1. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线$l$与底面半径$r$的关系是（）。

A.$l=2r$
B.$l=3r$
C.$l=r$
D.$l=\frac{3}{2}r$

1. A

【分析】
解题时首先回忆圆锥的侧面展开图的相关性质：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图的半径等于圆锥的母线长。本题中侧面展开图是半圆，我们可以先分别表示出半圆的弧长和圆锥底面周长，再利用二者相等的等量关系列式推导，即可得到母线l和底面半径r的关系。
【解析】
∵ 圆锥的侧面展开图是半圆，且该半圆的半径等于圆锥的母线长$l$
∴ 这个半圆的弧长为：$\frac{1}{2} × 2π l = π l$
又
∵ 圆锥底面圆的周长为$2π r$，且圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长
∴ 可得等式：$π l = 2π r$
两边同时除以$π$，化简得：$l = 2r$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.圆锥侧面展开图性质 2.圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题的核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一关键等量关系，掌握这个对应关系就能快速求解同类题型。
【难度系数】
0.8

2. 如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为$60°$的扇形$ABC$(阴影部分)，那么剪下的扇形$ABC$的面积为；用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径$r=$。

2. $2π$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先圆形铁皮直径为4，可得其半径为2；要剪出圆心角为60°的最大扇形，可知△ABC为等边三角形，且圆形铁皮是△ABC的外接圆。第一步用垂径定理结合三角函数求出扇形的半径AB的长度，再代入扇形面积公式计算面积；第二步根据“扇形的弧长等于围成圆锥的底面周长”这一关系列方程，即可求出圆锥底面半径r。
【解析】
1. 求扇形ABC的面积：
连接OA，过点O作OD⊥AB于点D。
∵扇形ABC的圆心角∠BAC=60°，且AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
∵圆形铁皮直径为4，
∴外接圆半径OA=2。
在Rt△OAD中，$AD=OA·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
由垂径定理得$AB=2AD=2\sqrt{3}$，即扇形的半径为$2\sqrt{3}$。
根据扇形面积公式：
$S_{扇形ABC}=\frac{nπR^2}{360}=\frac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$。
2. 求圆锥底面圆的半径r：
先计算扇形ABC的弧长：
$l_{弧BC}=\frac{nπR}{180}=\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}$。
∵扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
∴$2πr=\frac{2\sqrt{3}π}{3}$，
解得$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$2π$；$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆的计算类典型题型，综合了等边三角形性质、垂径定理、扇形相关计算和圆锥的对应关系，解题核心是准确找到扇形半径，以及扇形和圆锥之间的等量关系。
【难度系数】
0.7

3. 一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯倒置后如图所示，纸杯开口圆的直径EF的长为10 cm. 母线OE(OF)的长为10 cm. 在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2 cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm.

3. $2\sqrt{41}$

【分析】
要解决圆锥表面的最短路径问题，需将立体图形转化为平面图形求解：首先把圆锥侧面展开为扇形，利用“两点之间线段最短”，线段EA的长度就是蚂蚁爬行的最短距离。第一步先计算圆锥侧面展开图的圆心角，确定展开后点E和点A的位置关系，第二步结合已知线段长度，用勾股定理计算线段EA的长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：已知开口圆直径EF=10cm，因此底面周长$C=π d=10π\ \mathrm{cm}$，圆锥母线长$R=OE=OF=10\ \mathrm{cm}$。
2. 求侧面展开图的圆心角：设展开后扇形的圆心角为n°，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，可得公式$\frac{nπ R}{180}=C$，代入数值得：
$ \frac{nπ×10}{180}=10π $解得n=180，即圆锥侧面展开图是半径为10cm的半圆。3. 确定展开后E、A的夹角：因为E、F是底面直径的两个端点，所以底面劣弧EF的长度为$\frac{1}{2}C=5π\ \mathrm{cm}$，对应展开图中∠ EOF的度数n'满足：$ \frac{n'π×10}{180}=5π$
解得n'=90°，即∠ EOA=90°。
4. 计算OA长度：已知$FA=2\ \mathrm{cm}$，因此$OA=OF-FA=10-2=8\ \mathrm{cm}$。
5. 用勾股定理计算最短距离：在$\mathrm{Rt}△ EOA$中，
$ EA=\sqrt{OE^2+OA^2}=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}【$答案$】2\sqrt{41}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是圆锥最短路径类的典型考题，核心考查立体图形转平面图形的转化思想，解题的易错点是容易算错展开图中两点的夹角，熟练掌握圆锥展开图的弧长与底面周长的关系、结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6

4. 如图，有一种单层绒布的台灯灯罩，灯罩的下面是空的，灯罩的形状可以看作一个大圆锥裁掉上面的小圆锥得到的. 现在要制作这种灯罩，已知$\odot O_1$的直径$AB=12\ \mathrm{cm}$，$\odot O_2$的直径$CD=32\ \mathrm{cm}$，$OO_1=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(1)线段$BD$的长为$\mathrm{cm}$；
(2)求制作一个这样的台灯灯罩大约需要多少平方厘米的绒布(接缝处的布料忽略不计，$π\approx3.14$，结果保留整数).

4. (1)20[提示：在$\mathrm{Rt}△ BO_1O$中，$OB=\sqrt{OO_1^2+O_1B^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+(\dfrac{12}{2})^2}=12(\mathrm{cm})$；在$\mathrm{Rt}△ DO_2O$中，$OD=\sqrt{OO_2^2+O_2D^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}+10\sqrt{3})^2+(\dfrac{32}{2})^2}=32(\ \mathrm{cm}).$ $\therefore BD=32-12=20(\mathrm{cm}).$ ]
(2)作出圆锥的侧面展开图，即扇形$D'OD$，如图所示. $\because\odot O_1$的直径$AB=12\ \mathrm{cm}$，$\odot O_2$的直径$CD=32\ \mathrm{cm}$，$\therefore\odot O_1$的半径$O_1B=6\ \mathrm{cm}$，$\odot O_2$的直径$O_2D=16\ \mathrm{cm}.$
$\because OO_1=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$O_1O_2=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$\therefore OO_2=16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}.$ $\because OO_2$与$AB$，$CD$都垂直，在$\mathrm{Rt}△ BO_1O$中，$OB=\sqrt{OO_1^2+O_1B^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+(\dfrac{12}{2})^2}=12(\mathrm{cm})$；
在$\mathrm{Rt}△ DO_2O$中，$OD=\sqrt{OO_2^2+O_2D^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}+10\sqrt{3})^2+(\dfrac{32}{2})^2}=32(\mathrm{cm}).$ $\therefore S_{\mathrm{灯罩侧面}}=S_{\mathrm{扇形}D'OD}-S_{\mathrm{扇形}B'OB}=16π · 32-6π · 12=440π (\ \mathrm{cm}^2).$ $\because S_{\mathrm{灯罩上底面}}=π · 6^2=36π(\mathrm{cm}^2),$
$\therefore S_{\mathrm{灯罩}}=440π+36π=476π\approx1\ 495(\mathrm{cm}^2).$ $\therefore$制作一个这样的台灯的灯罩大约需要$1\ 495\ \mathrm{cm}^2$的绒布.

【分析】
(1) 求BD的长度时，可观察到BD是大圆锥母线OD与小圆锥母线OB的差，先分别在Rt△BO₁O和Rt△DO₂O中利用勾股定理求出OB、OD的长度，再作差即可得到BD的长。
(2) 求灯罩所需绒布面积时，首先明确灯罩面积=大圆锥侧面积-裁掉的小圆锥侧面积+上底面小圆面积（灯罩下方为空，仅上方需布料）。先根据圆锥侧面积公式分别计算两个圆锥的侧面积，再求出上底面圆的面积，合并后代入π的近似值计算即可。
【解析】
(1) 由题意可得：$O_1B=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$，$O_2D=\frac{CD}{2}=\frac{32}{2}=16\ \mathrm{cm}$，$OO_2=OO_1+O_1O_2=6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BO_1O$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OO_1^2+O_1B^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ DO_2O$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OO_2^2+O_2D^2}=\sqrt{(16\sqrt{3})^2+16^2}=\sqrt{768+256}=\sqrt{1024}=32\ \mathrm{cm}$
∴$BD=OD-OB=32-12=20\ \mathrm{cm}$。
(2) 作出圆锥的侧面展开图，即扇形$D'OD$，如图所示：
大圆锥侧面积：$S_{\mathrm{大侧}}=π· O_2D· OD=π×16×32=512π\ \mathrm{cm}^2$
小圆锥侧面积：$S_{\mathrm{小侧}}=π· O_1B· OB=π×6×12=72π\ \mathrm{cm}^2$
灯罩侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=S_{\mathrm{大侧}}-S_{\mathrm{小侧}}=512π-72π=440π\ \mathrm{cm}^2$
灯罩上底面面积：$S_{\mathrm{上底}}=π· O_1B^2=π×6^2=36π\ \mathrm{cm}^2$
∴ 绒布总面积：$S=440π+36π=476π\approx476×3.14\approx1495\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) 制作一个这样的台灯灯罩大约需要$\boxed{1495\ \mathrm{cm}^2}$的绒布。
【知识点】
勾股定理，圆锥侧面积计算，立体图形展开计算
【点评】
本题结合生活中的台灯灯罩场景考查圆锥相关计算，解题时需要将立体图形转化为平面展开图求解，同时要结合实际需求确定需要计算的面，既考查了基础公式的应用，也锻炼了空间想象能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65