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1. 如图，在边长为1的正方形网格中，“x状”图案（阴影部分）是由半径分别为1和2，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是
$4π-8$
。答案
1. $4π-8$
解析
【分析】
计算不规则阴影面积通常采用割补法，将不规则图形转化为规则图形的和差求解。观察本题阴影，可拆分为4个完全相同的弓形，单个弓形由半径为2的四分之一圆减去直角边为2的等腰直角三角形得到，先计算单个弓形面积，再乘4即可得到总面积。
【解析】
解：由题意可知每个小方格边长为1，阴影部分由4个完全相同的弓形组成。
单个弓形对应的半径为2的四分之一圆面积：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
单个弓形对应的直角边长为2的等腰直角三角形面积：
$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}×2×2=2$
单个弓形面积：$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}}-S_{\mathrm{三角形}}=π-2$
阴影部分总面积：$S_{\mathrm{阴影}}=4×(π-2)=4π-8$
【答案】
$4π-8$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，组合图形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算，核心是将未知的不规则阴影转化为已知的扇形、三角形等规则图形的和差，熟练掌握常见规则图形的面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.65
计算不规则阴影面积通常采用割补法，将不规则图形转化为规则图形的和差求解。观察本题阴影，可拆分为4个完全相同的弓形，单个弓形由半径为2的四分之一圆减去直角边为2的等腰直角三角形得到，先计算单个弓形面积，再乘4即可得到总面积。
【解析】
解：由题意可知每个小方格边长为1，阴影部分由4个完全相同的弓形组成。
单个弓形对应的半径为2的四分之一圆面积：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
单个弓形对应的直角边长为2的等腰直角三角形面积：
$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}×2×2=2$
单个弓形面积：$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}}-S_{\mathrm{三角形}}=π-2$
阴影部分总面积：$S_{\mathrm{阴影}}=4×(π-2)=4π-8$
【答案】
$4π-8$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，组合图形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算，核心是将未知的不规则阴影转化为已知的扇形、三角形等规则图形的和差，熟练掌握常见规则图形的面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.65
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，$OA=1$. 将OA绕点O顺时针旋转$45°$到$OA_1$，扫过的面积记为$S_1$，$A_1A_2⊥ OA_1$交x轴于点$A_2$；将$OA_2$绕点O顺时针旋转$45°$到$OA_3$，扫过的面积记为$S_2$，$A_3A_4⊥ OA_3$交y轴于点$A_4$；将$OA_4$绕点O顺时针旋转$45°$到$OA_5$，扫过的面积记为$S_3$……按此规律，则$S_{2028}=$
$2^{2024}π$
.答案
2. $2^{2024}π$
解析
【分析】
这是一道结合扇形面积计算的规律探究题，解题思路如下：1. 先根据等腰直角三角形的性质推导每次旋转对应的半径变化规律；2. 结合扇形面积公式推导第$n$个面积$S_n$的通用表达式；3. 将$n=2028$代入表达式计算即可得到结果。解题核心是先明确每次扇形的圆心角恒为$45°$，再找半径的递推规律。
【解析】
1. 推导半径变化规律：
已知初始$OA=1$，每次旋转的圆心角为$45°$，旋转前后线段长度不变，即$OA_1=OA=1$。
因为$A_1A_2⊥ OA_1$，$∠ A_1OA_2=45°$，所以$△ OA_1A_2$是等腰直角三角形，可得$OA_2=\sqrt{2}· OA_1=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$。
同理可得：$OA_4=(\sqrt{2})^2$，$OA_6=(\sqrt{2})^3$，以此类推，第$n$个扇形$S_n$对应的半径$r_n=(\sqrt{2})^{n-1}$。
2. 推导$S_n$的通用表达式：
扇形面积公式为$S=\frac{θπ r^2}{360}$，其中圆心角$θ=45°$，代入半径得：
$\begin{aligned}S_n&=\frac{45π · [(\sqrt{2})^{n-1}]^2}{360}\\&=\frac{45π · 2^{n-1}}{360}\\&=2^{n-4}π\end{aligned}$
3. 计算$S_{2028}$：
将$n=2028$代入表达式得：$S_{2028}=2^{2028-4}π=2^{2024}π$
【答案】
$2^{2024}π$
【知识点】
扇形面积计算，规律探究，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于规律类常考题型，既考查了扇形面积公式的应用，也考查了归纳递推的能力，解题的关键是准确找到扇形半径的变化规律，再代入公式化简即可。
【难度系数】
0.3
这是一道结合扇形面积计算的规律探究题，解题思路如下：1. 先根据等腰直角三角形的性质推导每次旋转对应的半径变化规律；2. 结合扇形面积公式推导第$n$个面积$S_n$的通用表达式；3. 将$n=2028$代入表达式计算即可得到结果。解题核心是先明确每次扇形的圆心角恒为$45°$，再找半径的递推规律。
【解析】
1. 推导半径变化规律：
已知初始$OA=1$，每次旋转的圆心角为$45°$，旋转前后线段长度不变，即$OA_1=OA=1$。
因为$A_1A_2⊥ OA_1$，$∠ A_1OA_2=45°$，所以$△ OA_1A_2$是等腰直角三角形，可得$OA_2=\sqrt{2}· OA_1=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$。
同理可得：$OA_4=(\sqrt{2})^2$，$OA_6=(\sqrt{2})^3$，以此类推，第$n$个扇形$S_n$对应的半径$r_n=(\sqrt{2})^{n-1}$。
2. 推导$S_n$的通用表达式：
扇形面积公式为$S=\frac{θπ r^2}{360}$，其中圆心角$θ=45°$，代入半径得：
$\begin{aligned}S_n&=\frac{45π · [(\sqrt{2})^{n-1}]^2}{360}\\&=\frac{45π · 2^{n-1}}{360}\\&=2^{n-4}π\end{aligned}$
3. 计算$S_{2028}$：
将$n=2028$代入表达式得：$S_{2028}=2^{2028-4}π=2^{2024}π$
【答案】
$2^{2024}π$
【知识点】
扇形面积计算，规律探究，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于规律类常考题型，既考查了扇形面积公式的应用，也考查了归纳递推的能力，解题的关键是准确找到扇形半径的变化规律，再代入公式化简即可。
【难度系数】
0.3
3. 如图，在边长为$2\sqrt{3}$的菱形$ABCD$中，$∠ C=60°$，点$E$，$F$分别是$AB$，$AD$上的动点，且$AE=DF$，$DE$与$BF$交于点$P$。当点$E$从点$A$运动到点$B$时，点$P$的运动路径长为
$\frac{4}{3}π$
。答案
3. $\frac{4}{3}π$
解析
【分析】
解题时首先从菱形的性质入手，结合已知60°角推出△ABD是等边三角形，再通过AE=DF的条件证明△ADE和△DBF全等，推导得到∠BPD为固定值120°，由此确定点P的运动轨迹是一段圆弧；接下来求出该圆弧对应的外接圆半径和圆心角，最后代入弧长公式即可算出路径长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为$2\sqrt{3}$，$∠ C=60°$
∴$AB=AD=BD=2\sqrt{3}$，$∠ A=∠ BDF=∠ ADB=60°$，即$△ ABD$为等边三角形。
在$△ ADE$和$△ DBF$中：
$\{\begin{array}{l}AD=DB\\ ∠ A=∠ BDF\\ AE=DF\end{array} $
∴$△ ADE≌△ DBF$（SAS）
∴$∠ ADE=∠ DBF$
∴$∠ DBF+∠ PDB=∠ ADE+∠ PDB=∠ ADB=60°$
∴$∠ BPD=180°-(∠ DBF+∠ PDB)=120°$
即点P运动过程中$∠ BPD$恒为120°，点P的运动轨迹为等边$△ ABD$外接圆上的劣弧$BD$。
等边$△ ABD$的外接圆半径$R=\frac{边长}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$，劣弧$BD$对应的圆心角为120°。
由弧长公式得路径长：
$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×2}{180}=\frac{4}{3}π$
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是典型的动点轨迹问题，核心难点是确定动点的运动轨迹为圆弧，解题时需要通过全等推导定角，结合定弦判断轨迹，再结合弧长公式求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时首先从菱形的性质入手，结合已知60°角推出△ABD是等边三角形，再通过AE=DF的条件证明△ADE和△DBF全等，推导得到∠BPD为固定值120°，由此确定点P的运动轨迹是一段圆弧；接下来求出该圆弧对应的外接圆半径和圆心角，最后代入弧长公式即可算出路径长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为$2\sqrt{3}$，$∠ C=60°$
∴$AB=AD=BD=2\sqrt{3}$，$∠ A=∠ BDF=∠ ADB=60°$，即$△ ABD$为等边三角形。
在$△ ADE$和$△ DBF$中：
$\{\begin{array}{l}AD=DB\\ ∠ A=∠ BDF\\ AE=DF\end{array} $
∴$△ ADE≌△ DBF$（SAS）
∴$∠ ADE=∠ DBF$
∴$∠ DBF+∠ PDB=∠ ADE+∠ PDB=∠ ADB=60°$
∴$∠ BPD=180°-(∠ DBF+∠ PDB)=120°$
即点P运动过程中$∠ BPD$恒为120°，点P的运动轨迹为等边$△ ABD$外接圆上的劣弧$BD$。
等边$△ ABD$的外接圆半径$R=\frac{边长}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$，劣弧$BD$对应的圆心角为120°。
由弧长公式得路径长：
$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×2}{180}=\frac{4}{3}π$
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是典型的动点轨迹问题，核心难点是确定动点的运动轨迹为圆弧，解题时需要通过全等推导定角，结合定弦判断轨迹，再结合弧长公式求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚. 当点A第一次翻滚到点A₁的位置时，
(1)画出点A经过的路线；
(2)求点A经过的路线长.
(1)画出点A经过的路线；
(2)求点A经过的路线长.
答案
4. (1) 如图所示
(2) $6π$解析
【分析】
(1) 要画出点A经过的路线，需先分析矩形无滑动翻滚过程中点A的运动形式：每次翻滚时，点A的运动轨迹是绕当前接触直线l的矩形顶点为旋转中心的圆弧，需依次确定每次旋转的圆心、旋转角；(2) 求路线长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，分别计算每段圆弧的长度再求和：首先根据矩形边长得到每次旋转的半径，每次翻滚的旋转角均为90°，分别计算三段有效弧长后相加即可得到总长度。
【解析】
(1) 点A经过的路线为三段圆弧，如图所示。
(2) 在矩形ABCD中，$AB=4$，$BC=3$，因此$AD=BC=3$，对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，每次无滑动翻滚的旋转角均为$90°$：
① 第一次翻滚：以点D为旋转中心，顺时针旋转$90°$，点A的运动半径为$AD=3$，这段弧长$l_1=\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$；
② 第二次翻滚：点A落在直线l上为旋转中心，此时点A不移动；
③ 第三次翻滚：以点B的对应点为旋转中心，顺时针旋转$90°$，点A的运动半径为$AB=4$，这段弧长$l_2=\frac{90π×4}{180}=2π$；
④ 第四次翻滚：以点C的对应点为旋转中心，顺时针旋转$90°$，点A的运动半径为$AC=5$，这段弧长$l_3=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$；
因此点A经过的总路线长为$l=l_1+l_2+l_3=\frac{3π}{2}+2π+\frac{5π}{2}=6π$。
【答案】
(1) 如图所示 (2) $6π$
【知识点】
弧长的计算，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题重点考查图形旋转过程中的动点轨迹分析，解题的核心是准确判断每次旋转的旋转中心、旋转半径和旋转角度，避免漏算或错算运动的圆弧段，结合弧长公式即可完成求解。
【难度系数】
0.65
(1) 要画出点A经过的路线，需先分析矩形无滑动翻滚过程中点A的运动形式：每次翻滚时，点A的运动轨迹是绕当前接触直线l的矩形顶点为旋转中心的圆弧，需依次确定每次旋转的圆心、旋转角；(2) 求路线长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，分别计算每段圆弧的长度再求和：首先根据矩形边长得到每次旋转的半径，每次翻滚的旋转角均为90°，分别计算三段有效弧长后相加即可得到总长度。
【解析】
(1) 点A经过的路线为三段圆弧，如图所示。
(2) 在矩形ABCD中，$AB=4$，$BC=3$，因此$AD=BC=3$，对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，每次无滑动翻滚的旋转角均为$90°$：
① 第一次翻滚：以点D为旋转中心，顺时针旋转$90°$，点A的运动半径为$AD=3$，这段弧长$l_1=\frac{90π×3}{180}=\frac{3π}{2}$；
② 第二次翻滚：点A落在直线l上为旋转中心，此时点A不移动；
③ 第三次翻滚：以点B的对应点为旋转中心，顺时针旋转$90°$，点A的运动半径为$AB=4$，这段弧长$l_2=\frac{90π×4}{180}=2π$；
④ 第四次翻滚：以点C的对应点为旋转中心，顺时针旋转$90°$，点A的运动半径为$AC=5$，这段弧长$l_3=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$；
因此点A经过的总路线长为$l=l_1+l_2+l_3=\frac{3π}{2}+2π+\frac{5π}{2}=6π$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $6π$【知识点】
弧长的计算，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题重点考查图形旋转过程中的动点轨迹分析，解题的核心是准确判断每次旋转的旋转中心、旋转半径和旋转角度，避免漏算或错算运动的圆弧段，结合弧长公式即可完成求解。
【难度系数】
0.65
