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8. 已知a、b是关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+p-1=0$的两个非负实数根.若p是实数,求$(a-1)(b-1)$的最小值与最大值.
答案
8. 根据题意, 得 $ (-2)^{2}-4(p-1)\geqslant 0 $, 且 $ a+b=2 $, $ ab=p-1\geqslant 0 $, 解得 $ 1\leqslant p\leqslant 2 $.
∵ $ (a-1)(b-1)=-(a+b)+ab+1=-2+p-1+1=p-2 $,
∴ 当 $ p=1 $ 时, $ (a-1)(b-1) $ 取得最小值, 最小值为 $ 1-2=-1 $; 当 $ p=2 $ 时, $ (a-1)(b-1) $ 取得最大值, 最大值为 $ 2-2=0 $
∵ $ (a-1)(b-1)=-(a+b)+ab+1=-2+p-1+1=p-2 $,
∴ 当 $ p=1 $ 时, $ (a-1)(b-1) $ 取得最小值, 最小值为 $ 1-2=-1 $; 当 $ p=2 $ 时, $ (a-1)(b-1) $ 取得最大值, 最大值为 $ 2-2=0 $
9. 已知关于x的方程$x^{2}-2x+m-2=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$.求:
(1)m的取值范围;
(2)$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$的最小值.
(1)m的取值范围;
(2)$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$的最小值.
答案
9. (1) 根据题意, 得 $ b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(m-2)\geqslant 0 $, 解得 $ m\leqslant 3 $ (2) 根据题意, 得 $ x_{1}+x_{2}=2 $, $ x_{1}x_{2}=m-2 $,
∴ $ 3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=6-(m-2)=-m+8 $.
∵ $ m\leqslant 3 $,
∴ 当 $ m=3 $ 时, $ 3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2} $ 取得最小值, 最小值为 $ -3+8=5 $
∴ $ 3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=6-(m-2)=-m+8 $.
∵ $ m\leqslant 3 $,
∴ 当 $ m=3 $ 时, $ 3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2} $ 取得最小值, 最小值为 $ -3+8=5 $
10. (2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,求m的值.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,求m的值.
答案
10. (1)
∵ $ a=1 $, $ b=-(m+2) $, $ c=m-1 $,
∴ $ b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4× 1× (m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8 $.
∵ $ m^{2}\geqslant 0 $,
∴ $ m^{2}+8＞0 $, 即 $ b^{2}-4ac＞0 $,
∴ 无论 $ m $ 取何值, 方程都有两个不相等的实数根 (2)
∵ 方程 $ x^{2}-(m+2)x+m-1=0 $ 的两个实数根为 $ x_{1}、x_{2} $,
∴ $ x_{1}+x_{2}=m+2 $, $ x_{1}x_{2}=m-1 $.
∵ $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9 $, 即 $ (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9 $,
∴ $ (m+2)^{2}-3(m-1)=9 $. 整理, 得 $ m^{2}+m-2=0 $.
∴ $ (m+2)(m-1)=0 $, 解得 $ m_{1}=-2 $, $ m_{2}=1 $,
∴ $ m $ 的值为 -2 或 1
∵ $ a=1 $, $ b=-(m+2) $, $ c=m-1 $,
∴ $ b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4× 1× (m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8 $.
∵ $ m^{2}\geqslant 0 $,
∴ $ m^{2}+8＞0 $, 即 $ b^{2}-4ac＞0 $,
∴ 无论 $ m $ 取何值, 方程都有两个不相等的实数根 (2)
∵ 方程 $ x^{2}-(m+2)x+m-1=0 $ 的两个实数根为 $ x_{1}、x_{2} $,
∴ $ x_{1}+x_{2}=m+2 $, $ x_{1}x_{2}=m-1 $.
∵ $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9 $, 即 $ (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9 $,
∴ $ (m+2)^{2}-3(m-1)=9 $. 整理, 得 $ m^{2}+m-2=0 $.
∴ $ (m+2)(m-1)=0 $, 解得 $ m_{1}=-2 $, $ m_{2}=1 $,
∴ $ m $ 的值为 -2 或 1
11. (分类讨论思想)已知关于x的方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0$.
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.
(2)设$x_{1}$、$x_{2}$是方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0$的两个实数根,记$S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$,则S的值能为1吗? 若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.
(2)设$x_{1}$、$x_{2}$是方程$(k-1)x^{2}+2kx+2=0$的两个实数根,记$S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$,则S的值能为1吗? 若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.
答案
11. (1) ① 当 $ k-1=0 $, 即 $ k=1 $ 时, 方程为一元一次方程 $ 2x+2=0 $, 解得 $ x=-1 $.
∴ 当 $ k=1 $ 时, 原方程有一个实数根. ② 当 $ k-1\neq 0 $, 即 $ k\neq 1 $ 时, 方程为一元二次方程.
∵ $ b^{2}-4ac=(2k)^{2}-4× 2(k-1)=4k^{2}-8k+8=4(k-1)^{2}+4 $, $ (k-1)^{2}＞0 $,
∴ $ 4(k-1)^{2}+4＞0 $,
∴ 方程有两个不相等的实数根. 综上所述, 无论 $ k $ 为何值, 方程总有实数根 (2) 能
∵ $ x_{1}、x_{2} $ 是方程 $ (k-1)x^{2}+2kx+2=0 $ 的两个实数根,
∴ $ x_{1}+x_{2}=\frac{-2k}{k-1} $, $ x_{1}x_{2}=\frac{2}{k-1} $. 令 $ S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=1 $,
∴ $ \frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1 $. 整理, 得 $ 2+2k=k-1 $, 解得 $ k=-3 $. 经检验, $ k=-3 $ 是分式方程的解, 且符合题意.
∴ $ k $ 的值为 -3
∴ 当 $ k=1 $ 时, 原方程有一个实数根. ② 当 $ k-1\neq 0 $, 即 $ k\neq 1 $ 时, 方程为一元二次方程.
∵ $ b^{2}-4ac=(2k)^{2}-4× 2(k-1)=4k^{2}-8k+8=4(k-1)^{2}+4 $, $ (k-1)^{2}＞0 $,
∴ $ 4(k-1)^{2}+4＞0 $,
∴ 方程有两个不相等的实数根. 综上所述, 无论 $ k $ 为何值, 方程总有实数根 (2) 能
∵ $ x_{1}、x_{2} $ 是方程 $ (k-1)x^{2}+2kx+2=0 $ 的两个实数根,
∴ $ x_{1}+x_{2}=\frac{-2k}{k-1} $, $ x_{1}x_{2}=\frac{2}{k-1} $. 令 $ S=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=1 $,
∴ $ \frac{2}{k-1}+\frac{2k}{k-1}=1 $. 整理, 得 $ 2+2k=k-1 $, 解得 $ k=-3 $. 经检验, $ k=-3 $ 是分式方程的解, 且符合题意.
∴ $ k $ 的值为 -3
