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5. 如图，$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形$ABC$的外接圆，$D$是劣弧$BC$的中点，连接$BD$，$CD$. 以点$D$为圆心，$BD$的长为半径在$\odot O$内画弧，则阴影部分的面积为
$\frac{16π}{3}$
.答案
5. $\frac{16π}{3}$
解析
【分析】
求解不规则阴影面积的核心是将其转化为规则图形的面积计算：首先观察阴影部分，可发现它由靠近点O一侧的弓形BC和△BDC组成，二者拼接后恰好是圆心为D、半径为BD的扇形DBC，因此只需要求出扇形的半径BD和圆心角∠BDC的度数即可。第一步先利用等边三角形的性质，结合圆内接四边形的性质求出∠BDC的度数；第二步根据等腰三角形的性质计算BD的长度；最后代入扇形面积公式计算得到结果。
【解析】
1. 求∠BDC的度数：
已知△ABC是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形，因此$∠ A=60°$。
∵四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴$∠ A+∠ BDC=180°$，解得$∠ BDC=180°-60°=120°$。
2. 求BD的长度：
∵D是劣弧BC的中点，
∴弧BD=弧CD，因此$BD=CD$，△BDC为等腰三角形。
过D作$DE⊥ BC$于点E，根据等腰三角形三线合一，得$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BDC=60°$。
在$Rt△ BDE$中，$\sin∠ BDE=\frac{BE}{BD}$，即$\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{BD}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$BD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
3. 计算阴影面积：
阴影部分面积等于以D为圆心、BD为半径、圆心角为$120°$的扇形DBC的面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S_{阴影}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{1}{3}×16π=\frac{16π}{3}$。
【答案】
$\frac{16π}{3}$
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形性质、圆内接四边形性质
【点评】
本题结合圆和等边三角形的知识考查不规则图形面积的计算，解题关键是识别出阴影部分与扇形DBC的面积相等，无需拆分计算弓形和三角形面积，可有效减少计算量。
【难度系数】
0.6
求解不规则阴影面积的核心是将其转化为规则图形的面积计算：首先观察阴影部分，可发现它由靠近点O一侧的弓形BC和△BDC组成，二者拼接后恰好是圆心为D、半径为BD的扇形DBC，因此只需要求出扇形的半径BD和圆心角∠BDC的度数即可。第一步先利用等边三角形的性质，结合圆内接四边形的性质求出∠BDC的度数；第二步根据等腰三角形的性质计算BD的长度；最后代入扇形面积公式计算得到结果。
【解析】
1. 求∠BDC的度数：
已知△ABC是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形，因此$∠ A=60°$。
∵四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴$∠ A+∠ BDC=180°$，解得$∠ BDC=180°-60°=120°$。
2. 求BD的长度：
∵D是劣弧BC的中点，
∴弧BD=弧CD，因此$BD=CD$，△BDC为等腰三角形。
过D作$DE⊥ BC$于点E，根据等腰三角形三线合一，得$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BDC=60°$。
在$Rt△ BDE$中，$\sin∠ BDE=\frac{BE}{BD}$，即$\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{BD}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$BD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
3. 计算阴影面积：
阴影部分面积等于以D为圆心、BD为半径、圆心角为$120°$的扇形DBC的面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S_{阴影}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{1}{3}×16π=\frac{16π}{3}$。
【答案】
$\frac{16π}{3}$
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形性质、圆内接四边形性质
【点评】
本题结合圆和等边三角形的知识考查不规则图形面积的计算，解题关键是识别出阴影部分与扇形DBC的面积相等，无需拆分计算弓形和三角形面积，可有效减少计算量。
【难度系数】
0.6
6. 如图，半圆的直径AB=6，点C在半圆上，∠BAC=30°，则阴影部分的面积为
$3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$
（结果保留π）。答案
6. $3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先连接辅助线OC，先根据直径长度求出半圆半径，再结合等腰三角形性质求出圆心角∠AOC的度数，阴影部分面积等于扇形AOC的面积减去△AOC的面积，分别计算两个规则图形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
解：连接OC，
∵AB为半圆的直径，AB=6，
∴半圆半径OA=OC=3，
∵OA=OC，∠BAC=30°，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴∠AOC=180°-30°×2=120°。
先计算扇形AOC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$。
再计算△AOC的面积：
过点O作OD⊥AC于点D，在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，
∴$OD=OA·\sin30°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$AD=OA·\cos30°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$AC=2AD=3\sqrt{3}$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AC× OD=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
因此阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过添加辅助线将不规则面积转化为扇形和三角形面积的差，解题时需要熟练掌握圆心角推导、扇形及三角形面积公式，是弧长和扇形面积章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先连接辅助线OC，先根据直径长度求出半圆半径，再结合等腰三角形性质求出圆心角∠AOC的度数，阴影部分面积等于扇形AOC的面积减去△AOC的面积，分别计算两个规则图形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
解：连接OC，
∵AB为半圆的直径，AB=6，
∴半圆半径OA=OC=3，
∵OA=OC，∠BAC=30°，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴∠AOC=180°-30°×2=120°。
先计算扇形AOC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$。
再计算△AOC的面积：
过点O作OD⊥AC于点D，在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，
∴$OD=OA·\sin30°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$AD=OA·\cos30°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$AC=2AD=3\sqrt{3}$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AC× OD=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
因此阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
扇形面积计算，三角形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过添加辅助线将不规则面积转化为扇形和三角形面积的差，解题时需要熟练掌握圆心角推导、扇形及三角形面积公式，是弧长和扇形面积章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
7. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形. 如图，以边长为2 cm的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，求该“莱洛三角形”的周长(结果保留π).
答案
$2π$
解析
【分析】
要求莱洛三角形的周长，首先观察图形可知它的周长由三段等长的圆弧组成。我们先根据等边三角形的性质得到每段圆弧的圆心角度数和半径，再利用弧长公式计算单段弧长，最后乘3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为2cm的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，每段圆弧的半径$r=2\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得单段弧的长度为：$\frac{60π × 2}{180}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}$。
莱洛三角形的周长为3段弧长之和：
$C=3× \frac{2π}{3}=2π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2π$
【知识点】
弧长计算公式；等边三角形的性质；组合图形周长计算
【点评】
本题属于基础类的组合图形周长计算题，解题的核心是明确莱洛三角形的周长构成，准确找到每段弧的圆心角和半径，正确代入弧长公式计算即可，解题时需注意不要误把等边三角形的边长计入周长。
【难度系数】
0.7
要求莱洛三角形的周长，首先观察图形可知它的周长由三段等长的圆弧组成。我们先根据等边三角形的性质得到每段圆弧的圆心角度数和半径，再利用弧长公式计算单段弧长，最后乘3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为2cm的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，每段圆弧的半径$r=2\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得单段弧的长度为：$\frac{60π × 2}{180}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}$。
莱洛三角形的周长为3段弧长之和：
$C=3× \frac{2π}{3}=2π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2π$
【知识点】
弧长计算公式；等边三角形的性质；组合图形周长计算
【点评】
本题属于基础类的组合图形周长计算题，解题的核心是明确莱洛三角形的周长构成，准确找到每段弧的圆心角和半径，正确代入弧长公式计算即可，解题时需注意不要误把等边三角形的边长计入周长。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，分别以$AC$，$BC$为直径画半圆，求图中阴影部分的面积(结果保留$π$)。
答案
$\frac{5}{2}π-4$
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积求解问题，直接拆分阴影逐个计算较为复杂，可采用和差法思考：观察图形可知，两个半圆的面积之和恰好覆盖了阴影部分与直角三角形ABC的面积，因此阴影部分的面积等于两个半圆的面积之和减去直角三角形ABC的面积，只需分别计算两个半圆和直角三角形的面积，再做差即可得到结果。
【解析】
解：先计算两个半圆的面积：
① 以AC为直径的半圆半径 $r_1=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$，
面积 $S_1=\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$；
② 以BC为直径的半圆半径 $r_2=\frac{BC}{2}=\frac{2}{2}=1$，
面积 $S_2=\frac{1}{2}π r_2^2=\frac{1}{2}π×1^2=\frac{1}{2}π$；
再计算$\mathrm{Rt}△ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×2=4$；
根据图形面积关系，阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_1+S_2-S_{△ABC}=2π+\frac{1}{2}π-4=\frac{5}{2}π-4$。
【答案】
$\frac{5}{2}π-4$
【知识点】
半圆面积计算、直角三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解思路，核心是通过转化思想将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差运算，无需拆分阴影即可快速求解，是此类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
本题是不规则阴影面积求解问题，直接拆分阴影逐个计算较为复杂，可采用和差法思考：观察图形可知，两个半圆的面积之和恰好覆盖了阴影部分与直角三角形ABC的面积，因此阴影部分的面积等于两个半圆的面积之和减去直角三角形ABC的面积，只需分别计算两个半圆和直角三角形的面积，再做差即可得到结果。
【解析】
解：先计算两个半圆的面积：
① 以AC为直径的半圆半径 $r_1=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$，
面积 $S_1=\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$；
② 以BC为直径的半圆半径 $r_2=\frac{BC}{2}=\frac{2}{2}=1$，
面积 $S_2=\frac{1}{2}π r_2^2=\frac{1}{2}π×1^2=\frac{1}{2}π$；
再计算$\mathrm{Rt}△ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×2=4$；
根据图形面积关系，阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_1+S_2-S_{△ABC}=2π+\frac{1}{2}π-4=\frac{5}{2}π-4$。
【答案】
$\frac{5}{2}π-4$
【知识点】
半圆面积计算、直角三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解思路，核心是通过转化思想将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差运算，无需拆分阴影即可快速求解，是此类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
