 的值为 2 或 6

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(k-1)x+k^{2}+3=0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,设$t=\frac {x_{1}+x_{2}}{k}$,则t的最大值为 ()

A.-2
B.2
C.-4
D.4

7. D

解：
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = [-2(k-1)]^2 - 4 × 1 × (k^2 + 3) \geq 0$，
即$4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 - 12 \geq 0$，
化简得$-8k - 8 \geq 0$，解得$k \leq -1$。
由韦达定理，$x_1 + x_2 = 2(k - 1)$，
∴$t = \frac{x_1 + x_2}{k} = \frac{2(k - 1)}{k} = 2 - \frac{2}{k}$。
∵$k \leq -1$，
∴$-\frac{2}{k} \leq 2$（当$k = -1$时取等号），
∴$t = 2 - \frac{2}{k} \leq 4$。
故$t$的最大值为$4$。
D