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10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 50^{\circ}$,按图中虚线将$\angle C$剪去后,$\angle 1+\angle 2$的度数为____。
答案
$230^{\circ}$
11. (教材变式)如图,若$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4= 260^{\circ}$,则$\angle A$的度数为____。
答案
$50^{\circ}$
12. (教材变式)如图,$\angle A= 40^{\circ}$,$\angle ABD= \angle ACD= 20^{\circ}$,则$\angle BDC$的度数为____。
答案
$80^{\circ}$
13. (教材变式)如图,甲船在$A处测得B处灯塔的方向是北偏东54^{\circ}$,再沿正东方向行驶到$C$处,
测得$B处灯塔的方向是北偏东18^{\circ}$,求$\angle B$的度数。
测得$B处灯塔的方向是北偏东18^{\circ}$,求$\angle B$的度数。
答案
解:据题意得$\angle DAB=54^{\circ}$，
$\angle ECB=18^{\circ}$，
$\angle DAC=\angle ACE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}+18^{\circ}=108^{\circ}$.
$\because \angle BAC+\angle ACB+\angle B=180^{\circ}$，
$\therefore \angle B=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ACB$
$=180^{\circ}-36^{\circ}-108^{\circ}$
$=36^{\circ}$，
$\therefore \angle B$的度数为$36^{\circ}$.
$\angle ECB=18^{\circ}$，
$\angle DAC=\angle ACE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}+18^{\circ}=108^{\circ}$.
$\because \angle BAC+\angle ACB+\angle B=180^{\circ}$，
$\therefore \angle B=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ACB$
$=180^{\circ}-36^{\circ}-108^{\circ}$
$=36^{\circ}$，
$\therefore \angle B$的度数为$36^{\circ}$.
14. (2025南通)如图,$D$,$E$,$F$,$G是\triangle ABC$边上的点,$\angle BAC= \angle BED$,$\angle ADE= \angle CGF$。
(1)求证：$AD// GF$；
(2)若$AD平分\angle BAC$,$\angle AED= 100^{\circ}$,$\angle C= 55^{\circ}$,求$\angle CFG$的度数。
(1)求证：$AD// GF$；
(2)若$AD平分\angle BAC$,$\angle AED= 100^{\circ}$,$\angle C= 55^{\circ}$,求$\angle CFG$的度数。
答案
解:(1)$\because \angle BAC=\angle BED$，
$\therefore AC// DE$，
$\therefore \angle ADE=\angle DAC$.
$\because \angle ADE=\angle CGF$，
$\therefore \angle DAC=\angle CGF$，
$\therefore AD// GF$；
(2)由(1)知$AC// DE,AD// GF$.
$\because \angle AED=100^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$.
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=40^{\circ}$.
$\because \angle C=55^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=180^{\circ}-40^{\circ}-55^{\circ}=85^{\circ}$.
$\because AD// GF$，
$\therefore \angle CFG=\angle ADC=85^{\circ}$.
$\therefore AC// DE$，
$\therefore \angle ADE=\angle DAC$.
$\because \angle ADE=\angle CGF$，
$\therefore \angle DAC=\angle CGF$，
$\therefore AD// GF$；
(2)由(1)知$AC// DE,AD// GF$.
$\because \angle AED=100^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$.
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=40^{\circ}$.
$\because \angle C=55^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=180^{\circ}-40^{\circ}-55^{\circ}=85^{\circ}$.
$\because AD// GF$，
$\therefore \angle CFG=\angle ADC=85^{\circ}$.
15. (教材变式)【提出问题】如图,$AO$,$BO分别平分\angle CAB$,$\angle CBA$,$OD\perp AO交AB于点D$,探究$\angle C与\angle BOD$的数量关系。
(1)【特例探究】若$\angle CAB= 50^{\circ}$,$\angle CBA= 68^{\circ}$,则$\angle C与\angle BOD$的数量关系为____；
(2)【一般情形】对于一般情形,(1)中结论还成立吗？请说明理由。
(1)【特例探究】若$\angle CAB= 50^{\circ}$,$\angle CBA= 68^{\circ}$,则$\angle C与\angle BOD$的数量关系为____；
(2)【一般情形】对于一般情形,(1)中结论还成立吗？请说明理由。
答案
解:(1)$\angle C=2\angle BOD$；
(2)成立，理由如下:
设$\angle OAB=x,\angle OBA=y$，
$\because AO,BO$分别平分$\angle CAB,\angle CBA$，
$\therefore \angle CAB=2x,\angle CBA=2y$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-x-y$，
$\angle C=180^{\circ}-2x-2y$
$=2(90^{\circ}-x-y)$.
$\because OD\perp OA$，
$\therefore \angle AOD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOD=\angle AOB-90^{\circ}$
$=90^{\circ}-x-y$，
$\therefore \angle C=2\angle BOD$.
(2)成立，理由如下:
设$\angle OAB=x,\angle OBA=y$，
$\because AO,BO$分别平分$\angle CAB,\angle CBA$，
$\therefore \angle CAB=2x,\angle CBA=2y$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-x-y$，
$\angle C=180^{\circ}-2x-2y$
$=2(90^{\circ}-x-y)$.
$\because OD\perp OA$，
$\therefore \angle AOD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOD=\angle AOB-90^{\circ}$
$=90^{\circ}-x-y$，
$\therefore \angle C=2\angle BOD$.
