登录
知识梳理
知识点1）数字问题
若一个两位数的十位数字和个位数字分别是x,y,则这个两位数可以表示为
知识点2）几何问题
解答几何图形应用题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形,找出
重点提示
对于规则图形,利用图形的周长、面积、体积等公式直接求解.
对于不规则图形,通过割补、平移、旋转等变换为规则图形求解.
知识点1）数字问题
若一个两位数的十位数字和个位数字分别是x,y,则这个两位数可以表示为
10x+y
.若一个三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别是x,y,z,则这个三位数可以表示为100x+10y+z
.知识点2）几何问题
解答几何图形应用题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形,找出
未知量
与已知量
的内在联系,根据面积和体积公式列出方程.重点提示
对于规则图形,利用图形的周长、面积、体积等公式直接求解.
对于不规则图形,通过割补、平移、旋转等变换为规则图形求解.
答案
知识点1：两位数可表示为$10x+y$，三位数可表示为$100x+10y+z$
知识点2：解答几何图形应用题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积和体积公式列出方程。
知识点2：解答几何图形应用题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积和体积公式列出方程。
解析
【分析】
首先分析数字类问题：两位数的计数单位中，十位的计数单位是10，个位是1，所以十位数字x对应的实际数值是10与x的乘积，个位数字y对应数值就是y，二者相加就是两位数的表达式；同理三位数的百位计数单位是100，百位x对应100x，十位y对应10y，个位z对应z，相加可得三位数的表达式。再分析几何应用题部分：列方程解应用题的核心是找等量关系，将不规则图形转化为规则图形后，需要结合题目给出的已知条件和要求的未知量，梳理二者的联系才能结合公式列方程，因此两个空对应未知量和已知量。
【解析】
1. 数字问题推导：
十位数字为x的两位数，十位的实际数值为$10x$，个位数字y的实际数值为$y$，因此两位数可表示为$10x+y$；
百位数字为x的三位数，百位的实际数值为$100x$，十位数字y的实际数值为$10y$，个位数字z的实际数值为$z$，因此三位数可表示为$100x+10y+z$。
2. 几何问题推导：
解答几何图形应用题时，完成不规则图形到规则图形的转化后，需要找到未知量与已知量的内在联系，才能结合面积、体积公式列出方程求解，因此两个空缺依次为未知量、已知量。
【答案】
$10x+y$；$100x+10y+z$；未知量；已知量
【知识点】
数字类代数式表示；几何应用题解题要点
【点评】
本题属于基础知识点梳理内容，是后续列方程解决数字应用题、几何图形应用题的核心基础，需要熟练掌握相关表达式的书写和解题思路。
【难度系数】
0.9
首先分析数字类问题：两位数的计数单位中，十位的计数单位是10，个位是1，所以十位数字x对应的实际数值是10与x的乘积，个位数字y对应数值就是y，二者相加就是两位数的表达式；同理三位数的百位计数单位是100，百位x对应100x，十位y对应10y，个位z对应z，相加可得三位数的表达式。再分析几何应用题部分：列方程解应用题的核心是找等量关系，将不规则图形转化为规则图形后，需要结合题目给出的已知条件和要求的未知量，梳理二者的联系才能结合公式列方程，因此两个空对应未知量和已知量。
【解析】
1. 数字问题推导：
十位数字为x的两位数，十位的实际数值为$10x$，个位数字y的实际数值为$y$，因此两位数可表示为$10x+y$；
百位数字为x的三位数，百位的实际数值为$100x$，十位数字y的实际数值为$10y$，个位数字z的实际数值为$z$，因此三位数可表示为$100x+10y+z$。
2. 几何问题推导：
解答几何图形应用题时，完成不规则图形到规则图形的转化后，需要找到未知量与已知量的内在联系，才能结合面积、体积公式列出方程求解，因此两个空缺依次为未知量、已知量。
【答案】
$10x+y$；$100x+10y+z$；未知量；已知量
【知识点】
数字类代数式表示；几何应用题解题要点
【点评】
本题属于基础知识点梳理内容，是后续列方程解决数字应用题、几何图形应用题的核心基础，需要熟练掌握相关表达式的书写和解题思路。
【难度系数】
0.9
例 软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化.
如图①是李叔叔的软笔作品,是长 180 cm、宽 90 cm 的矩形,为了美观,李叔叔装裱了此作品,将作品四周裱上边衬(上、下边衬宽度相等,左、右边衬宽度也相等),装裱后的作品如图②,左、右边衬的宽度是上、下边衬宽度的 2 倍,面积为原作品的 1.21 倍,求上、下边衬的宽度.
解:设上、下边衬的宽度是$x$ cm,则左、右边衬的宽度是$2x$ cm,依题意,得
$(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90$,
即$(90+2x)^2=9801$.
解得$x_1=4.5, x_2=-94.5$(不符合题意,舍去).
答:上、下边衬的宽度是4.5 cm.
方法点拨 解这类边框问题时,先设上、下边衬的宽度为$x$ cm,则左、右边衬的宽度为$2x$ cm,再根据装裱后矩形的长为$(180+4x)$cm,宽为$(90+2x)$cm,结合装裱后面积是原面积的1.21倍列一元二次方程求解,最后舍去负根,得到符合实际意义的边衬宽度.
如图①是李叔叔的软笔作品,是长 180 cm、宽 90 cm 的矩形,为了美观,李叔叔装裱了此作品,将作品四周裱上边衬(上、下边衬宽度相等,左、右边衬宽度也相等),装裱后的作品如图②,左、右边衬的宽度是上、下边衬宽度的 2 倍,面积为原作品的 1.21 倍,求上、下边衬的宽度.
解:设上、下边衬的宽度是$x$ cm,则左、右边衬的宽度是$2x$ cm,依题意,得
$(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90$,
即$(90+2x)^2=9801$.
解得$x_1=4.5, x_2=-94.5$(不符合题意,舍去).
答:上、下边衬的宽度是4.5 cm.
方法点拨 解这类边框问题时,先设上、下边衬的宽度为$x$ cm,则左、右边衬的宽度为$2x$ cm,再根据装裱后矩形的长为$(180+4x)$cm,宽为$(90+2x)$cm,结合装裱后面积是原面积的1.21倍列一元二次方程求解,最后舍去负根,得到符合实际意义的边衬宽度.
答案
解：设上、下边衬的宽度是$x$ cm，则左、右边衬的宽度是$2x$ cm，
依题意，得
$(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90$
化简得：
$(90+2x)^2=9801$
解得$x_1=4.5$，$x_2=-94.5$。
因为边衬的宽度为正数，所以$x=-94.5$不符合实际意义，舍去。
答：上、下边衬的宽度是4.5 cm。
依题意，得
$(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90$
化简得：
$(90+2x)^2=9801$
解得$x_1=4.5$，$x_2=-94.5$。
因为边衬的宽度为正数，所以$x=-94.5$不符合实际意义，舍去。
答：上、下边衬的宽度是4.5 cm。
解析
【分析】
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先根据上下边衬和左右边衬的宽度关系设未知数，设上、下边衬宽度为$x$ cm，则左、右边衬宽度为$2x$ cm；2. 推导装裱后整体矩形的长和宽：原作品长180cm，左右各加$2x$ cm，所以装裱后长为$(180+4x)$cm，原作品宽90cm，上下各加$x$ cm，所以装裱后宽为$(90+2x)$cm；3. 找等量关系：装裱后总面积=原作品面积×1.21，据此列一元二次方程；4. 求解方程后，结合边衬宽度为正数的实际要求舍去负根，得到最终结果。
【解析】
解：设上、下边衬的宽度是$x$ cm，则左、右边衬的宽度是$2x$ cm，
依题意，得
$(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90$
化简得：
$(90+2x)^2=9801$
直接开平方得$90+2x=±99$，
解得$x_1=4.5$，$x_2=-94.5$。
因为边衬的宽度为正数，所以$x=-94.5$不符合实际意义，舍去。
答：上、下边衬的宽度是4.5 cm。
【答案】
4.5 cm
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题属于边框类实际应用问题，核心是将实际问题中的长度、面积关系转化为数学方程，解题时要注意准确表示变化后图形的边长，同时求解方程后必须结合实际意义检验根的合理性，是方程实际应用的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先根据上下边衬和左右边衬的宽度关系设未知数，设上、下边衬宽度为$x$ cm，则左、右边衬宽度为$2x$ cm；2. 推导装裱后整体矩形的长和宽：原作品长180cm，左右各加$2x$ cm，所以装裱后长为$(180+4x)$cm，原作品宽90cm，上下各加$x$ cm，所以装裱后宽为$(90+2x)$cm；3. 找等量关系：装裱后总面积=原作品面积×1.21，据此列一元二次方程；4. 求解方程后，结合边衬宽度为正数的实际要求舍去负根，得到最终结果。
【解析】
解：设上、下边衬的宽度是$x$ cm，则左、右边衬的宽度是$2x$ cm，
依题意，得
$(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90$
化简得：
$(90+2x)^2=9801$
直接开平方得$90+2x=±99$，
解得$x_1=4.5$，$x_2=-94.5$。
因为边衬的宽度为正数，所以$x=-94.5$不符合实际意义，舍去。
答：上、下边衬的宽度是4.5 cm。
【答案】
4.5 cm
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题属于边框类实际应用问题，核心是将实际问题中的长度、面积关系转化为数学方程，解题时要注意准确表示变化后图形的边长，同时求解方程后必须结合实际意义检验根的合理性，是方程实际应用的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
