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9. 抛物线$y=a(x-1)^2 +k$的部分图象如图所示，则$a +k$的值为
3
。答案
9. 3
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式$y=a(x-1)^2+k$，从图象中可直接读取抛物线与y轴的交点坐标为$(0,3)$，该点在抛物线上，满足函数解析式，因此将该点坐标代入解析式，化简后即可直接得到$a+k$的值，无需分别求出$a$和$k$的具体数值。
【解析】
由图象可知，抛物线与y轴交于点$(0,3)$，将$x=0$，$y=3$代入解析式$y=a(x-1)^2 +k$，得：
$\begin{aligned}3&=a×(0-1)^2 +k\\3&=a×1 +k\\a+k&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题关键是从图象中提取有效坐标信息，代入解析式后观察式子结构直接得到所求代数式的值，避免不必要的计算，可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察抛物线解析式为顶点式$y=a(x-1)^2+k$，从图象中可直接读取抛物线与y轴的交点坐标为$(0,3)$，该点在抛物线上，满足函数解析式，因此将该点坐标代入解析式，化简后即可直接得到$a+k$的值，无需分别求出$a$和$k$的具体数值。
【解析】
由图象可知，抛物线与y轴交于点$(0,3)$，将$x=0$，$y=3$代入解析式$y=a(x-1)^2 +k$，得：
$\begin{aligned}3&=a×(0-1)^2 +k\\3&=a×1 +k\\a+k&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题关键是从图象中提取有效坐标信息，代入解析式后观察式子结构直接得到所求代数式的值，避免不必要的计算，可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
10. 已知抛物线 $y=3(x-2)^2+4$ 的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴于点B。
（1）求当x为何值时，y随x的增大而增大；
（2）求△OAB的面积。
（1）求当x为何值时，y随x的增大而增大；
（2）求△OAB的面积。
答案
10. 解（1）因为抛物线 $y=3(x-2)^2+4$，
所以对称轴为 $x=2$，开口向上。
所以当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
（2）因为抛物线 $y=3(x-2)^2+4$ 的顶点为 $A$，原点为 $O$，该抛物线交 $y$ 轴于点 $B$，
所以点 $A$ 的坐标为 $(2,4)$，点 $O$ 的坐标为 $(0,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,16)$。
所以 $S_{△ OAB}=\frac{(16-0)×2}{2}=16$。
即$△ OAB$ 的面积为 16。
所以对称轴为 $x=2$，开口向上。
所以当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
（2）因为抛物线 $y=3(x-2)^2+4$ 的顶点为 $A$，原点为 $O$，该抛物线交 $y$ 轴于点 $B$，
所以点 $A$ 的坐标为 $(2,4)$，点 $O$ 的坐标为 $(0,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,16)$。
所以 $S_{△ OAB}=\frac{(16-0)×2}{2}=16$。
即$△ OAB$ 的面积为 16。
解析
【分析】
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可先由$a$的正负判断开口方向，再从解析式直接得到对称轴为$x=h$；当$a＞0$即抛物线开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，按此思路即可求解。
（2）求$△ OAB$的面积首先要确定三个点的坐标：顶点$A$的坐标可由顶点式直接得$(h,k)$，原点$O$坐标为$(0,0)$，$y$轴交点$B$的坐标可令$x=0$代入解析式计算；观察可知$O$、$B$都在$y$轴上，可将$OB$作为底，点$A$到$y$轴的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）已知抛物线解析式为$y=3(x-2)^2+4$，
可得$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，
因此当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
（2）由抛物线顶点式可得顶点$A$的坐标为$(2,4)$，原点$O$坐标为$(0,0)$，
令$x=0$代入抛物线解析式，得$y=3×(0-2)^2+4=3×4+4=16$，即$B$点坐标为$(0,16)$，
线段$OB$长度为$16-0=16$，点$A$到$y$轴的距离为$2$，
因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×16×2=16$。
【答案】
（1）当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；
（2）$△ OAB$的面积为$16$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，坐标系图形面积计算
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，核心是熟练掌握顶点式下对称轴、顶点坐标的求解方法，结合坐标轴上点的坐标特征可简化面积计算，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可先由$a$的正负判断开口方向，再从解析式直接得到对称轴为$x=h$；当$a＞0$即抛物线开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，按此思路即可求解。
（2）求$△ OAB$的面积首先要确定三个点的坐标：顶点$A$的坐标可由顶点式直接得$(h,k)$，原点$O$坐标为$(0,0)$，$y$轴交点$B$的坐标可令$x=0$代入解析式计算；观察可知$O$、$B$都在$y$轴上，可将$OB$作为底，点$A$到$y$轴的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）已知抛物线解析式为$y=3(x-2)^2+4$，
可得$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，
因此当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
（2）由抛物线顶点式可得顶点$A$的坐标为$(2,4)$，原点$O$坐标为$(0,0)$，
令$x=0$代入抛物线解析式，得$y=3×(0-2)^2+4=3×4+4=16$，即$B$点坐标为$(0,16)$，
线段$OB$长度为$16-0=16$，点$A$到$y$轴的距离为$2$，
因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×16×2=16$。
【答案】
（1）当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；
（2）$△ OAB$的面积为$16$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，坐标系图形面积计算
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，核心是熟练掌握顶点式下对称轴、顶点坐标的求解方法，结合坐标轴上点的坐标特征可简化面积计算，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
11. 已知 $ y $ 是 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 值中较小的一个，其中 $ y_1 = x + 1 $，$ y_2 = x^2 - 1 $，则当 $ -\dfrac{3}{2} ≤ x ≤ 3 $ 时，$ y $ 的最小值与最大值的和为
3
。答案
11. 3
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确y的取值规则：始终取$y_1=x+1$和$y_2=x^2-1$中更小的那个。解题步骤如下：第一步，先求两个函数的交点，即令$y_1=y_2$，解方程得到分界点x的值；第二步，以分界点为界划分x的区间，分别判断每个区间内$y_1$和$y_2$的大小关系，得到y的分段表达式；第三步，结合给定的x范围$-\dfrac{3}{2} ≤x ≤3$，分别计算各段区间内y的最值，再综合得到整个定义域内y的最大值和最小值，最后相加即可。
【解析】
首先求两函数的交点，令$ y_1 = y_2 $，即：
$ x + 1 = x^2 - 1 $
整理得：$ x^2 - x - 2 = 0 $
因式分解得：$ (x - 2)(x + 1) = 0 $
解得：$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
接下来分区间讨论y的取值：
1. 当$ -\dfrac{3}{2} ≤ x ≤ -1 $时，验证可知$ y_1 ＜ y_2 $，故$ y = x + 1 $。
这是递增的一次函数，此区间内y的取值范围为$ -\dfrac{1}{2} ≤ y ≤ 0 $。
2. 当$ -1 ＜ x ＜ 2 $时，可知$ y_2 ＜ y_1 $，故$ y = x^2 - 1 $。
这是开口向上的二次函数，对称轴为$ x=0 $，此区间内y的最小值为x=0时的$ -1 $，最大值接近x=2时的3，即取值范围为$ -1 ≤ y ＜ 3 $。
3. 当$ 2 ≤ x ≤ 3 $时，可知$ y_1 ＜ y_2 $，故$ y = x + 1 $。
这是递增的一次函数，此区间内y的取值范围为$ 3 ≤ y ≤ 4 $。
综合三个区间的y值可得：y的最小值为$ -1 $，最大值为$ 4 $，两者之和为$ -1 + 4 = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
一次函数性质，二次函数性质，分段函数最值
【点评】
本题结合一次函数与二次函数考察分段函数的最值求解，解题核心是先通过求函数交点确定分段区间，再结合函数的增减性在给定定义域范围内求最值，需要注意对各区间最值的综合对比，避免漏算。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确y的取值规则：始终取$y_1=x+1$和$y_2=x^2-1$中更小的那个。解题步骤如下：第一步，先求两个函数的交点，即令$y_1=y_2$，解方程得到分界点x的值；第二步，以分界点为界划分x的区间，分别判断每个区间内$y_1$和$y_2$的大小关系，得到y的分段表达式；第三步，结合给定的x范围$-\dfrac{3}{2} ≤x ≤3$，分别计算各段区间内y的最值，再综合得到整个定义域内y的最大值和最小值，最后相加即可。
【解析】
首先求两函数的交点，令$ y_1 = y_2 $，即：
$ x + 1 = x^2 - 1 $
整理得：$ x^2 - x - 2 = 0 $
因式分解得：$ (x - 2)(x + 1) = 0 $
解得：$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
接下来分区间讨论y的取值：
1. 当$ -\dfrac{3}{2} ≤ x ≤ -1 $时，验证可知$ y_1 ＜ y_2 $，故$ y = x + 1 $。
这是递增的一次函数，此区间内y的取值范围为$ -\dfrac{1}{2} ≤ y ≤ 0 $。
2. 当$ -1 ＜ x ＜ 2 $时，可知$ y_2 ＜ y_1 $，故$ y = x^2 - 1 $。
这是开口向上的二次函数，对称轴为$ x=0 $，此区间内y的最小值为x=0时的$ -1 $，最大值接近x=2时的3，即取值范围为$ -1 ≤ y ＜ 3 $。
3. 当$ 2 ≤ x ≤ 3 $时，可知$ y_1 ＜ y_2 $，故$ y = x + 1 $。
这是递增的一次函数，此区间内y的取值范围为$ 3 ≤ y ≤ 4 $。
综合三个区间的y值可得：y的最小值为$ -1 $，最大值为$ 4 $，两者之和为$ -1 + 4 = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
一次函数性质，二次函数性质，分段函数最值
【点评】
本题结合一次函数与二次函数考察分段函数的最值求解，解题核心是先通过求函数交点确定分段区间，再结合函数的增减性在给定定义域范围内求最值，需要注意对各区间最值的综合对比，避免漏算。
【难度系数】
0.6
12. 已知抛物线$y=(x+1)^2 -4$与x轴正半轴交于点A，顶点为B.
(1) 求直线AB的解析式；
(2) 过点$P(t, 0)$作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AB于点N，当MN的长为3时，求t的值.
(1) 求直线AB的解析式；
(2) 过点$P(t, 0)$作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AB于点N，当MN的长为3时，求t的值.
答案
12. 解（1）由解析式可知抛物线顶点 $B$ 的坐标为 $(-1,-4)$。
当 $y=0$ 时， $(x+1)^2-4=0$，解得 $x_1=1$，$x_2=-3$。因为抛物线与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$，所以 $A(1,0)$。设直线 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$。将点 $A$ 和点 $B$ 的坐标代入，得$\begin{cases}-k+b=-4,\\k+b=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$
所以直线 $AB$ 的解析式为 $y=2x-2$。
（2）由条件可知点 $M(t, (t+1)^2-4)$。
因为过点 $P(t, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $AB$ 于点 $N$，所以点 $N(t, 2t-2)$。
所以 $MN$ 的长为$|(t+1)^2-4-(2t-2)|$
$=|t^2+2t+1-4-2t+2|$
$=|t^2-1|$。
因为 $MN$ 的长为 3，所以 $|t^2-1|=3$。
所以 $t^2-1=\pm3$。当 $t^2-1=3$ 时，$t^2=4$，解得 $t=2$ 或 $t=-2$。当 $t^2-1=-3$ 时，$t^2=-2$（无实数解）。
所以 $t$ 的值为 2 或 $-2$。
当 $y=0$ 时， $(x+1)^2-4=0$，解得 $x_1=1$，$x_2=-3$。因为抛物线与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$，所以 $A(1,0)$。设直线 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$。将点 $A$ 和点 $B$ 的坐标代入，得$\begin{cases}-k+b=-4,\\k+b=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$
所以直线 $AB$ 的解析式为 $y=2x-2$。
（2）由条件可知点 $M(t, (t+1)^2-4)$。
因为过点 $P(t, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $AB$ 于点 $N$，所以点 $N(t, 2t-2)$。
所以 $MN$ 的长为$|(t+1)^2-4-(2t-2)|$
$=|t^2+2t+1-4-2t+2|$
$=|t^2-1|$。
因为 $MN$ 的长为 3，所以 $|t^2-1|=3$。
所以 $t^2-1=\pm3$。当 $t^2-1=3$ 时，$t^2=4$，解得 $t=2$ 或 $t=-2$。当 $t^2-1=-3$ 时，$t^2=-2$（无实数解）。
所以 $t$ 的值为 2 或 $-2$。
解析
【分析】
（1）要得到直线AB的解析式，需先确定点A、B的坐标：抛物线为顶点式，可直接读出顶点B的坐标；再令抛物线解析式中y=0，解方程得到抛物线与x轴的交点，取正半轴的交点即为点A，最后用待定系数法代入两点坐标即可求出直线AB的解析式。
（2）过P(t,0)作x轴的垂线时，M、N两点的横坐标均为t，分别代入抛物线和直线AB的解析式得到两点纵坐标，线段MN的长度为两点纵坐标差的绝对值（线段长度为非负数），根据MN=3列绝对值方程求解，舍去无实数解的情况即可得到t的值。
【解析】
（1）由抛物线解析式$y=(x+1)^2 -4$（顶点式），可得顶点B的坐标为$(-1,-4)$。
令$y=0$，则$(x+1)^2 -4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
因为点A是抛物线与x轴正半轴的交点，所以$A(1,0)$。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(1,0)、B(-1,-4)代入得：
$\begin{cases}k+b=0\\-k+b=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=-2\end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=2x-2$。
（2）过点$P(t,0)$作x轴的垂线，所以M、N的横坐标均为t。
将$x=t$代入抛物线解析式得$M(t, (t+1)^2 -4)$，将$x=t$代入直线AB解析式得$N(t, 2t-2)$。
则MN的长度为：
$MN=|(t+1)^2 -4 - (2t-2)|=|t^2+2t+1-4-2t+2|=|t^2-1|$
已知$MN=3$，所以$|t^2-1|=3$，即$t^2-1=3$或$t^2-1=-3$。
当$t^2-1=3$时，$t^2=4$，解得$t=2$或$t=-2$；
当$t^2-1=-3$时，$t^2=-2$，无实数解，舍去。
【答案】
（1）直线AB的解析式为$\boldsymbol{y=2x-2}$；
（2）t的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
1.二次函数的图像与性质
2.待定系数法求一次函数解析式
3.坐标与线段长度的关系
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是准确获取关键点坐标，再通过坐标关系表示线段长度，注意计算线段长度时要添加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要得到直线AB的解析式，需先确定点A、B的坐标：抛物线为顶点式，可直接读出顶点B的坐标；再令抛物线解析式中y=0，解方程得到抛物线与x轴的交点，取正半轴的交点即为点A，最后用待定系数法代入两点坐标即可求出直线AB的解析式。
（2）过P(t,0)作x轴的垂线时，M、N两点的横坐标均为t，分别代入抛物线和直线AB的解析式得到两点纵坐标，线段MN的长度为两点纵坐标差的绝对值（线段长度为非负数），根据MN=3列绝对值方程求解，舍去无实数解的情况即可得到t的值。
【解析】
（1）由抛物线解析式$y=(x+1)^2 -4$（顶点式），可得顶点B的坐标为$(-1,-4)$。
令$y=0$，则$(x+1)^2 -4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
因为点A是抛物线与x轴正半轴的交点，所以$A(1,0)$。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(1,0)、B(-1,-4)代入得：
$\begin{cases}k+b=0\\-k+b=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=-2\end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=2x-2$。
（2）过点$P(t,0)$作x轴的垂线，所以M、N的横坐标均为t。
将$x=t$代入抛物线解析式得$M(t, (t+1)^2 -4)$，将$x=t$代入直线AB解析式得$N(t, 2t-2)$。
则MN的长度为：
$MN=|(t+1)^2 -4 - (2t-2)|=|t^2+2t+1-4-2t+2|=|t^2-1|$
已知$MN=3$，所以$|t^2-1|=3$，即$t^2-1=3$或$t^2-1=-3$。
当$t^2-1=3$时，$t^2=4$，解得$t=2$或$t=-2$；
当$t^2-1=-3$时，$t^2=-2$，无实数解，舍去。
【答案】
（1）直线AB的解析式为$\boldsymbol{y=2x-2}$；
（2）t的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$。
【知识点】
1.二次函数的图像与性质
2.待定系数法求一次函数解析式
3.坐标与线段长度的关系
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是准确获取关键点坐标，再通过坐标关系表示线段长度，注意计算线段长度时要添加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
