8. 南京某公园要栽 120 棵柳树。上午栽了总棵数的$$ \frac { 3 } { 8 } $$,下午栽了一些后,已栽的棵数与剩下的棵数的比是$$ 5 : 7 $$。下午栽了多少棵柳树？

$120×\left(\frac{5}{5 + 7}-\frac{3}{8}\right)=5$（棵）解析：此题是有关分数和比的实际问题，关键是先将有关比的条件转化成有关分数的条件，再解答。

解：已栽的棵数占总棵数的比例为：$\frac{5}{5 + 7} = \frac{5}{12}$
下午栽的棵数占总棵数的比例为：$\frac{5}{12} - \frac{3}{8}$
下午栽的柳树棵数为：$120×(\frac{5}{12} - \frac{3}{8})$
$=120×(\frac{10}{24} - \frac{9}{24})$
$=120×\frac{1}{24}$
$=5$（棵）
答：下午栽了5棵柳树。

9. 一批货物按$$ 5 : 7 $$分给甲、乙两个车队运输。乙车队运输了 840 吨,正好完成本队任务的$$ \frac { 4 } { 5 } $$,后因另有任务调走,剩下的由甲车队全部运输完。甲车队实际运输了多少吨？

$840÷\left(\frac{7}{7 + 5}×\frac{4}{5}\right)-840=960$（吨）解析：计划按$5:7$分给甲、乙两个车队，即计划乙车队运输全部的$\frac{7}{7 + 5}=\frac{7}{12}$，实际乙车队运输了全部的$\frac{7}{12}×\frac{4}{5}=\frac{7}{15}$。根据分数除法的意义，全部货物共有$840÷\frac{7}{15}=1800$（吨），则甲车队实际运输了$1800 - 840 = 960$（吨）。

解：乙车队的任务量为：$840÷\frac{4}{5}=1050$（吨）
货物总量为：$1050÷\frac{7}{5 + 7}=1800$（吨）
甲车队实际运输量为：$1800 - 840 = 960$（吨）
答：甲车队实际运输了960吨。

10. (算法探究)计算下面各题。
(1) $$ 3 1 \frac { 1 } { 3 } × \frac { 3 } { 4 } $思路提示：两个数相乘,如果想要简便计算,那么可观察数的特点,先将其中一个数改写成两个数的和(差),再运用乘法分配律进行简便计算。(2) $$ 2 7 × \frac { 1 3 6 } { 1 3 7 } + 1 3 6 × \frac { 2 0 } { 1 3 7 } + 1 8 0 × \frac { 6 8 } { 1 3 7 } $
思路提示：可以尝试从加号两边的乘法算式中找出相同的因数。

$（1）\begin{aligned}&31\frac{1}{3}×\frac{3}{4}\\=&\left(30+\frac{4}{3}\right)×\frac{3}{4}\\=&30×\frac{3}{4}+\frac{4}{3}×\frac{3}{4}\\=&\frac{45}{2}+1\\=&\frac{47}{2}\end{aligned}$解析：观察数的特点，合理拆分。$（2）\begin{aligned}&27×\frac{136}{137}+136×\frac{20}{137}+180×\frac{68}{137}\\=&27×\frac{136}{137}+20×\frac{136}{137}+90×\frac{136}{137}\\=&\frac{136}{137}×(27 + 20 + 90)\\=&\frac{136}{137}×137\\=&136\end{aligned}$

11. (五育并举)操场上有 30 名学生在跑步,其中男生人数占$$ \frac { 2 } { 5 } $$,后来又有几名男生加入,这时男生人数占总人数的$$ \frac { 1 } { 2 } $$。后来又加入了几名男生？
思路提示：男生人数在增加,总人数也发生变化,女生人数也在变化吗？

$30×\left(1-\frac{2}{5}\right)÷\left(1-\frac{1}{2}\right)-30=6$（名）解析：抓住不变量“女生人数”，求出男生人数增加后跑步的总人数，再减去原来跑步的人数就得到加入的男生人数。

解：女生人数：$30×\left(1-\frac{2}{5}\right)=18$（名）
加入男生后总人数：$18÷\left(1-\frac{1}{2}\right)=36$（名）
加入男生人数：$36-30=6$（名）
答：后来又加入了6名男生。

12. (思维过程)一堆糖果中有奶糖和水果糖,其中奶糖占$$ \frac { 3 } { 2 0 } $$,吃掉 24 块水果糖后,奶糖就占总块数的$$ \frac { 1 } { 4 } $$。这堆糖果原来一共有多少块？
思路提示：两个分数对应的单位“1”是不同的,而奶糖没有变化。根据奶糖不变求出原来一共有多少块糖果。

$24÷\left(\frac{20 - 3}{3}-\frac{4 - 1}{1}\right)÷\frac{3}{20}=60$（块）解析：原来奶糖占$\frac{3}{20}$，则水果糖是奶糖的$\frac{20 - 3}{3}=\frac{17}{3}$，吃掉$24$块水果糖后，奶糖占$\frac{1}{4}$，此时水果糖是奶糖的$\frac{4 - 1}{1}=3$倍，由此可得奶糖有$24÷\left(\frac{17}{3}-3\right)=9$（块）。所以这堆糖果原来一共有$9÷\frac{3}{20}=60$（块）。

解：设这堆糖果原来一共有$x$块，奶糖有$\frac{3}{20}x$块。
原来水果糖是奶糖的$\frac{20 - 3}{3}=\frac{17}{3}$倍，吃掉24块水果糖后，水果糖是奶糖的$\frac{4 - 1}{1}=3$倍。
奶糖数量为：$24÷(\frac{17}{3}-3)=24÷\frac{8}{3}=9$（块）
原来糖果总数：$9÷\frac{3}{20}=60$（块）
答：这堆糖果原来一共有60块。