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7.已知α,β是方程$x^2 -4x -1=0$的两个根，则代数式$α^2 +β^2$的值为（
A.22
B.20
C.18
D.16
C
）A.22
B.20
C.18
D.16
答案
7.C
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的两根，求两根平方和的问题，有两种思路：一是先求方程的两个根再代入计算，但计算过程较繁琐；二是利用完全平方公式将所求代数式变形为与两根之和、两根之积相关的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，这种方法更简便。首先我们需要先确定方程的各项系数，求出两根之和与两根之积，再代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -4x -1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为$α$、$β$，则：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
根据完全平方公式变形可得：$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$。
将$α+β=4$，$αβ=-1$代入上式：
$α^2+β^2=4^2 -2×(-1)=16+2=18$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握常见代数式的变形技巧，将所求式子转化为可直接用韦达定理计算的形式，能有效简化计算过程，是该模块的高频考点。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程的两根，求两根平方和的问题，有两种思路：一是先求方程的两个根再代入计算，但计算过程较繁琐；二是利用完全平方公式将所求代数式变形为与两根之和、两根之积相关的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，这种方法更简便。首先我们需要先确定方程的各项系数，求出两根之和与两根之积，再代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -4x -1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为$α$、$β$，则：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$。
根据完全平方公式变形可得：$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$。
将$α+β=4$，$αβ=-1$代入上式：
$α^2+β^2=4^2 -2×(-1)=16+2=18$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握常见代数式的变形技巧，将所求式子转化为可直接用韦达定理计算的形式，能有效简化计算过程，是该模块的高频考点。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx -2 =0$的一个根为-1，则另一个根为________，$m$的值为________。
答案
8.2 -1
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出m的值，再解方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根的乘积关系求另一个根，再通过两根的和求m的值，其中韦达定理解题更快捷。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中方程$x^2 + mx -2 =0$里$a=1$，$b=m$，$c=-2$，已知一个根为$-1$：
1. 由两根之积可得：$x_1 × (-1) = \frac{-2}{1} = -2$，解得$x_1 = 2$，即另一个根为2；
2. 由两根之和可得：$2 + (-1) = -m$，即$1 = -m$，解得$m=-1$。
方法二（代入法）：
1. 将$x=-1$代入原方程得：$(-1)^2 + m×(-1) -2 = 0$，化简得$1 - m - 2 = 0$，解得$m=-1$；
2. 把$m=-1$代入原方程得$x^2 - x - 2 =0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，故另一个根为2。
【答案】
2；-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法均容易掌握，熟练运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出m的值，再解方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根的乘积关系求另一个根，再通过两根的和求m的值，其中韦达定理解题更快捷。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中方程$x^2 + mx -2 =0$里$a=1$，$b=m$，$c=-2$，已知一个根为$-1$：
1. 由两根之积可得：$x_1 × (-1) = \frac{-2}{1} = -2$，解得$x_1 = 2$，即另一个根为2；
2. 由两根之和可得：$2 + (-1) = -m$，即$1 = -m$，解得$m=-1$。
方法二（代入法）：
1. 将$x=-1$代入原方程得：$(-1)^2 + m×(-1) -2 = 0$，化简得$1 - m - 2 = 0$，解得$m=-1$；
2. 把$m=-1$代入原方程得$x^2 - x - 2 =0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，故另一个根为2。
【答案】
2；-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程相关性质的应用，两种解题方法均容易掌握，熟练运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
9. 若一个菱形两条对角线的长度是方程$x^2 -4x+3=0$的两个根,则该菱形的面积为（
A.3
B.4
C.$\frac{3}{2}$
D.2
C
）A.3
B.4
C.$\frac{3}{2}$
D.2
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先明确目标是求菱形的面积，回忆菱形面积与对角线相关的计算公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，因此只需算出两条对角线的乘积即可。已知两条对角线是给定一元二次方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系，无需解出方程的具体根，直接求出两根的乘积，再代入面积公式就能得到结果。
【解析】
设方程$x^2 -4x+3=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，即菱形两条对角线的长度分别为$x_1$、$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中$a=1$，$c=3$，因此$x_1x_2=3$。
根据菱形的面积公式：$S=\frac{1}{2}×$对角线1$×$对角线2，代入得：
$S=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数几何综合的基础题，解题关键是牢记菱形面积公式和韦达定理，利用根与系数的关系直接求两根乘积，可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确目标是求菱形的面积，回忆菱形面积与对角线相关的计算公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，因此只需算出两条对角线的乘积即可。已知两条对角线是给定一元二次方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系，无需解出方程的具体根，直接求出两根的乘积，再代入面积公式就能得到结果。
【解析】
设方程$x^2 -4x+3=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，即菱形两条对角线的长度分别为$x_1$、$x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中$a=1$，$c=3$，因此$x_1x_2=3$。
根据菱形的面积公式：$S=\frac{1}{2}×$对角线1$×$对角线2，代入得：
$S=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数几何综合的基础题，解题关键是牢记菱形面积公式和韦达定理，利用根与系数的关系直接求两根乘积，可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 小影和小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是
（
A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
（
B
）A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时要用到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。小影仅写错常数项，说明她计算得到的两根之和是正确的，可据此求出原方程正确的一次项系数；小冬仅写错一次项系数，说明他计算得到的两根之积是正确的，可据此求出原方程正确的常数项，组合两个正确的系数即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（与选项形式一致，二次项系数为1）：
1. 小影写错常数项，一次项系数$b$正确，她得到的两根为6和1，根据韦达定理：
两根之和$6+1=-b$，解得$b=-7$，即原方程一次项系数为-7。
2. 小冬写错一次项系数，常数项$c$正确，他得到的两根为-2和-5，根据韦达定理：
两根之积$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$，即原方程常数项为10。
综上，原方程为$x^2-7x+10=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的项的认识
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是明确写错某一类项时，另一类项对应的根的运算结果是正确的，不需要求出原方程的根，通过两根和与积即可快速确定方程系数，能很好地考查对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时要用到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。小影仅写错常数项，说明她计算得到的两根之和是正确的，可据此求出原方程正确的一次项系数；小冬仅写错一次项系数，说明他计算得到的两根之积是正确的，可据此求出原方程正确的常数项，组合两个正确的系数即可得到原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（与选项形式一致，二次项系数为1）：
1. 小影写错常数项，一次项系数$b$正确，她得到的两根为6和1，根据韦达定理：
两根之和$6+1=-b$，解得$b=-7$，即原方程一次项系数为-7。
2. 小冬写错一次项系数，常数项$c$正确，他得到的两根为-2和-5，根据韦达定理：
两根之积$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$，即原方程常数项为10。
综上，原方程为$x^2-7x+10=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的项的认识
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是明确写错某一类项时，另一类项对应的根的运算结果是正确的，不需要求出原方程的根，通过两根和与积即可快速确定方程系数，能很好地考查对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 $。
(1)求证:无论$ m $取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2)如果方程的两个实数根为$ x_1, x_2 $,且$ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求$ m $的值。
(1)求证:无论$ m $取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2)如果方程的两个实数根为$ x_1, x_2 $,且$ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求$ m $的值。
答案
11. (1)证明:$\Delta =[-(m+2)]^2 -4×1×(m-1)=m^2 +8.$
$\because \quad$ 无论 $m$ 取何值,$m^2 +8＞0$ 恒成立，
$\therefore \quad$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)$m$ 的值为 1 或-2.
$\because \quad$ 无论 $m$ 取何值,$m^2 +8＞0$ 恒成立，
$\therefore \quad$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)$m$ 的值为 1 或-2.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值都有两个不相等的实数根，只需证明方程的判别式$\Delta$恒大于0即可。先根据一元二次方程一般式确定$a、b、c$的值，代入$\Delta =b^2-4ac$化简，再根据平方的非负性判断$\Delta$的符号即可。
（2）已知两根的代数式关系求参数$m$，需利用根与系数的关系，先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再将待求式$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$利用完全平方公式变形为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入后得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)$
展开计算得：$\Delta = m^2 +4m +4 -4m +4 = m^2 +8$
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$恒成立，
∴ $m^2 +8≥8＞0$
∴ 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1x_2 = m - 1$
对已知条件变形：$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 -x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
代入$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 =9$得：
$(m+2)^2 - 3(m-1) =9$
展开整理得：$m^2 +4m +4 -3m +3 =9$，即$m^2 +m -2=0$
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$
解得$m=1$或$m=-2$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为1或-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，既考查了根的个数与判别式的对应关系，又考查了韦达定理的应用，需要熟练掌握代数式用两根和、两根积变形的方法，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值都有两个不相等的实数根，只需证明方程的判别式$\Delta$恒大于0即可。先根据一元二次方程一般式确定$a、b、c$的值，代入$\Delta =b^2-4ac$化简，再根据平方的非负性判断$\Delta$的符号即可。
（2）已知两根的代数式关系求参数$m$，需利用根与系数的关系，先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，再将待求式$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$利用完全平方公式变形为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入后得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)$
展开计算得：$\Delta = m^2 +4m +4 -4m +4 = m^2 +8$
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$恒成立，
∴ $m^2 +8≥8＞0$
∴ 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1x_2 = m - 1$
对已知条件变形：$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 -x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$
代入$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 =9$得：
$(m+2)^2 - 3(m-1) =9$
展开整理得：$m^2 +4m +4 -3m +3 =9$，即$m^2 +m -2=0$
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$
解得$m=1$或$m=-2$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为1或-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，既考查了根的个数与判别式的对应关系，又考查了韦达定理的应用，需要熟练掌握代数式用两根和、两根积变形的方法，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
12. 阅读材料,解答问题:
已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^2 - m - 1 = 0, n^2 - n - 1 = 0 $,且 $ m≠n $,则 $ m,n $ 是方程 $ x^2 - x -1 =0 $ 的两个不相等的实数根,由根与系数的关系就可以知道 $ m $ 与 $ n $ 的和, $ m $ 与 $ n $ 的积.
(1)【材料理解】
$ m+n = $
(2)【类比应用】
已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^2 -5a +1 =0, b^2 -5b +1 =0 $,且 $ a≠b $,求 $ a^2 +b^2 $ 的值.
(3)【思维拓展】
已知实数 $ s,t $ 满足 $ 2s^2 -7s +1 =0, t^2 -7t +2 =0 $,且 $ st≠1 $,求 $ \frac{2st +2}{st +3t +1} $ 的值.
已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^2 - m - 1 = 0, n^2 - n - 1 = 0 $,且 $ m≠n $,则 $ m,n $ 是方程 $ x^2 - x -1 =0 $ 的两个不相等的实数根,由根与系数的关系就可以知道 $ m $ 与 $ n $ 的和, $ m $ 与 $ n $ 的积.
(1)【材料理解】
$ m+n = $
1
, $ mn = $ -1
.(2)【类比应用】
已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^2 -5a +1 =0, b^2 -5b +1 =0 $,且 $ a≠b $,求 $ a^2 +b^2 $ 的值.
(3)【思维拓展】
已知实数 $ s,t $ 满足 $ 2s^2 -7s +1 =0, t^2 -7t +2 =0 $,且 $ st≠1 $,求 $ \frac{2st +2}{st +3t +1} $ 的值.
答案
12. (1)1 -1
(2)$\because \quad$ 实数 $a ,b$ 满足 $a^2 -5a +1 =0 ,b^2 -5b +1 =0 ,$且 $a ≠ b ,$
$\therefore \quad$ 实数 $a ,b$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 -5x +1 =0$ 的两个不相等的实数根.
$\therefore \quad a+b=5 ,ab=1.$
$\therefore \quad a^2 +b^2 =(a+b)^2 -2ab =5^2 -2×1=23.$
(3)$\because \quad t^2 -7t +2 =0 ,$当 $t=0$ 时,$t^2 -7t +2 =2 ≠ 0 ,$
$\therefore \quad t ≠ 0.$
$\therefore \quad \frac{2}{t^2} -\frac{7}{t} +1 =0.$
$\because \quad st ≠ 1 ,$
$\therefore \quad s ≠ \frac{1}{t}.$
又 $\quad 2s^2 -7s +1 =0 ,$
$\therefore \quad s ,\frac{1}{t}$ 是关于 $x$ 的方程 $2x^2 -7x +1 =0$ 的两个不相等的实数根.
$\therefore \quad s+\frac{1}{t} =\frac{7}{2} ,即\frac{st+1}{t} =\frac{7}{2}.$
$\therefore \quad st+1 =\frac{7}{2}t.$
$\therefore \quad \frac{2st+2}{st+3t+1} =\frac{2(st+1)}{(st+1)+3t} =\frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t+3t} =\frac{7t}{\frac{13}{2}t} =\frac{14}{13}.$
(2)$\because \quad$ 实数 $a ,b$ 满足 $a^2 -5a +1 =0 ,b^2 -5b +1 =0 ,$且 $a ≠ b ,$
$\therefore \quad$ 实数 $a ,b$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 -5x +1 =0$ 的两个不相等的实数根.
$\therefore \quad a+b=5 ,ab=1.$
$\therefore \quad a^2 +b^2 =(a+b)^2 -2ab =5^2 -2×1=23.$
(3)$\because \quad t^2 -7t +2 =0 ,$当 $t=0$ 时,$t^2 -7t +2 =2 ≠ 0 ,$
$\therefore \quad t ≠ 0.$
$\therefore \quad \frac{2}{t^2} -\frac{7}{t} +1 =0.$
$\because \quad st ≠ 1 ,$
$\therefore \quad s ≠ \frac{1}{t}.$
又 $\quad 2s^2 -7s +1 =0 ,$
$\therefore \quad s ,\frac{1}{t}$ 是关于 $x$ 的方程 $2x^2 -7x +1 =0$ 的两个不相等的实数根.
$\therefore \quad s+\frac{1}{t} =\frac{7}{2} ,即\frac{st+1}{t} =\frac{7}{2}.$
$\therefore \quad st+1 =\frac{7}{2}t.$
$\therefore \quad \frac{2st+2}{st+3t+1} =\frac{2(st+1)}{(st+1)+3t} =\frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t+3t} =\frac{7t}{\frac{13}{2}t} =\frac{14}{13}.$
解析
【分析】
(1) 材料明确m、n是方程$x^2 - x -1=0$的两个不等实根，直接根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积为常数项除以二次项系数，即可求出结果。
(2) 类比材料思路，由a、b满足同结构方程且$a≠b$，可得a、b是方程$x^2-5x+1=0$的两个不等实根，先求出$a+b$和$ab$的值，再将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2 - 2ab$，代入计算即可。
(3) 观察s和t满足的方程，二者系数不同，先验证$t≠0$，将t的方程两边同时除以$t^2$，得到与s的方程结构完全相同的关于$\frac{1}{t}$的方程，结合$st≠1$即$s≠\frac{1}{t}$，可得s和$\frac{1}{t}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$s+\frac{1}{t}$的值，再将所求代数式变形后整体代入即可求解。
【解析】
(1) 已知m、n是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系：
$m + n = -\frac{-1}{1} = 1$，$mn = \frac{-1}{1} = -1$。
(2) $\because$ 实数$a,b$满足$a^2 -5a +1 =0, b^2 -5b +1 =0$，且$a≠b$，
$\therefore$ 实数$a,b$是关于$x$的方程$x^2 -5x +1 =0$的两个不相等的实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$a + b = 5$，$ab = 1$，
$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×1 = 25 - 2 = 23$。
(3) $\because t^2 -7t +2 =0$，当$t=0$时，左边$=0 - 0 + 2 = 2 ≠ 0$，
$\therefore t ≠ 0$，
将方程$t^2 -7t +2 =0$两边同时除以$t^2$，得：$2·(\frac{1}{t})^2 -7·(\frac{1}{t}) +1 =0$，
$\because st ≠ 1$，$\therefore s ≠ \frac{1}{t}$，
又$\because 2s^2 -7s +1 =0$，
$\therefore s$和$\frac{1}{t}$是关于$x$的方程$2x^2 -7x +1 =0$的两个不相等的实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$s + \frac{1}{t} = \frac{7}{2}$，
即 $\frac{st + 1}{t} = \frac{7}{2}$，整理得$st + 1 = \frac{7}{2}t$，
$\therefore \frac{2st +2}{st +3t +1} = \frac{2(st + 1)}{(st + 1) + 3t} = \frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t + 3t} = \frac{7t}{\frac{13}{2}t} = \frac{14}{13}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{-1}$；(2) $\boxed{23}$；(3) $\boxed{\frac{14}{13}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
3. 代数式整体代入求值
【点评】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系展开，从基础应用到拓展提升，逐层考查学生的类比迁移能力和代数变形能力，第三问需要通过方程变形构造同结构方程，体现了转化思想的应用，能有效提升学生对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 材料明确m、n是方程$x^2 - x -1=0$的两个不等实根，直接根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积为常数项除以二次项系数，即可求出结果。
(2) 类比材料思路，由a、b满足同结构方程且$a≠b$，可得a、b是方程$x^2-5x+1=0$的两个不等实根，先求出$a+b$和$ab$的值，再将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2 - 2ab$，代入计算即可。
(3) 观察s和t满足的方程，二者系数不同，先验证$t≠0$，将t的方程两边同时除以$t^2$，得到与s的方程结构完全相同的关于$\frac{1}{t}$的方程，结合$st≠1$即$s≠\frac{1}{t}$，可得s和$\frac{1}{t}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$s+\frac{1}{t}$的值，再将所求代数式变形后整体代入即可求解。
【解析】
(1) 已知m、n是方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系：
$m + n = -\frac{-1}{1} = 1$，$mn = \frac{-1}{1} = -1$。
(2) $\because$ 实数$a,b$满足$a^2 -5a +1 =0, b^2 -5b +1 =0$，且$a≠b$，
$\therefore$ 实数$a,b$是关于$x$的方程$x^2 -5x +1 =0$的两个不相等的实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$a + b = 5$，$ab = 1$，
$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×1 = 25 - 2 = 23$。
(3) $\because t^2 -7t +2 =0$，当$t=0$时，左边$=0 - 0 + 2 = 2 ≠ 0$，
$\therefore t ≠ 0$，
将方程$t^2 -7t +2 =0$两边同时除以$t^2$，得：$2·(\frac{1}{t})^2 -7·(\frac{1}{t}) +1 =0$，
$\because st ≠ 1$，$\therefore s ≠ \frac{1}{t}$，
又$\because 2s^2 -7s +1 =0$，
$\therefore s$和$\frac{1}{t}$是关于$x$的方程$2x^2 -7x +1 =0$的两个不相等的实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$s + \frac{1}{t} = \frac{7}{2}$，
即 $\frac{st + 1}{t} = \frac{7}{2}$，整理得$st + 1 = \frac{7}{2}t$，
$\therefore \frac{2st +2}{st +3t +1} = \frac{2(st + 1)}{(st + 1) + 3t} = \frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t + 3t} = \frac{7t}{\frac{13}{2}t} = \frac{14}{13}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{-1}$；(2) $\boxed{23}$；(3) $\boxed{\frac{14}{13}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
3. 代数式整体代入求值
【点评】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系展开，从基础应用到拓展提升，逐层考查学生的类比迁移能力和代数变形能力，第三问需要通过方程变形构造同结构方程，体现了转化思想的应用，能有效提升学生对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
