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2. 在月历中，一个竖列中4个相邻日期的和是62，且本月的第一天恰好为星期六，那么这4天都是星期几？
答案
设最小的日期为x，依题意得$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=62$，解得$x=5$。所以这4个日期中最小的是5号。因为本月的第一天恰好为星期六，所以这4天都是星期三。
解析
【分析】
解题时首先回忆月历的数字规律：同一竖列中相邻两个日期相差7天。我们可以设竖列中最小的日期为x，那么其余三个日期就可以分别表示为x+7、x+14、x+21，再根据4个日期的和是62列出一元一次方程，求出最小日期的号数；最后结合本月1日是星期六的条件，推算出该日期对应的星期，由于同一竖列的日期相差7天（即星期的周期），因此这4天的星期数完全相同。
【解析】
解：设这4个相邻日期中最小的日期为x。
根据题意列方程得：
$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=62$
合并同类项得：$4x + 42 = 62$
移项得：$4x = 62 - 42$
计算得：$4x = 20$
系数化为1得：$x = 5$
即最小的日期是5号。
已知本月1日为星期六，推算得5号为星期三。
又因为同一竖列的日期相差7天，星期几相同，因此这4天都是星期三。
【答案】
这4天都是星期三
【知识点】
一元一次方程的应用，月历数字规律，日期星期推算
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景出题，解题的核心是抓住月历竖列相邻日期差7、星期以7天为周期的规律，通过列一元一次方程求解日期后即可推算星期，解题过程贴合生活实际，能锻炼将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆月历的数字规律：同一竖列中相邻两个日期相差7天。我们可以设竖列中最小的日期为x，那么其余三个日期就可以分别表示为x+7、x+14、x+21，再根据4个日期的和是62列出一元一次方程，求出最小日期的号数；最后结合本月1日是星期六的条件，推算出该日期对应的星期，由于同一竖列的日期相差7天（即星期的周期），因此这4天的星期数完全相同。
【解析】
解：设这4个相邻日期中最小的日期为x。
根据题意列方程得：
$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=62$
合并同类项得：$4x + 42 = 62$
移项得：$4x = 62 - 42$
计算得：$4x = 20$
系数化为1得：$x = 5$
即最小的日期是5号。
已知本月1日为星期六，推算得5号为星期三。
又因为同一竖列的日期相差7天，星期几相同，因此这4天都是星期三。
【答案】
这4天都是星期三
【知识点】
一元一次方程的应用，月历数字规律，日期星期推算
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景出题，解题的核心是抓住月历竖列相邻日期差7、星期以7天为周期的规律，通过列一元一次方程求解日期后即可推算星期，解题过程贴合生活实际，能锻炼将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数。
答案
设十位上的数字为x，则个位上的数字为$6-x$。由题意得$3[10x+(6-x)]+6=10(6-x)+x$，解得$x=1$。所以原来的两位数为15。
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；已知个位与十位数字之和为6，所以可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用两数之和减去未知数表示；接下来找到题中的等量关系：调换位置后的新数=原数×3+6，根据等量关系列方程，最后解方程求出数位上的数字，即可得到原来的两位数。
【解析】
解：设原来两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为$6-x$。
原数可表示为：$10x + (6-x)$
个位和十位调换后的新数可表示为：$10(6-x) + x$
根据“新数比原数的三倍多6”列方程得：
$3[10x+(6-x)] + 6 = 10(6-x) + x$
先化简方程左边：$3(9x+6)+6 = 27x + 18 + 6 = 27x + 24$
化简方程右边：$60 - 10x + x = 60 - 9x$
移项得：$27x + 9x = 60 - 24$
合并同类项得：$36x = 36$
系数化为1得：$x = 1$
则个位上的数字为$6 - 1 = 5$，所以原来的两位数是15。
【答案】
15
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题的核心是正确掌握两位数的表示方法，准确梳理题目中的等量关系建立方程，计算过程中要注意去括号、移项的运算规则，避免因运算失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；已知个位与十位数字之和为6，所以可以设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用两数之和减去未知数表示；接下来找到题中的等量关系：调换位置后的新数=原数×3+6，根据等量关系列方程，最后解方程求出数位上的数字，即可得到原来的两位数。
【解析】
解：设原来两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为$6-x$。
原数可表示为：$10x + (6-x)$
个位和十位调换后的新数可表示为：$10(6-x) + x$
根据“新数比原数的三倍多6”列方程得：
$3[10x+(6-x)] + 6 = 10(6-x) + x$
先化简方程左边：$3(9x+6)+6 = 27x + 18 + 6 = 27x + 24$
化简方程右边：$60 - 10x + x = 60 - 9x$
移项得：$27x + 9x = 60 - 24$
合并同类项得：$36x = 36$
系数化为1得：$x = 1$
则个位上的数字为$6 - 1 = 5$，所以原来的两位数是15。
【答案】
15
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题的核心是正确掌握两位数的表示方法，准确梳理题目中的等量关系建立方程，计算过程中要注意去括号、移项的运算规则，避免因运算失误丢分。
【难度系数】
0.7
4. 某班学生秋季研学，队伍从学校出发，以每小时4 km的速度前进. 走了1 km时，王老师要回学校取一件遗忘的物品，他以每小时5 km的速度回校，取了物品后又以同样的速度追赶队伍，结果在距研学地点1 km的地方追上了队伍. 求学校到研学地点的路程.
答案
设学校到研学地点的路程为x km，得$\frac{x}{5}=\frac{x-2}{4}$，解得$x=10$。所以学校到研学地点的路程为10 km。
解析
【分析】
这是行程类追及问题，解题核心是找到王老师从离开队伍到追上队伍的时间，与队伍在这段时间内的行进时间相等的等量关系。思考步骤如下：①先设学校到研学地点的总路程为x km；②明确王老师的行进路程：他离开队伍后先返回1km到学校，再从学校追到距离研学点1km的位置，总路程为1 + (x-1) = x km，所用时间为路程除以速度，即$\frac{x}{5}$小时；③明确队伍在王老师离开后的行进路程：王老师离开时队伍已经走了1km，被追上时队伍总共走了(x-1)km，因此这段时间队伍走了$(x-1)-1=x-2$km，所用时间为$\frac{x-2}{4}$小时；④根据两个时间相等即可列出方程求解。
【解析】
解：设学校到研学地点的路程为$x$ km。
根据王老师离开队伍到追上队伍的时间与队伍这段时间的行进时间相等，列方程：
$\frac{x}{5}=\frac{x-2}{4}$
去分母，两边同时乘以20得：
$4x=5(x-2)$
去括号得：
$4x=5x-10$
移项、合并同类项得：
$-x=-10$
系数化为1得：
$x=10$
经检验，$x=10$符合实际题意。
【答案】
10 km
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；去分母解方程
【点评】
本题属于行程问题的常见题型，解题的关键是准确梳理两个运动主体的行进路程，找到追及过程中时间相等的核心等量关系，计算路程时不要遗漏王老师返回学校的路段，避免出现路程计算错误。
【难度系数】
0.6
这是行程类追及问题，解题核心是找到王老师从离开队伍到追上队伍的时间，与队伍在这段时间内的行进时间相等的等量关系。思考步骤如下：①先设学校到研学地点的总路程为x km；②明确王老师的行进路程：他离开队伍后先返回1km到学校，再从学校追到距离研学点1km的位置，总路程为1 + (x-1) = x km，所用时间为路程除以速度，即$\frac{x}{5}$小时；③明确队伍在王老师离开后的行进路程：王老师离开时队伍已经走了1km，被追上时队伍总共走了(x-1)km，因此这段时间队伍走了$(x-1)-1=x-2$km，所用时间为$\frac{x-2}{4}$小时；④根据两个时间相等即可列出方程求解。
【解析】
解：设学校到研学地点的路程为$x$ km。
根据王老师离开队伍到追上队伍的时间与队伍这段时间的行进时间相等，列方程：
$\frac{x}{5}=\frac{x-2}{4}$
去分母，两边同时乘以20得：
$4x=5(x-2)$
去括号得：
$4x=5x-10$
移项、合并同类项得：
$-x=-10$
系数化为1得：
$x=10$
经检验，$x=10$符合实际题意。
【答案】
10 km
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；去分母解方程
【点评】
本题属于行程问题的常见题型，解题的关键是准确梳理两个运动主体的行进路程，找到追及过程中时间相等的核心等量关系，计算路程时不要遗漏王老师返回学校的路段，避免出现路程计算错误。
【难度系数】
0.6
1. 已知$a$，$b$为任意有理数. 下列说法正确的有(
①关于$x$的方程$ax + b = 0$是一元一次方程；
②关于$x$的方程$ax = ab$的解为$x = b$；
③当$a$，$b(a≠0)$互为相反数时，关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x = 1$；
④如果关于$x$的方程$(a + 3)x = 6$有解，那么$a$的取值范围是$a≠-3$.
A.③④
B.①②④
C.②③
D.①②③
A
).①关于$x$的方程$ax + b = 0$是一元一次方程；
②关于$x$的方程$ax = ab$的解为$x = b$；
③当$a$，$b(a≠0)$互为相反数时，关于$x$的方程$ax + b = 0$的解是$x = 1$；
④如果关于$x$的方程$(a + 3)x = 6$有解，那么$a$的取值范围是$a≠-3$.
A.③④
B.①②④
C.②③
D.①②③
答案
1. A
解析
【分析】
解题时需逐一判断4个说法的正误，核心要牢记一元一次方程的定义，处理含字母系数的方程时，首先要考虑未知数的系数是否为0的特殊情况，再判断方程的类型和解的情况，逐个验证即可得出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 一元一次方程要求未知数的系数不为0，当$a=0$时，方程$ax+b=0$变为$b=0$，不含未知数$x$，不是一元一次方程，故①错误；
② 当$a=0$时，方程$ax=ab$变为$0=0$，此时解为全体有理数，不是只有$x=b$，故②错误；
③ 已知$a≠0$，且$a$、$b$互为相反数，则$b=-a$，代入方程$ax+b=0$得$ax -a=0$，两边同时除以不为0的$a$，解得$x=1$，故③正确；
④ 方程$(a+3)x=6$有解，则未知数的系数不能为0，即$a+3≠0$，解得$a≠-3$，故④正确。
综上，正确的是③④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；含参一元一次方程求解；方程有解的条件
【点评】
本题重点考查含参数的一元一次方程的概念与解的判断，易错点是容易忽略参数为0的特殊情况，解题时注意对未知数的系数进行分类讨论即可避免出错。
【难度系数】
0.6
解题时需逐一判断4个说法的正误，核心要牢记一元一次方程的定义，处理含字母系数的方程时，首先要考虑未知数的系数是否为0的特殊情况，再判断方程的类型和解的情况，逐个验证即可得出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 一元一次方程要求未知数的系数不为0，当$a=0$时，方程$ax+b=0$变为$b=0$，不含未知数$x$，不是一元一次方程，故①错误；
② 当$a=0$时，方程$ax=ab$变为$0=0$，此时解为全体有理数，不是只有$x=b$，故②错误；
③ 已知$a≠0$，且$a$、$b$互为相反数，则$b=-a$，代入方程$ax+b=0$得$ax -a=0$，两边同时除以不为0的$a$，解得$x=1$，故③正确；
④ 方程$(a+3)x=6$有解，则未知数的系数不能为0，即$a+3≠0$，解得$a≠-3$，故④正确。
综上，正确的是③④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；含参一元一次方程求解；方程有解的条件
【点评】
本题重点考查含参数的一元一次方程的概念与解的判断，易错点是容易忽略参数为0的特殊情况，解题时注意对未知数的系数进行分类讨论即可避免出错。
【难度系数】
0.6
2. 在梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$中，已知$S=20$，$b=8$，$h=4$，则$a=$
2
。答案
2. 2
解析
【分析】
本题要求梯形的上底a，解题思路是先将已知的S、b、h的数值代入梯形面积公式，得到关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步求解即可得到a的值。
【解析】
把$S=20$，$b=8$，$h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$20=\frac{1}{2}×(a+8)×4$
先计算等号右侧的$\frac{1}{2}×4=2$，方程化简为：
$20=2(a+8)$
方程两边同时除以2，得：
$10=a+8$
移项计算得：
$a=10-8=2$
【答案】
2
【知识点】
梯形面积公式；一元一次方程的解法；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对公式的灵活运用能力和一元一次方程的基础计算能力，掌握代入法及解一元一次方程的基本步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.85
本题要求梯形的上底a，解题思路是先将已知的S、b、h的数值代入梯形面积公式，得到关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步求解即可得到a的值。
【解析】
把$S=20$，$b=8$，$h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$20=\frac{1}{2}×(a+8)×4$
先计算等号右侧的$\frac{1}{2}×4=2$，方程化简为：
$20=2(a+8)$
方程两边同时除以2，得：
$10=a+8$
移项计算得：
$a=10-8=2$
【答案】
2
【知识点】
梯形面积公式；一元一次方程的解法；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对公式的灵活运用能力和一元一次方程的基础计算能力，掌握代入法及解一元一次方程的基本步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.85
3. 设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，则满足等式$\begin{vmatrix}\frac{x}{2}&\frac{x+1}{3}\\2&-1\end{vmatrix}=1$的x的值为 ______ 。
答案
$-\frac{10}{7}$
解析
【分析】
首先理解题目给出的新行列式运算规则：二阶行列式的值等于主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积，即$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。接下来将等式左边行列式中对应的元素$a=\frac{x}{2}$、$b=\frac{x+1}{3}$、$c=2$、$d=-1$代入运算规则，就能得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的规定可得：
$\frac{x}{2}×(-1) - \frac{x+1}{3}×2 = 1$
整理方程得：
$-\frac{x}{2} - \frac{2(x+1)}{3} = 1$
去分母，两边同时乘以6得：
$-3x - 4(x+1) = 6$
去括号得：
$-3x -4x -4 = 6$
移项得：
$-3x -4x = 6 + 4$
合并同类项得：
$-7x = 10$
系数化为1得：
$x = -\frac{10}{7}$
【答案】
$-\frac{10}{7}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 解一元一次方程
【点评】
本题主要考查对新定义运算的理解与应用，结合一元一次方程的求解，解题核心是准确根据新运算规则列出方程，计算过程中要注意符号变化，避免去分母、去括号时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
首先理解题目给出的新行列式运算规则：二阶行列式的值等于主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积，即$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。接下来将等式左边行列式中对应的元素$a=\frac{x}{2}$、$b=\frac{x+1}{3}$、$c=2$、$d=-1$代入运算规则，就能得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的规定可得：
$\frac{x}{2}×(-1) - \frac{x+1}{3}×2 = 1$
整理方程得：
$-\frac{x}{2} - \frac{2(x+1)}{3} = 1$
去分母，两边同时乘以6得：
$-3x - 4(x+1) = 6$
去括号得：
$-3x -4x -4 = 6$
移项得：
$-3x -4x = 6 + 4$
合并同类项得：
$-7x = 10$
系数化为1得：
$x = -\frac{10}{7}$
【答案】
$-\frac{10}{7}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 解一元一次方程
【点评】
本题主要考查对新定义运算的理解与应用，结合一元一次方程的求解，解题核心是准确根据新运算规则列出方程，计算过程中要注意符号变化，避免去分母、去括号时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
