4. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形,$ AB // CD $,$ CD ⊥ BC $ 于 C,且 AB,BC,CD 边长分别为 2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是______.

$10$或$4\sqrt{5}$

5. 勾股定理中的 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ 本身就是一个关于 a,b,c 的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:$ (3,4,5) $,$ (5,12,13) $,$ (7,24,25) $,…分析上面勾股数组可以发现,$ 4 = 1 × (3 + 1) $,$ 12 = 2 × (5 + 1) $,$ 24 = 3 × (7 + 1) $,…,利用此规律,第 5 个勾股数组为______.

$(11,60,61)$

6. 若一个三角形的三边之比为 $ 5:12:13 $,且周长为 60 cm,则它的面积为______.

$120cm^{2}$

1. 如图所示是一块地,已知 $ AD = 8 m $,$ CD = 6 m $,$ ∠D = 90^{\circ} $,$ AB = 26 m $,$ BC = 24 m $. 求这块地的面积.

这块地的面积是$96m^{2}$。

2. 我们知道,像 3,4,5 这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数. 古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式为:如果 m 表示大于 1 的整数,$ a = 2m $,$ b = m^{2} + 1 $,$ c = m^{2} - 1 $,则 a,b,c 为勾股数.
利用柏拉图公式构造出的勾股数,斜边和其中一直角边的差为 2,特别地,当 m 为大于 2 的整数时,可以构造出最短边的长度为偶数的勾股数.
(1)请你证明柏拉图公式的正确性.
(2)请你利用柏拉图公式,写出两组勾股数(数据从小到大排列):
第一组:8,______,______;
第二组:______,______,37.

1. （1）证明过程如上述解析，可证柏拉图公式正确。
2. （2）第一组：8，15，17；第二组：12，35，37。