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14. 某工厂制作了融合粤港澳元素的合金纪念徽章. 为确保质量, 工厂从制作批次中抽取25枚样品, 检测每枚样品质量与标准质量的差值(超过记正、不足记负), 记录如下表.
(1)25枚样品中, 质量最大的一枚比质量最小的一枚多
(2)与标准质量相比, 25枚样品总计超过或不足的质量为多少克?
(3)每枚纪念徽章制作成本是15元, 包装成本是5元. 工厂以单价30元的价格批发给经销商500枚, 若全部售罄, 且工厂需为总计超出标准的重量承担额外成本, 每超出1g增加2元成本. 求工厂获得的总利润(总利润=总批发价-总基础成本-额外成本).
(1)25枚样品中, 质量最大的一枚比质量最小的一枚多
4
g.(2)与标准质量相比, 25枚样品总计超过或不足的质量为多少克?
(3)每枚纪念徽章制作成本是15元, 包装成本是5元. 工厂以单价30元的价格批发给经销商500枚, 若全部售罄, 且工厂需为总计超出标准的重量承担额外成本, 每超出1g增加2元成本. 求工厂获得的总利润(总利润=总批发价-总基础成本-额外成本).
答案
14. (1) 4 (2) 超过的质量为2 g (3) 工厂获得的总利润为4 920元
解析
【分析】
(1) 求解质量最大与最小的徽章质量差，首先从表格中找出与标准质量的最大差值、最小差值，用最大差值减去最小差值即可得到结果。
(2) 求解25枚样品总计超过或不足的质量，只需将每类差值乘以对应枚数，再将所有乘积求和，根据结果的正负判断是超过还是不足。
(3) 求解总利润，先分别计算总批发价、总基础成本，再根据25枚样品的总超出质量推算500枚的总超出质量，进而算出额外成本，最后代入总利润公式计算即可。
【解析】
(1) 质量最大的徽章与标准质量的差值为2g，质量最小的徽章与标准质量的差值为-2g，二者相差：$2 - (-2) = 4\ \mathrm{g}$。
(2) 计算25枚样品的总差值：
$\begin{aligned}&(-2)×3 + (-1)×4 + 0×9 + 1×6 + 2×3\\=&-6 -4 + 0 +6 +6\\=&2\ \mathrm{g}\end{aligned}$
结果为正，说明总计超过标准质量2g。
(3) 分步计算各部分量：
① 总批发价：$500×30 = 15000\ \mathrm{元}$
② 每枚基础成本：$15+5=20\ \mathrm{元}$，总基础成本：$500×20=10000\ \mathrm{元}$
③ 500枚徽章总计超出标准的质量：$\frac{500}{25}×2=40\ \mathrm{g}$，额外成本：$40×2=80\ \mathrm{元}$
④ 总利润：$15000 - 10000 - 80 = 4920\ \mathrm{元}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) 超过的质量为$\boxed{2\ \mathrm{g}}$
(3) 工厂获得的总利润为$\boxed{4920}$元
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，利润问题计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查有理数的相关运算，解题核心是理解正负数的实际意义，理清各数量之间的关系，计算时需注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求解质量最大与最小的徽章质量差，首先从表格中找出与标准质量的最大差值、最小差值，用最大差值减去最小差值即可得到结果。
(2) 求解25枚样品总计超过或不足的质量，只需将每类差值乘以对应枚数，再将所有乘积求和，根据结果的正负判断是超过还是不足。
(3) 求解总利润，先分别计算总批发价、总基础成本，再根据25枚样品的总超出质量推算500枚的总超出质量，进而算出额外成本，最后代入总利润公式计算即可。
【解析】
(1) 质量最大的徽章与标准质量的差值为2g，质量最小的徽章与标准质量的差值为-2g，二者相差：$2 - (-2) = 4\ \mathrm{g}$。
(2) 计算25枚样品的总差值：
$\begin{aligned}&(-2)×3 + (-1)×4 + 0×9 + 1×6 + 2×3\\=&-6 -4 + 0 +6 +6\\=&2\ \mathrm{g}\end{aligned}$
结果为正，说明总计超过标准质量2g。
(3) 分步计算各部分量：
① 总批发价：$500×30 = 15000\ \mathrm{元}$
② 每枚基础成本：$15+5=20\ \mathrm{元}$，总基础成本：$500×20=10000\ \mathrm{元}$
③ 500枚徽章总计超出标准的质量：$\frac{500}{25}×2=40\ \mathrm{g}$，额外成本：$40×2=80\ \mathrm{元}$
④ 总利润：$15000 - 10000 - 80 = 4920\ \mathrm{元}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) 超过的质量为$\boxed{2\ \mathrm{g}}$
(3) 工厂获得的总利润为$\boxed{4920}$元
【知识点】
正负数的实际应用，有理数混合运算，利润问题计算
【点评】
本题结合实际生产场景考查有理数的相关运算，解题核心是理解正负数的实际意义，理清各数量之间的关系，计算时需注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
15. 已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10. 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t s(t＞0).
(1)数轴上点B表示的数是
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动. 若点P，Q同时出发，求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
(1)数轴上点B表示的数是
-4
；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是1
.(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动. 若点P，Q同时出发，求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
答案
15. (1) -4 1 (2) ①当点P运动2.5 s时，点P追上点Q。②当点P运动0.5 s或4.5 s时，点P与点Q间的距离为8个单位长度。
解析
【分析】
(1) 已知点A表示的数为6，B在原点左侧且A、B距离为10，说明B对应的数比6小10，直接作差即可求得B的数；AB中点对应的数是A、B两数的平均值，代入计算即可。
(2) ①追及问题中，P追上Q时，P比Q多走的路程就是初始时A、B的距离10，根据“路程=速度×时间”分别表示两者的运动路程，利用路程差列方程求解即可。②P、Q距离为8个单位时需分两种情况讨论：一是P还未追上Q时相距8，二是P追上Q后超过Q8个单位，分别根据两种情况的路程关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 因为点A表示的数为6，A、B两点距离为10，且B在原点左侧，所以点B表示的数为$6-10=-4$；
AB中点表示的数为$\frac{6+(-4)}{2}=1$。
(2) ①设点P运动$t$ s时追上点Q。
P运动的路程为$6t$，Q运动的路程为$2t$，P追上Q时比Q多走10个单位长度，列方程：
$6t-2t=10$
解得$t=2.5$。
②设点P运动$t$ s时，P、Q间距离为8个单位长度，分两种情况：
情况1：P未追上Q，此时$2t+10-6t=8$，解得$t=0.5$；
情况2：P追上Q后超过Q8个单位，此时$6t-(2t+10)=8$，解得$t=4.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{1}$
(2) ①$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{s}}$；②$\boldsymbol{0.5\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{4.5\ \mathrm{s}}$
【知识点】
数轴应用，一元一次方程，行程问题
【点评】
本题结合数轴考查行程类问题的求解，解题时要理清运动过程，注意两点距离为固定值时存在“未追上”和“超过”两种情况，避免漏解，熟练运用路程、速度、时间的关系列方程是解题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 已知点A表示的数为6，B在原点左侧且A、B距离为10，说明B对应的数比6小10，直接作差即可求得B的数；AB中点对应的数是A、B两数的平均值，代入计算即可。
(2) ①追及问题中，P追上Q时，P比Q多走的路程就是初始时A、B的距离10，根据“路程=速度×时间”分别表示两者的运动路程，利用路程差列方程求解即可。②P、Q距离为8个单位时需分两种情况讨论：一是P还未追上Q时相距8，二是P追上Q后超过Q8个单位，分别根据两种情况的路程关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 因为点A表示的数为6，A、B两点距离为10，且B在原点左侧，所以点B表示的数为$6-10=-4$；
AB中点表示的数为$\frac{6+(-4)}{2}=1$。
(2) ①设点P运动$t$ s时追上点Q。
P运动的路程为$6t$，Q运动的路程为$2t$，P追上Q时比Q多走10个单位长度，列方程：
$6t-2t=10$
解得$t=2.5$。
②设点P运动$t$ s时，P、Q间距离为8个单位长度，分两种情况：
情况1：P未追上Q，此时$2t+10-6t=8$，解得$t=0.5$；
情况2：P追上Q后超过Q8个单位，此时$6t-(2t+10)=8$，解得$t=4.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{1}$
(2) ①$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{s}}$；②$\boldsymbol{0.5\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{4.5\ \mathrm{s}}$
【知识点】
数轴应用，一元一次方程，行程问题
【点评】
本题结合数轴考查行程类问题的求解，解题时要理清运动过程，注意两点距离为固定值时存在“未追上”和“超过”两种情况，避免漏解，熟练运用路程、速度、时间的关系列方程是解题的核心。
【难度系数】
0.6
