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5. 小海解一元二次方程 $4x^2 - 3\sqrt{2}x = \frac{1}{8}$ 的过程如下。
解:这里 $a=4,b=-3\sqrt{2},c=\frac{1}{8}$。 ...... 第一步
因为 $\Delta = b^2 -4ac = (-3\sqrt{2})^2 -4×4×\frac{1}{8}=16＞0$， ...... 第二步
所以 $x=\frac{-3\sqrt{2}\pm\sqrt{16}}{8}$， ...... 第三步
即 $x_1=\frac{-3\sqrt{2}+4}{8},x_2=\frac{-3\sqrt{2}-4}{8}$。 ...... 第四步
(1)小海的求解过程从
(2)请你写出正确的解题过程。
解:这里 $a=4,b=-3\sqrt{2},c=\frac{1}{8}$。 ...... 第一步
因为 $\Delta = b^2 -4ac = (-3\sqrt{2})^2 -4×4×\frac{1}{8}=16＞0$， ...... 第二步
所以 $x=\frac{-3\sqrt{2}\pm\sqrt{16}}{8}$， ...... 第三步
即 $x_1=\frac{-3\sqrt{2}+4}{8},x_2=\frac{-3\sqrt{2}-4}{8}$。 ...... 第四步
(1)小海的求解过程从
一
步开始出现错误；(2)请你写出正确的解题过程。
答案
5. (1) 一
(2) 解:$x_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{8},x_2=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{8}$。
(2) 解:$x_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{8},x_2=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{8}$。
解析
【分析】
(1) 判断错误步骤需先明确求根公式的使用前提：一元二次方程需先化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能对应确定$a、b、c$的值。小海未将原方程等号右侧的项移到左侧，直接错误选取常数项$c$，因此第一步就出错。
(2) 正确解题思路：先将原方程移项整理为一般形式，准确写出$a、b、c$的值，再计算根的判别式$\Delta$，判断根的情况后，代入求根公式计算，最后化简二次根式得到最终的根。
【解析】
(1) 原方程为$4x^2 - 3\sqrt{2}x = \frac{1}{8}$，需先移项化为一般形式$4x^2 - 3\sqrt{2}x - \frac{1}{8}=0$，常数项$c=-\frac{1}{8}$，小海第一步直接取$c=\frac{1}{8}$，因此从第一步开始出现错误。
(2) 正确解题过程：
①将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$4x^2 - 3\sqrt{2}x - \frac{1}{8} = 0$
②确定系数：$a=4$，$b=-3\sqrt{2}$，$c=-\frac{1}{8}$
③计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{2})^2 - 4×4×(-\frac{1}{8}) = 18 + 2 = 20 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根
④代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算：
$x = \frac{3\sqrt{2}\pm\sqrt{20}}{2×4} = \frac{3\sqrt{2}\pm2\sqrt{5}}{8}$
即两个根分别为$x_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{8}$，$x_2=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{8}$
【答案】
(1) 一
(2) $x_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{8},x_2=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{8}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，求根公式解方程
【点评】
本题重点考查求根公式解一元二次方程的规范步骤，易错点是使用求根公式前未将方程化为一般形式，容易搞错常数项的符号，解题时还要注意判别式计算、求根公式中$-b$的符号以及二次根式的化简，是一元二次方程解法中的基础易错题型。
【难度系数】
0.7
(1) 判断错误步骤需先明确求根公式的使用前提：一元二次方程需先化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能对应确定$a、b、c$的值。小海未将原方程等号右侧的项移到左侧，直接错误选取常数项$c$，因此第一步就出错。
(2) 正确解题思路：先将原方程移项整理为一般形式，准确写出$a、b、c$的值，再计算根的判别式$\Delta$，判断根的情况后，代入求根公式计算，最后化简二次根式得到最终的根。
【解析】
(1) 原方程为$4x^2 - 3\sqrt{2}x = \frac{1}{8}$，需先移项化为一般形式$4x^2 - 3\sqrt{2}x - \frac{1}{8}=0$，常数项$c=-\frac{1}{8}$，小海第一步直接取$c=\frac{1}{8}$，因此从第一步开始出现错误。
(2) 正确解题过程：
①将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$4x^2 - 3\sqrt{2}x - \frac{1}{8} = 0$
②确定系数：$a=4$，$b=-3\sqrt{2}$，$c=-\frac{1}{8}$
③计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{2})^2 - 4×4×(-\frac{1}{8}) = 18 + 2 = 20 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根
④代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算：
$x = \frac{3\sqrt{2}\pm\sqrt{20}}{2×4} = \frac{3\sqrt{2}\pm2\sqrt{5}}{8}$
即两个根分别为$x_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{8}$，$x_2=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{8}$
【答案】
(1) 一
(2) $x_1=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{8},x_2=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{8}$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，求根公式解方程
【点评】
本题重点考查求根公式解一元二次方程的规范步骤，易错点是使用求根公式前未将方程化为一般形式，容易搞错常数项的符号，解题时还要注意判别式计算、求根公式中$-b$的符号以及二次根式的化简，是一元二次方程解法中的基础易错题型。
【难度系数】
0.7
6.【综合与实践】相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题。他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过$1,3,6,10,\dots$，由于这些数可以用如图所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中的点数之和称为三角数。
第$n$个三角数可以用$1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}{2}(n≥1且为整数)$来表示。
(1)若三角数是55，则$n=$
(2)把第$n$个三角点阵中各行的点数依次换为$2,4,6,\dots,2n$，请用含$n$的式子表示前$n$行所有点数之和。
(3)在(2)的三角点阵中，前$n$行的点数之和能为120吗？如果能，求出$n$的值；如果不能，请说明理由。
第$n$个三角数可以用$1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}{2}(n≥1且为整数)$来表示。
(1)若三角数是55，则$n=$
10
。(2)把第$n$个三角点阵中各行的点数依次换为$2,4,6,\dots,2n$，请用含$n$的式子表示前$n$行所有点数之和。
(3)在(2)的三角点阵中，前$n$行的点数之和能为120吗？如果能，求出$n$的值；如果不能，请说明理由。
答案
6. (1) 10
(2) 解:根据题意得前 $n$ 行所有点数之和为
$2+4+6+\dots+2(n-2)+2(n-1)+2n$
$=2[1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n]$
$=2×\frac{n(n+1)}{2}$
$=n(n+1)$。
(3) 解:不能。理由如下：
假设能为 120,则 $n(n+1)=120$,
即$n^2+n-120=0$。
解得 $n_1=\frac{-1+\sqrt{481}}{2},n_2=\frac{-1-\sqrt{481}}{2}$。
$\because n$ 为正整数,$\therefore$ 前 $n$ 行的点数之和不能为 120。
(2) 解:根据题意得前 $n$ 行所有点数之和为
$2+4+6+\dots+2(n-2)+2(n-1)+2n$
$=2[1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n]$
$=2×\frac{n(n+1)}{2}$
$=n(n+1)$。
(3) 解:不能。理由如下：
假设能为 120,则 $n(n+1)=120$,
即$n^2+n-120=0$。
解得 $n_1=\frac{-1+\sqrt{481}}{2},n_2=\frac{-1-\sqrt{481}}{2}$。
$\because n$ 为正整数,$\therefore$ 前 $n$ 行的点数之和不能为 120。
解析
【分析】
(1) 题目已经给出第n个三角数的计算公式为$\frac{n(n+1)}{2}$，已知三角数为55，只需将数值代入公式，得到关于n的一元二次方程，求解后取正整数解即可。
(2) 更换后的各行点数是原三角点阵对应点数的2倍，因此前n行点数和可提取公因数2，再代入已知的三角数公式化简，就能得到含n的表达式。
(3) 假设前n行点数和为120，将(2)中得到的表达式等于120列方程，求解后判断所得的根是否为正整数，若不是则说明不能等于120。
【解析】
(1) 由题意得：$\frac{n(n+1)}{2}=55$
整理得：$n^2+n-110=0$
因式分解得：$(n+11)(n-10)=0$
解得$n_1=10$，$n_2=-11$
$\because n≥1$且为整数，$\therefore n=10$。
(2) 根据题意，前n行所有点数之和为：
$2+4+6+\dots+2(n-2)+2(n-1)+2n$
$=2×[1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n]$
$=2×\frac{n(n+1)}{2}$
$=n(n+1)$
(3) 不能，理由如下：
假设前n行的点数之和为120，则$n(n+1)=120$
整理得：$n^2+n-120=0$
由求根公式得$n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-120)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{481}}{2}$
$\because \sqrt{481}$不是整数，且n为正整数，$\therefore$ 方程没有符合条件的正整数解，即前n行的点数之和不能为120。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{n(n+1)}$
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，规律型图形探究，列代数式
【点评】
本题以古希腊三角数为背景，结合图形规律考查代数运算和方程求解能力，解题时要注意n为正整数这一隐含条件，求解方程后要验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 题目已经给出第n个三角数的计算公式为$\frac{n(n+1)}{2}$，已知三角数为55，只需将数值代入公式，得到关于n的一元二次方程，求解后取正整数解即可。
(2) 更换后的各行点数是原三角点阵对应点数的2倍，因此前n行点数和可提取公因数2，再代入已知的三角数公式化简，就能得到含n的表达式。
(3) 假设前n行点数和为120，将(2)中得到的表达式等于120列方程，求解后判断所得的根是否为正整数，若不是则说明不能等于120。
【解析】
(1) 由题意得：$\frac{n(n+1)}{2}=55$
整理得：$n^2+n-110=0$
因式分解得：$(n+11)(n-10)=0$
解得$n_1=10$，$n_2=-11$
$\because n≥1$且为整数，$\therefore n=10$。
(2) 根据题意，前n行所有点数之和为：
$2+4+6+\dots+2(n-2)+2(n-1)+2n$
$=2×[1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n]$
$=2×\frac{n(n+1)}{2}$
$=n(n+1)$
(3) 不能，理由如下：
假设前n行的点数之和为120，则$n(n+1)=120$
整理得：$n^2+n-120=0$
由求根公式得$n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-120)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{481}}{2}$
$\because \sqrt{481}$不是整数，且n为正整数，$\therefore$ 方程没有符合条件的正整数解，即前n行的点数之和不能为120。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{n(n+1)}$
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，规律型图形探究，列代数式
【点评】
本题以古希腊三角数为背景，结合图形规律考查代数运算和方程求解能力，解题时要注意n为正整数这一隐含条件，求解方程后要验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
