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15. 下列结论中，正确的是 （
A.单项式$\frac{π xy^2}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，次数是4
B.单项式$m$的次数是1，没有系数
C.多项式$2x^2 + xy^2 + 3$是二次多项式
D.在$\frac{1}{x}, 2x+y, -a^2b, \frac{x-y}{π}, 0$中，整式有4个
D
）A.单项式$\frac{π xy^2}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，次数是4
B.单项式$m$的次数是1，没有系数
C.多项式$2x^2 + xy^2 + 3$是二次多项式
D.在$\frac{1}{x}, 2x+y, -a^2b, \frac{x-y}{π}, 0$中，整式有4个
答案
15.D
解析
【分析】
本题考查整式相关的基础概念辨析，解题时需结合单项式系数与次数、多项式次数、整式的定义，逐一分析每个选项，排除不符合概念的错误选项即可得到正确答案。需要特别注意π是常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
我们结合相关概念逐一判断各选项：
A选项：单项式的系数是式子中的数字因数，π属于常数，因此单项式$\frac{π xy^2}{4}$的系数是$\frac{π}{4}$；单项式的次数是所有字母的指数和，x的指数为1，y的指数为2，总次数为$1+2=3$，故A错误。
B选项：单项式$m$可写成$1· m$，因此它的系数是1，次数是1，故B错误。
C选项：多项式的次数由次数最高的项的次数决定，多项式$2x^2 + xy^2 + 3$中最高次项为$xy^2$，次数为$1+2=3$，因此该多项式是三次多项式，故C错误。
D选项：整式是单项式和多项式的统称，分母中含有字母的式子不属于整式。所列式子中，仅$\frac{1}{x}$分母含字母，不是整式；$2x+y$、$-a^2b$、$\frac{x-y}{π}$、0这4个均为整式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.单项式的相关概念
2.多项式的相关概念
3.整式的判定
【点评】
本题属于整式章节的基础题型，主要考查对易混淆概念的掌握情况，解题的关键是明确π为常数，不要将其当作字母处理，同时要熟练掌握整式的判定规则。
【难度系数】
0.8
本题考查整式相关的基础概念辨析，解题时需结合单项式系数与次数、多项式次数、整式的定义，逐一分析每个选项，排除不符合概念的错误选项即可得到正确答案。需要特别注意π是常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
我们结合相关概念逐一判断各选项：
A选项：单项式的系数是式子中的数字因数，π属于常数，因此单项式$\frac{π xy^2}{4}$的系数是$\frac{π}{4}$；单项式的次数是所有字母的指数和，x的指数为1，y的指数为2，总次数为$1+2=3$，故A错误。
B选项：单项式$m$可写成$1· m$，因此它的系数是1，次数是1，故B错误。
C选项：多项式的次数由次数最高的项的次数决定，多项式$2x^2 + xy^2 + 3$中最高次项为$xy^2$，次数为$1+2=3$，因此该多项式是三次多项式，故C错误。
D选项：整式是单项式和多项式的统称，分母中含有字母的式子不属于整式。所列式子中，仅$\frac{1}{x}$分母含字母，不是整式；$2x+y$、$-a^2b$、$\frac{x-y}{π}$、0这4个均为整式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.单项式的相关概念
2.多项式的相关概念
3.整式的判定
【点评】
本题属于整式章节的基础题型，主要考查对易混淆概念的掌握情况，解题的关键是明确π为常数，不要将其当作字母处理，同时要熟练掌握整式的判定规则。
【难度系数】
0.8
16. 如果一个多项式是六次多项式，那么它的任何一项的次数 （
A.都小于6
B.都不小于6
C.都大于6
D.都不大于6
D
）A.都小于6
B.都不小于6
C.都大于6
D.都不大于6
答案
16.D
解析
【分析】
解题时首先要明确多项式次数的定义：多项式的次数由多项式里次数最高的项的次数决定。已知题干中的多项式是六次多项式，说明它的最高次项次数为6，由此可推出所有项的次数的取值范围，再逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先回顾多项式次数的概念：多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
已知该多项式为六次多项式，说明它的最高次项的次数为6，其余项的次数可以小于6，也可以等于6，即所有项的次数都不大于6。
对各选项逐一分析：
A. 都小于6：错误，多项式中存在次数为6的最高次项；
B. 都不小于6：“不小于6”指次数≥6，多项式中可以存在次数低于6的项，错误；
C. 都大于6：若存在次数大于6的项，多项式的次数就会大于6，和题干“六次多项式”矛盾，错误；
D. 都不大于6：即所有项的次数≤6，符合推导结论，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数
【点评】
本题考查多项式次数的基础概念，解题的核心是牢记多项式次数的定义，同时要准确理解“不大于”“不小于”这类表述的含义，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确多项式次数的定义：多项式的次数由多项式里次数最高的项的次数决定。已知题干中的多项式是六次多项式，说明它的最高次项次数为6，由此可推出所有项的次数的取值范围，再逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先回顾多项式次数的概念：多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
已知该多项式为六次多项式，说明它的最高次项的次数为6，其余项的次数可以小于6，也可以等于6，即所有项的次数都不大于6。
对各选项逐一分析：
A. 都小于6：错误，多项式中存在次数为6的最高次项；
B. 都不小于6：“不小于6”指次数≥6，多项式中可以存在次数低于6的项，错误；
C. 都大于6：若存在次数大于6的项，多项式的次数就会大于6，和题干“六次多项式”矛盾，错误；
D. 都不大于6：即所有项的次数≤6，符合推导结论，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数
【点评】
本题考查多项式次数的基础概念，解题的核心是牢记多项式次数的定义，同时要准确理解“不大于”“不小于”这类表述的含义，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
17.某商店出售一种商品，其原价为a元，现进行如下调价方案：先提价10%，在此基础上又降价10%，则调价后的结果为 （
A.恢复了原价，仍为a元
B.未恢复原价，低于a元
C.未恢复原价，高于a元
D.与原价有关，无法确定
B
）A.恢复了原价，仍为a元
B.未恢复原价，低于a元
C.未恢复原价，高于a元
D.与原价有关，无法确定
答案
17.B
解析
【分析】
要判断调价后的结果和原价的关系，我们需要分两步计算出最终的售价：第一步先计算提价10%后的价格，此时的单位“1”是原价a元；第二步再计算在提价后价格的基础上降价10%的最终售价，此时的单位“1”是提价后的价格，最后将最终售价和原价a比较大小即可得出结论。
【解析】
第一步：计算提价10%后的价格
提价是在原价a的基础上增加10%，因此提价后的价格为：
$a×(1+10\%)=1.1a$（元）
第二步：计算再降价10%后的最终价格
降价是在提价后的1.1a元的基础上减少10%，因此最终售价为：
$1.1a×(1-10\%)=1.1a×0.9=0.99a$（元）
第三步：比较最终售价和原价
由于商品原价a为正数，因此$0.99a ＜ a$，即调价后的价格低于原价，未恢复原价。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；百分数的实际应用；代数式比较大小
【点评】
本题考查销售中的调价问题，解题的关键是明确两次调价的单位“1”不相同，第一次调价的参照是原价，第二次调价的参照是提价后的价格，不能直接认为提价和降价的幅度相同就会回到原价。
【难度系数】
0.7
要判断调价后的结果和原价的关系，我们需要分两步计算出最终的售价：第一步先计算提价10%后的价格，此时的单位“1”是原价a元；第二步再计算在提价后价格的基础上降价10%的最终售价，此时的单位“1”是提价后的价格，最后将最终售价和原价a比较大小即可得出结论。
【解析】
第一步：计算提价10%后的价格
提价是在原价a的基础上增加10%，因此提价后的价格为：
$a×(1+10\%)=1.1a$（元）
第二步：计算再降价10%后的最终价格
降价是在提价后的1.1a元的基础上减少10%，因此最终售价为：
$1.1a×(1-10\%)=1.1a×0.9=0.99a$（元）
第三步：比较最终售价和原价
由于商品原价a为正数，因此$0.99a ＜ a$，即调价后的价格低于原价，未恢复原价。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；百分数的实际应用；代数式比较大小
【点评】
本题考查销售中的调价问题，解题的关键是明确两次调价的单位“1”不相同，第一次调价的参照是原价，第二次调价的参照是提价后的价格，不能直接认为提价和降价的幅度相同就会回到原价。
【难度系数】
0.7
18.已知多项式$(a+3)x^3 - x^b + x + a$是关于x的二次三项式，则$a^b - ab=$
15
答案
18.15
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：一是多项式的最高次数为2，因此次数高于2的项的系数必须为0，且必须存在次数为2的项；二是多项式总共有3个单项式（没有可合并的同类项）。首先观察多项式，存在三次项$(a+3)x^3$，要满足最高次为2，三次项系数必须为0，可求出a的值；再根据最高次为2，可得b的取值；验证此时多项式符合三项式要求后，代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵多项式$(a+3)x^3 - x^b + x + a$是关于x的二次三项式
∴三次项系数为0，即$a+3=0$，解得$a=-3$
∵多项式最高次数为2，
∴$b=2$
将$a=-3$、$b=2$代入验证，多项式变为$-x^2 + x - 3$，符合二次三项式的要求
将$a=-3$、$b=2$代入$a^b - ab$得：
$a^b - ab=(-3)^2 - (-3)×2=9+6=15$
【答案】
15
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，代数式求值
【点评】
本题主要考查二次三项式的概念应用，解题关键是根据定义准确确定a、b的取值，计算时要注意负数乘方、符号运算的规则，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：一是多项式的最高次数为2，因此次数高于2的项的系数必须为0，且必须存在次数为2的项；二是多项式总共有3个单项式（没有可合并的同类项）。首先观察多项式，存在三次项$(a+3)x^3$，要满足最高次为2，三次项系数必须为0，可求出a的值；再根据最高次为2，可得b的取值；验证此时多项式符合三项式要求后，代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵多项式$(a+3)x^3 - x^b + x + a$是关于x的二次三项式
∴三次项系数为0，即$a+3=0$，解得$a=-3$
∵多项式最高次数为2，
∴$b=2$
将$a=-3$、$b=2$代入验证，多项式变为$-x^2 + x - 3$，符合二次三项式的要求
将$a=-3$、$b=2$代入$a^b - ab$得：
$a^b - ab=(-3)^2 - (-3)×2=9+6=15$
【答案】
15
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，代数式求值
【点评】
本题主要考查二次三项式的概念应用，解题关键是根据定义准确确定a、b的取值，计算时要注意负数乘方、符号运算的规则，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
19.如图,这是一个长方体和一个正方体的组合体.
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)(1)中的代数式是多项式,还是单项式?
如果是多项式,请写出它是几次几项式.
(3)当$a=2,b=8$时,求这个组合体的体积.
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)(1)中的代数式是多项式,还是单项式?
如果是多项式,请写出它是几次几项式.
(3)当$a=2,b=8$时,求这个组合体的体积.
答案
19.解:(1)这个组合体的体积是$a^3+a^2b$.
(2)(1)中的代数式是多项式,它是三次二项式.
(3)当$a=2,b=8$时,这个组合体的体积为$2^3+2^2×8=8+32=40$.
(2)(1)中的代数式是多项式,它是三次二项式.
(3)当$a=2,b=8$时,这个组合体的体积为$2^3+2^2×8=8+32=40$.
解析
【分析】
(1) 求组合体体积可利用“组合体体积=各部分体积之和”的思路，分别计算上方正方体和下方长方体的体积再相加：正方体棱长为a，按正方体体积公式计算即可；长方体的长宽高分别为b、a、a，按长方体体积公式计算，两者相加得到总体积的代数式。
(2) 判断整式类型时，先回忆相关定义：几个单项式的和为多项式，多项式的次数是最高次项的次数，项数是所含单项式的个数，据此对(1)得到的代数式进行判断即可。
(3) 代数式求值直接将a=2、b=8代入(1)的代数式，按照先乘方、再乘法、最后加法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 正方体体积：$V_{\mathrm{正方体}}=a· a· a=a^3$
长方体体积：$V_{\mathrm{长方体}}=b· a· a=a^2b$
组合体体积为两部分体积之和：$V=a^3+a^2b$
(2) $a^3+a^2b$是由$a^3$和$a^2b$两个单项式相加组成的，因此是多项式；
其中$a^3$的次数为3，$a^2b$的次数为$2+1=3$，最高次项次数为3，共含2个项，因此它是三次二项式。
(3) 将$a=2$，$b=8$代入$a^3+a^2b$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^3+2^2×8\\&=8+4×8\\&=8+32\\&=40\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^3+a^2b$
(2) 是多项式，三次二项式
(3) 40
【知识点】
组合体体积计算、多项式相关概念、代数式求值
【点评】
本题结合立体图形体积计算和整式知识，考查基础概念的掌握和基础运算能力，解题时要注意多项式次数是取最高次项的次数，代入求值时需遵循有理数运算顺序。
【难度系数】
0.8
(1) 求组合体体积可利用“组合体体积=各部分体积之和”的思路，分别计算上方正方体和下方长方体的体积再相加：正方体棱长为a，按正方体体积公式计算即可；长方体的长宽高分别为b、a、a，按长方体体积公式计算，两者相加得到总体积的代数式。
(2) 判断整式类型时，先回忆相关定义：几个单项式的和为多项式，多项式的次数是最高次项的次数，项数是所含单项式的个数，据此对(1)得到的代数式进行判断即可。
(3) 代数式求值直接将a=2、b=8代入(1)的代数式，按照先乘方、再乘法、最后加法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 正方体体积：$V_{\mathrm{正方体}}=a· a· a=a^3$
长方体体积：$V_{\mathrm{长方体}}=b· a· a=a^2b$
组合体体积为两部分体积之和：$V=a^3+a^2b$
(2) $a^3+a^2b$是由$a^3$和$a^2b$两个单项式相加组成的，因此是多项式；
其中$a^3$的次数为3，$a^2b$的次数为$2+1=3$，最高次项次数为3，共含2个项，因此它是三次二项式。
(3) 将$a=2$，$b=8$代入$a^3+a^2b$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^3+2^2×8\\&=8+4×8\\&=8+32\\&=40\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^3+a^2b$
(2) 是多项式，三次二项式
(3) 40
【知识点】
组合体体积计算、多项式相关概念、代数式求值
【点评】
本题结合立体图形体积计算和整式知识，考查基础概念的掌握和基础运算能力，解题时要注意多项式次数是取最高次项的次数，代入求值时需遵循有理数运算顺序。
【难度系数】
0.8
20. NEW 新考向·推理能力 观察下列关于$x,y$的单项式：$xy^2$，$-3x^2y^3$，$5x^3y^4$，$-7x^4y^5$，….
(1)直接写出第5个单项式：
(2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？
(3)第$n$个单项式是
(4)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？
(1)直接写出第5个单项式：
$9x^5y^6$
.(2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？
(3)第$n$个单项式是
$(-1)^{n+1}(2n-1)· x^ny^{n+1}$
.(4)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？
答案
20.解:(1)$9x^5y^6$
(2)根据题意,得第20个单项式为$-39x^{20}y^{21}$,
∴第20个单项式的系数是$-39$,次数是41.
(3)$(-1)^{n+1}(2n-1)· x^ny^{n+1}$
(4)
∵系数的绝对值为2025,
∴$2n-1=2025$,解得$n=1013$.
∴系数的绝对值为2025的单项式的次数为$1013×2+1=2027$.
(2)根据题意,得第20个单项式为$-39x^{20}y^{21}$,
∴第20个单项式的系数是$-39$,次数是41.
(3)$(-1)^{n+1}(2n-1)· x^ny^{n+1}$
(4)
∵系数的绝对值为2025,
∴$2n-1=2025$,解得$n=1013$.
∴系数的绝对值为2025的单项式的次数为$1013×2+1=2027$.
解析
【分析】
解决这道题需要把单项式拆解为符号、系数绝对值、x的指数、y的指数四部分分别找规律：1. 符号：第1个为正、第2个为负、第3个为正，即奇数项为正、偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号规律；2. 系数绝对值：依次是1、3、5、7，是连续奇数，对应规律为$2n-1$；3. x的指数：第1个是1、第2个是2，第n个的x指数就是n；4. y的指数：第1个是2、第2个是3，第n个的y指数就是$n+1$；单项式的次数是所有字母的指数和，即$n+(n+1)=2n+1$，后续各小问代入对应n值即可求解。
【解析】
(1) 求第5个单项式，代入$n=5$：
符号为$(-1)^{5+1}=1$，系数绝对值为$2×5-1=9$，x的指数为5，y的指数为$5+1=6$，因此第5个单项式为$9x^5y^6$。
(2) 求第20个单项式，代入$n=20$：
符号为$(-1)^{20+1}=-1$，系数绝对值为$2×20-1=39$，因此系数为$-39$；
次数为x和y的指数和：$20+(20+1)=41$。
(3) 结合四部分的规律，第n个单项式为符号×系数绝对值×$x^n$×$y^{n+1}$，即$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$。
(4) 已知系数的绝对值为2025，可列方程$2n-1=2025$，解得$n=(2025+1)÷2=1013$；
对应单项式的次数为$2n+1=2×1013+1=2027$。
【答案】
(1) $9x^5y^6$
(2) 系数是$-39$，次数是$41$
(3) $(-1)^{n+1}(2n-1)· x^ny^{n+1}$
(4) $2027$
【知识点】
单项式的系数与次数，数字规律探究，整式的概念
【点评】
本题属于整式中的规律探究类题目，解题核心是将单项式拆分为多个部分分别寻找和序号n的对应关系，既考查对单项式系数、次数基础定义的掌握，也锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要把单项式拆解为符号、系数绝对值、x的指数、y的指数四部分分别找规律：1. 符号：第1个为正、第2个为负、第3个为正，即奇数项为正、偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号规律；2. 系数绝对值：依次是1、3、5、7，是连续奇数，对应规律为$2n-1$；3. x的指数：第1个是1、第2个是2，第n个的x指数就是n；4. y的指数：第1个是2、第2个是3，第n个的y指数就是$n+1$；单项式的次数是所有字母的指数和，即$n+(n+1)=2n+1$，后续各小问代入对应n值即可求解。
【解析】
(1) 求第5个单项式，代入$n=5$：
符号为$(-1)^{5+1}=1$，系数绝对值为$2×5-1=9$，x的指数为5，y的指数为$5+1=6$，因此第5个单项式为$9x^5y^6$。
(2) 求第20个单项式，代入$n=20$：
符号为$(-1)^{20+1}=-1$，系数绝对值为$2×20-1=39$，因此系数为$-39$；
次数为x和y的指数和：$20+(20+1)=41$。
(3) 结合四部分的规律，第n个单项式为符号×系数绝对值×$x^n$×$y^{n+1}$，即$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$。
(4) 已知系数的绝对值为2025，可列方程$2n-1=2025$，解得$n=(2025+1)÷2=1013$；
对应单项式的次数为$2n+1=2×1013+1=2027$。
【答案】
(1) $9x^5y^6$
(2) 系数是$-39$，次数是$41$
(3) $(-1)^{n+1}(2n-1)· x^ny^{n+1}$
(4) $2027$
【知识点】
单项式的系数与次数，数字规律探究，整式的概念
【点评】
本题属于整式中的规律探究类题目，解题核心是将单项式拆分为多个部分分别寻找和序号n的对应关系，既考查对单项式系数、次数基础定义的掌握，也锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
