9.如图，$△ ABC$的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，则$\cos∠ ABC$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

9.B

【分析】
要求cos∠ABC的值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦是该角所在直角三角形中邻边与斜边的比值。因此我们需要先构造出包含∠ABC的直角三角形，结合网格特点设小正方形边长为1，利用勾股定理计算出所需线段的长度，再代入定义计算比值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由网格可得：BD=3，AD=3。
在Rt△ABD中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
根据余弦的定义，$\cos∠ ABC=\frac{∠ ABC的邻边}{斜边}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题的核心是合理构造直角三角形，准确计算相关线段的长度，需要牢记各锐角三角函数的定义，避免混淆邻边、对边和斜边。
【难度系数】
0.8

10.[2026·池州贵池区一模]如图,在$7×7$的网格中,每个小正方形的边长均为1,点$A,B,C$均在格点(网格线的交点)上,则$\tan A$的值为 ()

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$5$
D.$4$

10.A

【分析】
要求$\tan A$的值，需结合正切的定义，将$∠ A$放在直角三角形中，求出$∠ A$的对边与邻边的比值。我们可以先通过坐标法确定各格点的坐标，计算$△ ABC$的面积、$AB$和$AC$的长度，再利用面积法求出$AC$边上的高，最后在直角三角形中结合勾股定理求出$∠ A$的邻边，即可计算正切值。
【解析】
设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,3)$，$B(3,0)$，$C(5,0)$。
1. 计算相关量：
$BC$的长度为$5-3=2$，点$A$到$BC$（$x$轴）的垂直距离为3，因此$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(5-0)^2 + (0-3)^2}=\sqrt{34}$。
2. 过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD$，代入数值：
$3=\frac{1}{2} × \sqrt{34} × BD$，解得$BD=\frac{6}{\sqrt{34}}$。
3. 在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{18 - \frac{36}{34}}=\frac{24}{\sqrt{34}}$。
4. 根据正切的定义：$\tan A=\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{6}{\sqrt{34}}}{\frac{24}{\sqrt{34}}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数值的求解，解题核心是构造含目标角的直角三角形，结合面积法、勾股定理得到对应边的长度，再代入三角函数定义计算，解题时要注意准确数格确定各点位置，避免计数错误。
【难度系数】
0.6

11.如图,在正方形方格纸中,每个小方格的边长都为1,点A,B,C,D都在格点(网格线的交点)上,AB与CD相交于点O,则$\sin∠ BOD$的值为。

11.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

【分析】
要求$\sin∠ BOD$的值，直接在原图中构造含$∠ BOD$的直角三角形难度较大，因此可利用转化思想，通过平移将$∠ BOD$转化为格点三角形的内角，再用割补法求三角形面积，结合勾股定理得到对应边的长度，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
解：取格点$E$、$F$，使射线$OE$、$OF$分别与$AB$、$CD$同向，则$∠ EOF=∠ BOD$。
1. 由勾股定理计算三边长：
$OE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OF=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{(2-1)^2+(1+1)^2}=\sqrt{5}$。
2. 用割补法求$△ EOF$的面积：
$S_{△ EOF}=2×2 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×1×1 - \frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$。
3. 过点$E$作$EG⊥ OF$于点$G$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$\frac{1}{2}× OF× EG=\frac{3}{2}$，代入$OF=\sqrt{2}$，解得$EG=\frac{3}{\sqrt{2}}$。
4. 在$Rt△ EOG$中，根据正弦的定义：
$\sin∠ EOF=\frac{EG}{OE}=\frac{\frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，故$\sin∠ BOD=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，网格面积计算
【点评】
本题是网格中锐角三角函数求解的典型题型，解题核心是通过转化思想将所求角转移到易计算的三角形中，综合运用了勾股定理、面积法等知识，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12. 在$△ ABC$中，$∠ A=120°$，$AB=4$，$AC=2$，则$\sin B$的值是（）

A.$\frac{5\sqrt{7}}{14}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{21}}{7}$
D.$\frac{\sqrt{21}}{14}$

12.D

【分析】
要计算sinB的值，可通过构造直角三角形将∠B放入直角三角形中求解。已知∠A=120°，我们可以过点C作BA延长线的垂线，得到两个直角三角形，先利用特殊角的锐角三角函数求出Rt△ACD的边长，再用勾股定理求出BC的长度，最后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=180°-120°=60°。
在Rt△ACD中，AC=2：
$AD = AC · \cos60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$CD = AC · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
∵AB=4，
∴$BD = AB + AD = 4 + 1 = 5$。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
根据正弦的定义，$\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$（分母有理化后结果）。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题核心考查锐角三角函数的求解，构造直角三角形的辅助线作法是解题的突破口，同时结合了特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，能有效检验学生对几何辅助线构造和解直角三角形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7

13. 如图，AD 是△ABC 的中线，$\tan B = \frac{1}{5}$，$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$.
(1)求 BC 的长；
(2)求∠ADC 的正弦值.

13.(1)6 (2)$\frac{\sqrt{5}}{5}$

【分析】
解题时我们通过构造直角三角形将已知三角函数条件转化为边长关系：①首先过点A作AE⊥BC于E，先在Rt△ACE中利用cosC的取值和AC的长度求出CE、AE的长度；再在Rt△ABE中利用tanB的取值求出BE的长度，BC的长度为BE与CE之和。②第二问先根据中线的性质求出DC的长度，进而得到DE的长度，用勾股定理求出AD的长度后，根据正弦的定义即可求出∠ADC的正弦值。
【解析】
(1) 过点A作$AE⊥ BC$于点E：
在$Rt△ ACE$中，$\cos C=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$，
$\therefore CE=AC·\cos C=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
由勾股定理得$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$；
在$Rt△ ABE$中，$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{5}$，$AE=1$，
$\therefore BE=5AE=5$，
$\therefore BC=BE+CE=5+1=6$。
(2) $\because$AD是$△ ABC$的中线，$BC=6$，
$\therefore DC=\frac{1}{2}BC=3$，
$\therefore DE=DC-CE=3-1=2$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$\therefore \sin∠ ADC=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，核心解题思路是通过作高构造直角三角形，将已知的三角函数值转化为线段长度关系，结合中线性质即可求解，掌握锐角三角函数的定义和直角三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

14. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$为$BC$上一点，$AB=5$，$BD=1$，$\tan B=\dfrac{3}{4}$。
(1)求$AD$的长；
(2)求$\sin α$的值。

14.(1)$3\sqrt{2}$ (2)$\frac{\sqrt{2}}{10}$

【分析】
(1) 求AD的长时，先在Rt△ABC中，结合$\tan B$的定义和勾股定理求出AC、BC的长度，再计算CD的长度，最后在Rt△ACD中用勾股定理即可求出AD。
(2) 求$\sinα$的值时，$α$为$∠ BAD$，可过D作AB的垂线DE，先利用$△ ABD$的两种面积计算方式求出DE的长度，再在Rt△ADE中根据正弦函数的定义（对边比斜边）计算$\sinα$即可。
【解析】
解：(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，
设$AC=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
$\because AB=5$，$\therefore 5k=5$，解得$k=1$，
$\therefore AC=3$，$BC=4$，
$\because BD=1$，$\therefore CD=BC-BD=4-1=3$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
(2) 过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，
$△ ABD$的面积可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AC$，也可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，
$\therefore \frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}× AB× DE$，
代入$BD=1$，$AC=3$，$AB=5$，得$1×3=5× DE$，解得$DE=\frac{3}{5}$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ AED=90°$，
$\sinα=\sin∠ DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\sqrt{2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{10}}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形面积计算
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，通过设参数求直角三角形边长是基础操作，利用面积法求垂线段长度是求解非直角三角形内锐角三角函数值的常用技巧，解题时需结合图形理清边角对应关系。
【难度系数】
0.65