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1. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=2x^2 -4x +5$的顶点坐标是（
A.$(-1, 3)$
B.$(1, -3)$
C.$(1, 3)$
D.$(-1, -3)$
C
）A.$(-1, 3)$
B.$(1, -3)$
C.$(1, 3)$
D.$(-1, -3)$
答案
1. C
解析
【分析】
要求二次函数的顶点坐标，有两种符合学段要求的常用思路：一是直接利用顶点坐标公式代入计算，二是通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标。首先先确定一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值，再对应选用方法计算即可。
【解析】
方法1：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=2，b=-4，c=5$，代入计算：
横坐标：$x=-\frac{-4}{2×2}=1$
纵坐标：$y=\frac{4×2×5 - (-4)^2}{4×2}=\frac{40-16}{8}=3$
因此顶点坐标为$(1,3)$。
方法2：配方法
将一般式转化为顶点式：
$y=2x^2-4x+5$
$=2(x^2-2x)+5$
$=2(x^2-2x+1-1)+5$
$=2[(x-1)^2-1]+5$
$=2(x-1)^2-2+5$
$=2(x-1)^2+3$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此顶点坐标为$(1,3)$。
综上本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；配方法
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，核心考察顶点坐标的求解方法，熟练掌握配方法或者顶点坐标公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要求二次函数的顶点坐标，有两种符合学段要求的常用思路：一是直接利用顶点坐标公式代入计算，二是通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标。首先先确定一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值，再对应选用方法计算即可。
【解析】
方法1：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=2，b=-4，c=5$，代入计算：
横坐标：$x=-\frac{-4}{2×2}=1$
纵坐标：$y=\frac{4×2×5 - (-4)^2}{4×2}=\frac{40-16}{8}=3$
因此顶点坐标为$(1,3)$。
方法2：配方法
将一般式转化为顶点式：
$y=2x^2-4x+5$
$=2(x^2-2x)+5$
$=2(x^2-2x+1-1)+5$
$=2[(x-1)^2-1]+5$
$=2(x-1)^2-2+5$
$=2(x-1)^2+3$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此顶点坐标为$(1,3)$。
综上本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；配方法
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，核心考察顶点坐标的求解方法，熟练掌握配方法或者顶点坐标公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 若二次函数 $ y = -x^2 -2x + 3 $，当 $ m ≤ x ≤ 2 $ 时，$ y $ 有最大值4，最小值-5，则 $ m $ 的取值范围是（
A.$ -4 ≤ m ≤ 2 $
B.$ -4 ≤ m ≤ -1 $
C.$ m ≤ -1 $
D.$ -1 ≤ m ≤ 2 $
B
）A.$ -4 ≤ m ≤ 2 $
B.$ -4 ≤ m ≤ -1 $
C.$ m ≤ -1 $
D.$ -1 ≤ m ≤ 2 $
答案
2. B
解析
【分析】
解决这道二次函数区间最值问题，我们可以按以下思路思考：第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数的增减性规律；第二步求出函数值为-5时对应的x值；第三步结合给定区间的右端点x=2分析最值条件：要让区间[m,2]内函数最大值为4（即顶点的函数值），则顶点横坐标必须落在区间内；要让区间内最小值为-5，则区间左端点m不能小于y=-5对应的左侧x值，否则会出现比-5更小的函数值，结合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 先将二次函数化为顶点式：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x+1)+1+3=-(x+1)^2+4$
由此可知：函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$，即当$x=-1$时，$y$取得最大值4；
函数增减性为：$x＜-1$时，$y$随$x$增大而增大；$x＞-1$时，$y$随$x$增大而减小。
2. 求函数值为-5时对应的x值：
令$-x^2-2x+3=-5$，整理得$x^2+2x-8=0$，因式分解为$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$。
3. 结合区间$m≤x≤2$分析最值条件：
① 要使区间内y的最大值为4，说明对称轴$x=-1$必须在区间$[m,2]$内，因此$m≤-1$；
② 要使区间内y的最小值为-5，若$m＜-4$，则$x=m$时的函数值会小于-5，不符合要求，因此$m≥-4$。
综上可得$m$的取值范围是$-4≤m≤-1$。
【答案】B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；二次函数增减性
【点评】
本题核心考查二次函数在固定右端点区间内的最值求解，解题关键是先明确函数的开口方向、对称轴与增减性，再结合最值对应的自变量取值，推导区间左端点的范围，解题时要注意验证顶点是否落在区间内，避免漏考虑最大值的成立条件。
【难度系数】
0.6
解决这道二次函数区间最值问题，我们可以按以下思路思考：第一步先将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数的增减性规律；第二步求出函数值为-5时对应的x值；第三步结合给定区间的右端点x=2分析最值条件：要让区间[m,2]内函数最大值为4（即顶点的函数值），则顶点横坐标必须落在区间内；要让区间内最小值为-5，则区间左端点m不能小于y=-5对应的左侧x值，否则会出现比-5更小的函数值，结合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 先将二次函数化为顶点式：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x+1)+1+3=-(x+1)^2+4$
由此可知：函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$，即当$x=-1$时，$y$取得最大值4；
函数增减性为：$x＜-1$时，$y$随$x$增大而增大；$x＞-1$时，$y$随$x$增大而减小。
2. 求函数值为-5时对应的x值：
令$-x^2-2x+3=-5$，整理得$x^2+2x-8=0$，因式分解为$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$。
3. 结合区间$m≤x≤2$分析最值条件：
① 要使区间内y的最大值为4，说明对称轴$x=-1$必须在区间$[m,2]$内，因此$m≤-1$；
② 要使区间内y的最小值为-5，若$m＜-4$，则$x=m$时的函数值会小于-5，不符合要求，因此$m≥-4$。
综上可得$m$的取值范围是$-4≤m≤-1$。
【答案】B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；二次函数增减性
【点评】
本题核心考查二次函数在固定右端点区间内的最值求解，解题关键是先明确函数的开口方向、对称轴与增减性，再结合最值对应的自变量取值，推导区间左端点的范围，解题时要注意验证顶点是否落在区间内，避免漏考虑最大值的成立条件。
【难度系数】
0.6
3. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+b$ 和一次函数 $y=ax+b$，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
C
）答案
3. C
解析
【分析】
本题为同一坐标系下一次函数与二次函数图像共存的判断问题，解题核心是验证两个函数中参数a、b的符号是否保持一致：
1. 首先找两个函数的共性：令x=0，两个函数的函数值均为b，因此二者与y轴的交点都是(0,b)，可先排除交点不一致的选项；
2. 其次根据二次函数开口方向确定a的符号：开口向上则a＞0，开口向下则a＜0；再结合一次函数的增减性（斜率正负）验证a的符号是否匹配：一次函数从左下向右上倾斜则a＞0，从左上向右下倾斜则a＜0，排除a符号矛盾的选项；
3. 最后结合y轴交点判断b的符号，再通过二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$验证对称轴位置是否和图像一致，最终确定正确选项。
【解析】
步骤1：验证y轴交点一致性
令x=0，二次函数$y=ax^2+bx+b$的函数值为b，一次函数$y=ax+b$的函数值也为b，因此两个函数与y轴交于同一点(0,b)：
选项A中一次函数交y轴正半轴、二次函数交y轴负半轴，交点不一致，排除A；
步骤2：验证参数a的符号一致性
选项D中二次函数开口向下，说明$a＜0$，但一次函数从左下向右上倾斜，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除D；
选项B中二次函数开口向上，说明$a＞0$，一次函数从左下向右上倾斜，a的符号符合；再看y轴交点都在正半轴，说明$b＞0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＞0,b＞0$，得对称轴$x＜0$（在y轴左侧），但选项B中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除B；
步骤3：验证选项C的合理性
选项C中二次函数开口向下，得$a＜0$，一次函数从左上向右下倾斜，a的符号符合；两个函数都交y轴正半轴，得$b＞0$；此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0,b＞0$，得$x＞0$（在y轴右侧），和图像中二次函数最高点在y轴右侧的特征完全匹配，因此C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，解题时不需要计算具体数值，只需通过参数的符号一致性逐一排除错误选项即可，掌握一次函数、二次函数的图象和参数的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题为同一坐标系下一次函数与二次函数图像共存的判断问题，解题核心是验证两个函数中参数a、b的符号是否保持一致：
1. 首先找两个函数的共性：令x=0，两个函数的函数值均为b，因此二者与y轴的交点都是(0,b)，可先排除交点不一致的选项；
2. 其次根据二次函数开口方向确定a的符号：开口向上则a＞0，开口向下则a＜0；再结合一次函数的增减性（斜率正负）验证a的符号是否匹配：一次函数从左下向右上倾斜则a＞0，从左上向右下倾斜则a＜0，排除a符号矛盾的选项；
3. 最后结合y轴交点判断b的符号，再通过二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$验证对称轴位置是否和图像一致，最终确定正确选项。
【解析】
步骤1：验证y轴交点一致性
令x=0，二次函数$y=ax^2+bx+b$的函数值为b，一次函数$y=ax+b$的函数值也为b，因此两个函数与y轴交于同一点(0,b)：
选项A中一次函数交y轴正半轴、二次函数交y轴负半轴，交点不一致，排除A；
步骤2：验证参数a的符号一致性
选项D中二次函数开口向下，说明$a＜0$，但一次函数从左下向右上倾斜，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除D；
选项B中二次函数开口向上，说明$a＞0$，一次函数从左下向右上倾斜，a的符号符合；再看y轴交点都在正半轴，说明$b＞0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＞0,b＞0$，得对称轴$x＜0$（在y轴左侧），但选项B中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除B；
步骤3：验证选项C的合理性
选项C中二次函数开口向下，得$a＜0$，一次函数从左上向右下倾斜，a的符号符合；两个函数都交y轴正半轴，得$b＞0$；此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0,b＞0$，得$x＞0$（在y轴右侧），和图像中二次函数最高点在y轴右侧的特征完全匹配，因此C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，解题时不需要计算具体数值，只需通过参数的符号一致性逐一排除错误选项即可，掌握一次函数、二次函数的图象和参数的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，有如下结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ 2a + b = 0 $；③ $ a - b + c ＞ 0 $；④ $ 4ac - b^2 ＜ 0 $。其中正确的结论有（
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A
）A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
4. A
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断结论的问题，核心是结合图象特征对应系数和代数式的性质：第一步先由开口方向判断a的正负，由对称轴公式推导a和b的关系、判断b的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负；第二步逐个验证结论：计算abc的符号判断①，由对称轴公式变形判断②，将x=-1代入函数得到a-b+c，结合图象上x=-1的位置判断函数值正负验证③，由抛物线与x轴交点个数和判别式的关系验证④。
【解析】
1. 分析a、b、c的符号与关系：
抛物线开口向上，因此 $a＞0$；
抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得 $b=-2a＜0$，因此 $2a+b=0$，结论②正确；
抛物线与y轴交于负半轴，因此 $c＜0$。
2. 验证结论①：$abc = 正数×负数×负数 = 正数＞0$，因此①$abc＜0$错误。
3. 验证结论③：$a-b+c$是$x=-1$时的函数值。由对称轴$x=1$，抛物线与x轴右侧交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间，根据对称性可得左侧交点在$(-1,0)$和$(0,0)$之间；开口向上时，x小于左侧交点横坐标时函数值大于0，$x=-1$在左侧交点左侧，因此$x=-1$时$y=a-b+c＞0$，结论③正确。
4. 验证结论④：抛物线与x轴有2个交点，因此判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，变形得$4ac-b^2=-\Delta＜0$，结论④正确。
综上，正确的结论为②③④，共3个。
【答案】A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数判别式的意义
【点评】
本题考查二次函数图象与代数结论的对应判断，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点、特殊点函数值对应的代数规律，结合对称性分析区间位置是判断x=-1处函数值的关键。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象判断结论的问题，核心是结合图象特征对应系数和代数式的性质：第一步先由开口方向判断a的正负，由对称轴公式推导a和b的关系、判断b的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负；第二步逐个验证结论：计算abc的符号判断①，由对称轴公式变形判断②，将x=-1代入函数得到a-b+c，结合图象上x=-1的位置判断函数值正负验证③，由抛物线与x轴交点个数和判别式的关系验证④。
【解析】
1. 分析a、b、c的符号与关系：
抛物线开口向上，因此 $a＞0$；
抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得 $b=-2a＜0$，因此 $2a+b=0$，结论②正确；
抛物线与y轴交于负半轴，因此 $c＜0$。
2. 验证结论①：$abc = 正数×负数×负数 = 正数＞0$，因此①$abc＜0$错误。
3. 验证结论③：$a-b+c$是$x=-1$时的函数值。由对称轴$x=1$，抛物线与x轴右侧交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间，根据对称性可得左侧交点在$(-1,0)$和$(0,0)$之间；开口向上时，x小于左侧交点横坐标时函数值大于0，$x=-1$在左侧交点左侧，因此$x=-1$时$y=a-b+c＞0$，结论③正确。
4. 验证结论④：抛物线与x轴有2个交点，因此判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，变形得$4ac-b^2=-\Delta＜0$，结论④正确。
综上，正确的结论为②③④，共3个。
【答案】A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数判别式的意义
【点评】
本题考查二次函数图象与代数结论的对应判断，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点、特殊点函数值对应的代数规律，结合对称性分析区间位置是判断x=-1处函数值的关键。
【难度系数】
0.7
5. 在二次函数$y=x^2 - bx + c$中，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$b$的取值范围是
$b≥2$
。答案
5. $b≥2$
解析
【分析】
首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题中二次项系数a=1＞0，可知抛物线开口向上，此时在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。题目要求x＜1时y随x的增大而减小，说明x＜1的取值范围必须全部落在对称轴左侧（包含对称轴本身），因此我们只需要先求出该抛物线的对称轴，再根据对称轴和x=1的大小关系列不等式求解即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2 - bx + c$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，
该抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-b}{2a} = \frac{b}{2}$，
∵ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴ 对称轴需满足$\frac{b}{2} ≥ 1$，
解得$b ≥ 2$。
【答案】
$b≥ 2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用类题目，解题的关键是牢记开口方向确定后，增减性对应的取值范围与对称轴的位置关系，特别要注意不要漏掉“等号”的情况，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7
首先，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。本题中二次项系数a=1＞0，可知抛物线开口向上，此时在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。题目要求x＜1时y随x的增大而减小，说明x＜1的取值范围必须全部落在对称轴左侧（包含对称轴本身），因此我们只需要先求出该抛物线的对称轴，再根据对称轴和x=1的大小关系列不等式求解即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2 - bx + c$，
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，
该抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-b}{2a} = \frac{b}{2}$，
∵ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴ 对称轴需满足$\frac{b}{2} ≥ 1$，
解得$b ≥ 2$。
【答案】
$b≥ 2$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数增减性的基础应用类题目，解题的关键是牢记开口方向确定后，增减性对应的取值范围与对称轴的位置关系，特别要注意不要漏掉“等号”的情况，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7
6. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$，当$x=1$时，函数值是4；当$x=2$时，函数值是3.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（3，2）是否在该抛物线上.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点（3，2）是否在该抛物线上.
答案
6. 解 （1）由题意得$\begin{cases}1+b+c=4,\\4+2b+c=3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4,\\c=7.\end{cases}$ 所以这个二次函数的解析式为$y=x^2-4x+7$.
（2）当$x=3$时，$y=3^2-4×3+7=4≠2$，
所以点（3，2）不在该抛物线上.
解得$\begin{cases}b=-4,\\c=7.\end{cases}$ 所以这个二次函数的解析式为$y=x^2-4x+7$.
（2）当$x=3$时，$y=3^2-4×3+7=4≠2$，
所以点（3，2）不在该抛物线上.
解析
【分析】
（1）要确定二次函数$y=x^2+bx+c$的解析式，需先求出未知系数$b$、$c$的值。题目给出了两组$x$和对应函数值$y$的条件，将两组值分别代入函数表达式，可得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$后回代即可得到解析式。
（2）判断点是否在抛物线上的核心逻辑是：函数图象上的点的坐标满足函数解析式。只需将点的横坐标代入解析式计算函数值，若结果和点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
【解析】
（1）根据题意，将$x=1,y=4$和$x=2,y=3$分别代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}1+b+c=4\\4+2b+c=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$c$，得$3+b=-1$，解得$b=-4$。
把$b=-4$代入$1+b+c=4$，得$1-4+c=4$，解得$c=7$。
因此二次函数的解析式为$y=x^2-4x+7$。
（2）把$x=3$代入$y=x^2-4x+7$，计算得：
$y=3^2-4×3+7=9-12+7=4$
因为$4≠2$，所以点$(3,2)$不在该抛物线上。
【答案】
（1）$y=x^2-4x+7$；（2）点（3，2）不在该抛物线上。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，运算量小，解题逻辑清晰，掌握待定系数法的应用规则以及点与函数图象的判定方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要确定二次函数$y=x^2+bx+c$的解析式，需先求出未知系数$b$、$c$的值。题目给出了两组$x$和对应函数值$y$的条件，将两组值分别代入函数表达式，可得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$后回代即可得到解析式。
（2）判断点是否在抛物线上的核心逻辑是：函数图象上的点的坐标满足函数解析式。只需将点的横坐标代入解析式计算函数值，若结果和点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
【解析】
（1）根据题意，将$x=1,y=4$和$x=2,y=3$分别代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}1+b+c=4\\4+2b+c=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$c$，得$3+b=-1$，解得$b=-4$。
把$b=-4$代入$1+b+c=4$，得$1-4+c=4$，解得$c=7$。
因此二次函数的解析式为$y=x^2-4x+7$。
（2）把$x=3$代入$y=x^2-4x+7$，计算得：
$y=3^2-4×3+7=9-12+7=4$
因为$4≠2$，所以点$(3,2)$不在该抛物线上。
【答案】
（1）$y=x^2-4x+7$；（2）点（3，2）不在该抛物线上。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象上点的特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，运算量小，解题逻辑清晰，掌握待定系数法的应用规则以及点与函数图象的判定方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 如图，抛物线$y=ax^2+bx-4$经过A，B，C三点. 已知点B的坐标为$(-1, 0)$，且$OA=4OB$.
(1) 求A，C两点的坐标；
(2) 求抛物线的解析式.
(1) 求A，C两点的坐标；
(2) 求抛物线的解析式.
答案
7. 解 （1）因为点B的坐标为（-1，0），
所以$OB=1$. 所以$OA=4OB=4$.
所以$A(4, 0)$. 当$x=0$时，$y=ax^2+bx-4=-4$，所以$C(0, -4)$.
（2）设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-4)$. 把$C(0, -4)$代入得$-4=a×1×(-4)$，解得$a=1$. 所以抛物线的解析式为$y=(x+1)(x-4)$，即$y=x^2-3x-4$.
所以$OB=1$. 所以$OA=4OB=4$.
所以$A(4, 0)$. 当$x=0$时，$y=ax^2+bx-4=-4$，所以$C(0, -4)$.
（2）设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-4)$. 把$C(0, -4)$代入得$-4=a×1×(-4)$，解得$a=1$. 所以抛物线的解析式为$y=(x+1)(x-4)$，即$y=x^2-3x-4$.
解析
【分析】
先求解第(1)问：首先根据点B的坐标得到OB的长度，结合OA=4OB的关系算出OA的长度，再根据A在x轴正半轴的位置得到A点坐标；C为抛物线与y轴的交点，y轴上所有点的横坐标为0，将x=0代入抛物线表达式即可求出C点纵坐标，得到C点坐标。
再求解第(2)问：已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，可设二次函数的交点式简化计算，再将C点坐标代入交点式求出参数a的值，整理后即可得到抛物线的一般式解析式。
【解析】
(1) 已知点B的坐标为$(-1,0)$，因此$OB=1$。
由$OA=4OB$，得$OA=4×1=4$，又点A在x轴正半轴，故$A(4,0)$。
C是抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入$y=ax^2+bx-4$，得$y=-4$，因此$C(0,-4)$。
(2) 已知抛物线与x轴交于$A(4,0)$、$B(-1,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x+1)(x-4)$（$a\ne0$）。
将$C(0,-4)$代入解析式得：$-4=a×(0+1)×(0-4)$，
即$-4=-4a$，解得$a=1$。
将$a=1$代入交点式展开得$y=(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$，即抛物线解析式为$y=x^2-3x-4$。
【答案】
(1) $A(4,0)$，$C(0,-4)$；
(2) $y=x^2-3x-4$
【知识点】
坐标轴点的特征，待定系数法，二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查坐标轴上点的坐标特点和待定系数法求二次函数解析式，合理选用交点式可以简化计算步骤，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
先求解第(1)问：首先根据点B的坐标得到OB的长度，结合OA=4OB的关系算出OA的长度，再根据A在x轴正半轴的位置得到A点坐标；C为抛物线与y轴的交点，y轴上所有点的横坐标为0，将x=0代入抛物线表达式即可求出C点纵坐标，得到C点坐标。
再求解第(2)问：已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，可设二次函数的交点式简化计算，再将C点坐标代入交点式求出参数a的值，整理后即可得到抛物线的一般式解析式。
【解析】
(1) 已知点B的坐标为$(-1,0)$，因此$OB=1$。
由$OA=4OB$，得$OA=4×1=4$，又点A在x轴正半轴，故$A(4,0)$。
C是抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入$y=ax^2+bx-4$，得$y=-4$，因此$C(0,-4)$。
(2) 已知抛物线与x轴交于$A(4,0)$、$B(-1,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x+1)(x-4)$（$a\ne0$）。
将$C(0,-4)$代入解析式得：$-4=a×(0+1)×(0-4)$，
即$-4=-4a$，解得$a=1$。
将$a=1$代入交点式展开得$y=(x+1)(x-4)=x^2-3x-4$，即抛物线解析式为$y=x^2-3x-4$。
【答案】
(1) $A(4,0)$，$C(0,-4)$；
(2) $y=x^2-3x-4$
【知识点】
坐标轴点的特征，待定系数法，二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查坐标轴上点的坐标特点和待定系数法求二次函数解析式，合理选用交点式可以简化计算步骤，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
