登录
8. 某单位需要用车，准备和个体车主或一家出租车公司签订合同.设汽车每月行驶$ x $ km，应付给个体车主的月租费是$ y_1 $元，付给出租车公司的月租费是$ y_2 $元，$ y_1 $，$ y_2 $分别与$ x $之间的函数关系图象是如图所示的两条射线，观察图象，回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租出租车公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果该单位估计每月行驶的路程为2 300 km，那么该单位租哪家的车合算？
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租出租车公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果该单位估计每月行驶的路程为2 300 km，那么该单位租哪家的车合算？
答案
(1) $0＜x＜1\ 500$ (2) 1 500 km (3) 租个体车主的车合算
解析
【分析】
解题时先明确函数图象的横纵坐标含义：横坐标x表示每月行驶的路程，纵坐标y表示月租费，$y_1$、$y_2$分别对应个体车主、出租车公司的费用与行驶路程的函数关系。首先找到两个函数图象的交点，交点表示两家费用相等时的行驶路程；“合算”即月租费更低，对应同一x值下，函数图象位置更靠下的y值更小。根据交点划分x的区间，分别比较不同区间内两个函数的大小，即可对应解答三个问题。
【解析】
观察图象可得，$y_1$与$y_2$的交点横坐标为1500 km，该点处两个函数的y值相等。
（1）租出租车公司的车合算，即出租车公司的费用更低，也就是$y_2 ＜ y_1$。由图象可知，当$0 ＜ x ＜ 1500$时，$y_2$的图象在$y_1$下方，满足$y_2 ＜ y_1$，因此此时租出租车公司的车合算。
（2）租两家车的费用相同，即$y_1 = y_2$，对应两个函数图象的交点，交点横坐标为1500 km，因此每月行驶的路程等于1500 km时，租两家车的费用相同。
（3）已知每月行驶路程为2300 km，$2300 ＞ 1500$，由图象可知，当$x ＞ 1500$时，$y_1$的图象在$y_2$下方，即$y_1 ＜ y_2$，个体车主的费用更低，因此租个体车主的车合算。
【答案】
(1) $0＜x＜1\ 500$ (2) 1 500 km (3) 租个体车主的车合算
【知识点】
一次函数的图象应用，一次函数的实际意义
【点评】
本题结合实际租车场景考查一次函数的应用，解题核心是理解函数图象交点、图象上下位置对应的实际含义，通过图象分析即可直观得出结论，无需额外计算函数解析式，体现了数形结合思想的便利性。
【难度系数】
0.8
解题时先明确函数图象的横纵坐标含义：横坐标x表示每月行驶的路程，纵坐标y表示月租费，$y_1$、$y_2$分别对应个体车主、出租车公司的费用与行驶路程的函数关系。首先找到两个函数图象的交点，交点表示两家费用相等时的行驶路程；“合算”即月租费更低，对应同一x值下，函数图象位置更靠下的y值更小。根据交点划分x的区间，分别比较不同区间内两个函数的大小，即可对应解答三个问题。
【解析】
观察图象可得，$y_1$与$y_2$的交点横坐标为1500 km，该点处两个函数的y值相等。
（1）租出租车公司的车合算，即出租车公司的费用更低，也就是$y_2 ＜ y_1$。由图象可知，当$0 ＜ x ＜ 1500$时，$y_2$的图象在$y_1$下方，满足$y_2 ＜ y_1$，因此此时租出租车公司的车合算。
（2）租两家车的费用相同，即$y_1 = y_2$，对应两个函数图象的交点，交点横坐标为1500 km，因此每月行驶的路程等于1500 km时，租两家车的费用相同。
（3）已知每月行驶路程为2300 km，$2300 ＞ 1500$，由图象可知，当$x ＞ 1500$时，$y_1$的图象在$y_2$下方，即$y_1 ＜ y_2$，个体车主的费用更低，因此租个体车主的车合算。
【答案】
(1) $0＜x＜1\ 500$ (2) 1 500 km (3) 租个体车主的车合算
【知识点】
一次函数的图象应用，一次函数的实际意义
【点评】
本题结合实际租车场景考查一次函数的应用，解题核心是理解函数图象交点、图象上下位置对应的实际含义，通过图象分析即可直观得出结论，无需额外计算函数解析式，体现了数形结合思想的便利性。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1: y=-2x+6$与坐标轴交于A，B两点,直线$l_2: y=kx+2(k＞0)$与坐标轴交于点C，D，直线$l_1,l_2$交于点E.
(1)当$k=2$时,求直线$l_1,l_2$与x轴围成的三角形BDE的面积;
(2)点$P(a,b)$在直线$l_2$上,且点P在第二象限,当四边形OBEC的面积为$\frac{23}{3}$时,
①求k的值;
②若$m=a+b$,求m的取值范围.
(1)当$k=2$时,求直线$l_1,l_2$与x轴围成的三角形BDE的面积;
(2)点$P(a,b)$在直线$l_2$上,且点P在第二象限,当四边形OBEC的面积为$\frac{23}{3}$时,
①求k的值;
②若$m=a+b$,求m的取值范围.
答案
(1) 8 (2) ① 4 ② $-\frac{1}{2}＜m＜2$
解析
【分析】
(1) 求△BDE的面积需先确定B、D、E三点坐标：先求直线$l_1$与x轴交点B的坐标，$k=2$时求直线$l_2$与x轴交点D的坐标，联立两直线解析式求交点E的坐标，以BD为底、E点纵坐标为高，代入三角形面积公式计算即可。
(2) ① 求k值可利用割补法计算四边形面积：先求A、C两点坐标，用△AOB的面积减去△ACE的面积表示四边形OBEC的面积，代入已知面积列方程求解即可；② 先将$b=ka+2$代入$m=a+b$得到m关于a的表达式，再根据P在第二象限确定a的取值范围，结合一次函数增减性求m的范围。
【解析】
(1) 求各点坐标：
对于直线$l_1:y=-2x+6$，令$y=0$，解得$x=3$，故$B(3,0)$；
当$k=2$时，直线$l_2:y=2x+2$，令$y=0$，解得$x=-1$，故$D(-1,0)$，则$BD=3-(-1)=4$；
联立$\begin{cases}y=-2x+6\\y=2x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，故$E(1,4)$，E到x轴的高为4；
因此$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD × 4=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(2) ① 求A、C坐标：
对于$l_1:y=-2x+6$，令$x=0$得$y=6$，故$A(0,6)$；
对于$l_2:y=kx+2$，令$x=0$得$y=2$，故$C(0,2)$，则$AC=6-2=4$；
联立$\begin{cases}y=-2x+6\\y=kx+2\end{cases}$，解得E点横坐标$x_E=\frac{4}{k+2}$；
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA × OB=\frac{1}{2}×6×3=9$，$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC × x_E=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{k+2}=\frac{8}{k+2}$；
由题意得$9-\frac{8}{k+2}=\frac{23}{3}$，解得$\frac{8}{k+2}=\frac{4}{3}$，即$4(k+2)=24$，得$k=4$，符合$k＞0$的条件。
② 由①得$l_2:y=4x+2$，点$P(a,b)$在$l_2$上，故$b=4a+2$，则$m=a+b=5a+2$；
P在第二象限，故$\begin{cases}a＜0\\4a+2＞0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}＜a＜0$；
$m=5a+2$随a增大而增大，当$a=-\frac{1}{2}$时$m=-\frac{1}{2}$，当$a=0$时$m=2$，故$-\frac{1}{2}＜m＜2$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) ① $\boxed{4}$；② $\boxed{-\frac{1}{2}＜m＜2}$
【知识点】
一次函数交点问题，一次函数与几何综合，一次函数的性质
【点评】
本题围绕一次函数展开综合考查，涵盖求函数与坐标轴交点、联立解析式求交点、图形面积计算、利用函数增减性求取值范围等考点，解题核心是准确获取点坐标，灵活运用割补法计算不规则图形面积，结合自变量范围推导函数值范围。
【难度系数】
0.6
(1) 求△BDE的面积需先确定B、D、E三点坐标：先求直线$l_1$与x轴交点B的坐标，$k=2$时求直线$l_2$与x轴交点D的坐标，联立两直线解析式求交点E的坐标，以BD为底、E点纵坐标为高，代入三角形面积公式计算即可。
(2) ① 求k值可利用割补法计算四边形面积：先求A、C两点坐标，用△AOB的面积减去△ACE的面积表示四边形OBEC的面积，代入已知面积列方程求解即可；② 先将$b=ka+2$代入$m=a+b$得到m关于a的表达式，再根据P在第二象限确定a的取值范围，结合一次函数增减性求m的范围。
【解析】
(1) 求各点坐标：
对于直线$l_1:y=-2x+6$，令$y=0$，解得$x=3$，故$B(3,0)$；
当$k=2$时，直线$l_2:y=2x+2$，令$y=0$，解得$x=-1$，故$D(-1,0)$，则$BD=3-(-1)=4$；
联立$\begin{cases}y=-2x+6\\y=2x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=4\end{cases}$，故$E(1,4)$，E到x轴的高为4；
因此$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD × 4=\frac{1}{2}×4×4=8$。
(2) ① 求A、C坐标：
对于$l_1:y=-2x+6$，令$x=0$得$y=6$，故$A(0,6)$；
对于$l_2:y=kx+2$，令$x=0$得$y=2$，故$C(0,2)$，则$AC=6-2=4$；
联立$\begin{cases}y=-2x+6\\y=kx+2\end{cases}$，解得E点横坐标$x_E=\frac{4}{k+2}$；
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA × OB=\frac{1}{2}×6×3=9$，$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}× AC × x_E=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{k+2}=\frac{8}{k+2}$；
由题意得$9-\frac{8}{k+2}=\frac{23}{3}$，解得$\frac{8}{k+2}=\frac{4}{3}$，即$4(k+2)=24$，得$k=4$，符合$k＞0$的条件。
② 由①得$l_2:y=4x+2$，点$P(a,b)$在$l_2$上，故$b=4a+2$，则$m=a+b=5a+2$；
P在第二象限，故$\begin{cases}a＜0\\4a+2＞0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}＜a＜0$；
$m=5a+2$随a增大而增大，当$a=-\frac{1}{2}$时$m=-\frac{1}{2}$，当$a=0$时$m=2$，故$-\frac{1}{2}＜m＜2$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) ① $\boxed{4}$；② $\boxed{-\frac{1}{2}＜m＜2}$
【知识点】
一次函数交点问题，一次函数与几何综合，一次函数的性质
【点评】
本题围绕一次函数展开综合考查，涵盖求函数与坐标轴交点、联立解析式求交点、图形面积计算、利用函数增减性求取值范围等考点，解题核心是准确获取点坐标，灵活运用割补法计算不规则图形面积，结合自变量范围推导函数值范围。
【难度系数】
0.6
