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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$AC=1$，则下列结论正确的是（
A.$∠ A=30°$
B.$∠ B=30°$
C.$BC=1$
D.$∠ A=45°$
B
）A.$∠ A=30°$
B.$∠ B=30°$
C.$BC=1$
D.$∠ A=45°$
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中各边和各角的对应关系，已知$∠ C=90°$，所以$AB$是斜边，$∠ B$的对边是$AC$，$∠ A$的对边是$BC$；第二步可以通过特殊角的三角函数值判断角度，或者利用“直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为$30°$”的性质求解；第三步逐一验证各选项排除错误答案即可得到正确选项。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB$为斜边，$AB=2$，$AC=1$。
1. 判断$∠ B$的度数：$∠ B$的对边为$AC$，因此$\sin B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，又因为$∠ B$是锐角，所以$∠ B=30°$，故B选项正确。
2. 验证其余选项：
对A、D选项：$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，$∠ A$为锐角，故$∠ A=60°$，A、D均错误；
对C选项：由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}≠1$，故C错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形、特殊角的三角函数值、勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形的基础运算，核心是掌握直角三角形边角对应关系和特殊锐角的三角函数值，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中各边和各角的对应关系，已知$∠ C=90°$，所以$AB$是斜边，$∠ B$的对边是$AC$，$∠ A$的对边是$BC$；第二步可以通过特殊角的三角函数值判断角度，或者利用“直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为$30°$”的性质求解；第三步逐一验证各选项排除错误答案即可得到正确选项。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB$为斜边，$AB=2$，$AC=1$。
1. 判断$∠ B$的度数：$∠ B$的对边为$AC$，因此$\sin B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，又因为$∠ B$是锐角，所以$∠ B=30°$，故B选项正确。
2. 验证其余选项：
对A、D选项：$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，$∠ A$为锐角，故$∠ A=60°$，A、D均错误；
对C选项：由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}≠1$，故C错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形、特殊角的三角函数值、勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形的基础运算，核心是掌握直角三角形边角对应关系和特殊锐角的三角函数值，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC=3\sqrt{6}$，解这个直角三角形。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because AC=BC=3\sqrt{6}$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = \frac{180° - 90°}{2}=45°$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{54+54} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$。
综上，$∠ A=∠ B=45°$，斜边$AB=6\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because AC=BC=3\sqrt{6}$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = \frac{180° - 90°}{2}=45°$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{54+54} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$。
综上，$∠ A=∠ B=45°$，斜边$AB=6\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出三角形中所有未知的边和角。首先观察已知条件：Rt△ABC中∠C=90°，且两条直角边AC=BC，可判断该三角形是等腰直角三角形，因此两个锐角相等，可结合三角形内角和先求出未知锐角的度数；再根据已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because AC=BC=3\sqrt{6}$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = \frac{180° - 90°}{2}=45°$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{54+54} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$。
【答案】
$∠ A=∠ B=45°$，$AB=6\sqrt{3}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查等腰直角三角形的边角关系计算，只要熟练掌握相关性质和勾股定理，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解直角三角形的目标是求出三角形中所有未知的边和角。首先观察已知条件：Rt△ABC中∠C=90°，且两条直角边AC=BC，可判断该三角形是等腰直角三角形，因此两个锐角相等，可结合三角形内角和先求出未知锐角的度数；再根据已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because AC=BC=3\sqrt{6}$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = \frac{180° - 90°}{2}=45°$。
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{54+54} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$。
【答案】
$∠ A=∠ B=45°$，$AB=6\sqrt{3}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查等腰直角三角形的边角关系计算，只要熟练掌握相关性质和勾股定理，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=42°$。若$BC=m$，则$AB=$（
A.$\dfrac{m}{\cos42°}$
B.$m\cos42°$
C.$m\sin42°$
D.$m\tan42°$
A
）A.$\dfrac{m}{\cos42°}$
B.$m\cos42°$
C.$m\sin42°$
D.$m\tan42°$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直角三角形中锐角三角函数的定义，结合已知条件判断已知角对应的边的类型：已知∠B=42°，BC是∠B的邻边，AB是直角三角形的斜边，因此选择余弦函数建立边与角的关系，再通过公式变形即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值，即：
$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
将$∠ B=42°$，$BC=m$代入上式得：
$\cos42°=\frac{m}{AB}$
对式子变形可得：
$AB=\frac{m}{\cos42°}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础类题型，核心考查锐角三角函数中余弦的应用，解题的关键是准确区分已知角对应的邻边、对边和斜边，再代入对应三角函数公式变形求解，熟练掌握各类锐角三角函数的定义是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确直角三角形中锐角三角函数的定义，结合已知条件判断已知角对应的边的类型：已知∠B=42°，BC是∠B的邻边，AB是直角三角形的斜边，因此选择余弦函数建立边与角的关系，再通过公式变形即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值，即：
$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
将$∠ B=42°$，$BC=m$代入上式得：
$\cos42°=\frac{m}{AB}$
对式子变形可得：
$AB=\frac{m}{\cos42°}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础类题型，核心考查锐角三角函数中余弦的应用，解题的关键是准确区分已知角对应的邻边、对边和斜边，再代入对应三角函数公式变形求解，熟练掌握各类锐角三角函数的定义是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8
4. [2024·六安期末]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\frac{2}{3}$，$BC=5$，则$AB=$
$3\sqrt{5}$
.答案
4.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先结合锐角三角函数中余弦的定义，得到∠A的邻边AC与斜边AB的比例关系，通过设参数k表示AC和AB的长度，再利用直角三角形的勾股定理列方程求解参数k，最后代入即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$
设$AC=2k$（$k＞0$），则$AB=3k$，
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
已知$BC=5$，代入得：
$(2k)^2 + 5^2 = (3k)^2$
$4k^2 + 25 = 9k^2$
$5k^2=25$
$k^2=5$
$\because k＞0$，$\therefore k=\sqrt{5}$
$\therefore AB=3k=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合勾股定理建立方程求解，计算难度较低，掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时先结合锐角三角函数中余弦的定义，得到∠A的邻边AC与斜边AB的比例关系，通过设参数k表示AC和AB的长度，再利用直角三角形的勾股定理列方程求解参数k，最后代入即可求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义：
$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$
设$AC=2k$（$k＞0$），则$AB=3k$，
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
已知$BC=5$，代入得：
$(2k)^2 + 5^2 = (3k)^2$
$4k^2 + 25 = 9k^2$
$5k^2=25$
$k^2=5$
$\because k＞0$，$\therefore k=\sqrt{5}$
$\therefore AB=3k=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
余弦的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，结合勾股定理建立方程求解，计算难度较低，掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,D是AC上一点,过点D作$DE⊥ AB$于点E.已知$\sin B=\dfrac{3}{5}$,$AD=2CD=2$,求BE的长.
答案
5.$\dfrac{19}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据已知线段关系求出AC的总长度；2. 在Rt△ABC中，利用sinB的定义求出AB的长度；3. 由同角的余角相等推出∠ADE=∠B，得到二者的正弦值相等；4. 在Rt△ADE中利用正弦值求出AE的长度；5. 用AB减去AE即可得到BE的长度。
【解析】
解：
∵AD=2CD=2，
∴CD=1，$AC=AD+CD=2+1=3$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
将AC=3代入得：$\dfrac{3}{AB}=\dfrac{3}{5}$，解得$AB=5$。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，又∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，即$\sin∠ ADE=\sin B=\dfrac{3}{5}$。
在Rt△ADE中，$\sin∠ ADE=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{5}$，AD=2，
∴$AE=2×\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{5}$，
∴$BE=AB-AE=5-\dfrac{6}{5}=\dfrac{19}{5}$。
【答案】
$\dfrac{19}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，同角的余角相等
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题关键是利用同角的余角相等实现等角的三角函数值转化，再结合锐角三角函数的定义计算对应线段长度，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据已知线段关系求出AC的总长度；2. 在Rt△ABC中，利用sinB的定义求出AB的长度；3. 由同角的余角相等推出∠ADE=∠B，得到二者的正弦值相等；4. 在Rt△ADE中利用正弦值求出AE的长度；5. 用AB减去AE即可得到BE的长度。
【解析】
解：
∵AD=2CD=2，
∴CD=1，$AC=AD+CD=2+1=3$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
将AC=3代入得：$\dfrac{3}{AB}=\dfrac{3}{5}$，解得$AB=5$。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，又∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，即$\sin∠ ADE=\sin B=\dfrac{3}{5}$。
在Rt△ADE中，$\sin∠ ADE=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{5}$，AD=2，
∴$AE=2×\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{5}$，
∴$BE=AB-AE=5-\dfrac{6}{5}=\dfrac{19}{5}$。
【答案】
$\dfrac{19}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，同角的余角相等
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题关键是利用同角的余角相等实现等角的三角函数值转化，再结合锐角三角函数的定义计算对应线段长度，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
6. [教材P140例2改编]如图,在$△ ABC$中, $∠ B=30°,AC=2,\cos C=\dfrac{3}{5}$,则$AB$的长为
$\dfrac{16}{5}$
.答案
6.$\dfrac{16}{5}$
解析
【分析】
本题给出的是斜三角形，无法直接求解边长，因此考虑通过作高构造直角三角形，将斜三角形转化为两个直角三角形求解：首先过点A作BC边上的高AD，先在Rt△ADC中，利用已知的cosC和AC的长度求出CD，再通过勾股定理求出AD的长度，最后在Rt△ABD中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在Rt△ADC中，已知$\cos C=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，$AC=2$，
∴ $CD=AC· \cos C=2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$，
由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{2^2-(\frac{6}{5})^2}=\sqrt{4-\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}$。
在Rt△ABD中，$∠ B=30°$，$∠ ADB=90°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2AD=2×\frac{8}{5}=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是解斜三角形的常规题型，核心解题思路是作高构造直角三角形，将未知问题转化为已学的直角三角形相关问题求解，需熟练掌握直角三角形的各类性质和锐角三角函数的应用。
【难度系数】
0.6
本题给出的是斜三角形，无法直接求解边长，因此考虑通过作高构造直角三角形，将斜三角形转化为两个直角三角形求解：首先过点A作BC边上的高AD，先在Rt△ADC中，利用已知的cosC和AC的长度求出CD，再通过勾股定理求出AD的长度，最后在Rt△ABD中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在Rt△ADC中，已知$\cos C=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{5}$，$AC=2$，
∴ $CD=AC· \cos C=2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$，
由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{2^2-(\frac{6}{5})^2}=\sqrt{4-\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}$。
在Rt△ABD中，$∠ B=30°$，$∠ ADB=90°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2AD=2×\frac{8}{5}=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是解斜三角形的常规题型，核心解题思路是作高构造直角三角形，将未知问题转化为已学的直角三角形相关问题求解，需熟练掌握直角三角形的各类性质和锐角三角函数的应用。
【难度系数】
0.6
变式训练
特殊角→一般角
[2026·阜阳临泉模拟]如图,在△ABC中,AB=$\sqrt{10}$,BC=4,cos B=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,则AC边的长度为
（
A.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
特殊角→一般角
[2026·阜阳临泉模拟]如图,在△ABC中,AB=$\sqrt{10}$,BC=4,cos B=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,则AC边的长度为
（
B
）A.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
【变式训练】B
解析
【分析】
要求AC的长度，已知△ABC中AB、BC的长度和∠B的余弦值，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解：首先过点A作BC边上的高，构造直角三角形，先在含∠B的直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出直角边BD的长度，再用勾股定理求出另一条直角边AD的长度，进而求出DC的长度，最后在另一个直角三角形中用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，垂足为D。
在Rt△ABD中，$\cos B = \frac{BD}{AB}$，
已知$AB=\sqrt{10}$，$\cos B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴ $BD = AB · \cos B = \sqrt{10} × \frac{3\sqrt{10}}{10} = 3$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{10-9}=1$，
∵ $BC=4$，
∴ $DC = BC - BD = 4 - 3 =1$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{1^2 +1^2} = \sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数和勾股定理计算边长，属于基础题型，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求AC的长度，已知△ABC中AB、BC的长度和∠B的余弦值，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解：首先过点A作BC边上的高，构造直角三角形，先在含∠B的直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出直角边BD的长度，再用勾股定理求出另一条直角边AD的长度，进而求出DC的长度，最后在另一个直角三角形中用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，垂足为D。
在Rt△ABD中，$\cos B = \frac{BD}{AB}$，
已知$AB=\sqrt{10}$，$\cos B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴ $BD = AB · \cos B = \sqrt{10} × \frac{3\sqrt{10}}{10} = 3$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = \sqrt{10-9}=1$，
∵ $BC=4$，
∴ $DC = BC - BD = 4 - 3 =1$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{1^2 +1^2} = \sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数和勾股定理计算边长，属于基础题型，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$△ ABC$ 的底边 $BC$ 上的高为 $h_1$，$△ PQR$ 的底边 $QR$ 上的高为 $h_2$，则 $h_1$ 
=
$h_2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
7.=
解析
【分析】
要比较h₁和h₂的大小，可分别用三角函数表示出两个高的长度再对比。首先△ABC是锐角三角形，底边BC上的高h₁在三角形内部，可在包含高、边AC、∠C的直角三角形中，利用正弦定义写出h₁的表达式；△PQR是钝角三角形，底边QR上的高h₂在三角形外部，先求出∠PRQ的邻补角度数，再在包含高、边PR、邻补角的直角三角形中写出h₂的表达式，最后对比两个表达式即可得到大小关系。
【解析】
1. 求h₁的表达式：
过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h₁。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=5，∠C=55°，
根据正弦的定义：$\sin C=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{AC}$，
因此$h_1=AD=AC·\sin55°=5\sin55°$。
2. 求h₂的表达式：
过点P作PE⊥QR，交QR的延长线于点E，则PE=h₂。
∠PRE是∠PRQ的邻补角，因此$∠ PRE=180°-∠ PRQ=180°-125°=55°$。
在Rt△PRE中，∠PER=90°，PR=5，
根据正弦的定义：$\sin∠ PRE=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PE}{PR}$，
因此$h_2=PE=PR·\sin55°=5\sin55°$。
3. 比较大小：
因为$h_1=5\sin55°$，$h_2=5\sin55°$，所以$h_1=h_2$。
【答案】
=
【知识点】
正弦的定义，解直角三角形，邻补角的性质
【点评】
本题解题核心是正确作出两个三角形的高，将未知的高转化为直角三角形的边进行计算，注意钝角三角形夹钝角的边上的高在三角形外部，需要借助邻补角构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
要比较h₁和h₂的大小，可分别用三角函数表示出两个高的长度再对比。首先△ABC是锐角三角形，底边BC上的高h₁在三角形内部，可在包含高、边AC、∠C的直角三角形中，利用正弦定义写出h₁的表达式；△PQR是钝角三角形，底边QR上的高h₂在三角形外部，先求出∠PRQ的邻补角度数，再在包含高、边PR、邻补角的直角三角形中写出h₂的表达式，最后对比两个表达式即可得到大小关系。
【解析】
1. 求h₁的表达式：
过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h₁。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=5，∠C=55°，
根据正弦的定义：$\sin C=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AD}{AC}$，
因此$h_1=AD=AC·\sin55°=5\sin55°$。
2. 求h₂的表达式：
过点P作PE⊥QR，交QR的延长线于点E，则PE=h₂。
∠PRE是∠PRQ的邻补角，因此$∠ PRE=180°-∠ PRQ=180°-125°=55°$。
在Rt△PRE中，∠PER=90°，PR=5，
根据正弦的定义：$\sin∠ PRE=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PE}{PR}$，
因此$h_2=PE=PR·\sin55°=5\sin55°$。
3. 比较大小：
因为$h_1=5\sin55°$，$h_2=5\sin55°$，所以$h_1=h_2$。
【答案】
=
【知识点】
正弦的定义，解直角三角形，邻补角的性质
【点评】
本题解题核心是正确作出两个三角形的高，将未知的高转化为直角三角形的边进行计算，注意钝角三角形夹钝角的边上的高在三角形外部，需要借助邻补角构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.7
8.[分类讨论思想]若等腰三角形的两条边长为4和6，则其底角的正弦值为 （
A.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{2}{5}$或$\frac{4}{5}$
C
）A.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{2}{5}$或$\frac{4}{5}$
答案
8.C
解析
【分析】
本题未明确等腰三角形的腰长和底边长，因此需先分类讨论两种边长情况：①腰长为4，底边长为6；②腰长为6，底边长为4。再利用等腰三角形三线合一的性质，作底边的高构造直角三角形，通过勾股定理求出高的长度，最后根据锐角三角函数中正弦的定义（对边与斜边的比值）计算底角的正弦值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时：
过顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，底边被高平分为两段，每段长为$6÷2=3$。
由勾股定理可得高的长度为：$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。
底角的正弦值为高与腰长的比值，即$\sinα=\frac{\sqrt{7}}{4}$。
2. 当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时：
同理作底边的高，底边一半的长度为$4÷2=2$。
由勾股定理可得高的长度为：$\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
底角的正弦值为$\sinβ=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
综上，底角的正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意等腰三角形未明确腰、底时，要先分情况讨论，同时要验证每种情况的三边是否满足三角形三边关系，再结合解直角三角形的相关知识计算即可，易错点是遗漏其中一种情况导致错选。
【难度系数】
0.7
本题未明确等腰三角形的腰长和底边长，因此需先分类讨论两种边长情况：①腰长为4，底边长为6；②腰长为6，底边长为4。再利用等腰三角形三线合一的性质，作底边的高构造直角三角形，通过勾股定理求出高的长度，最后根据锐角三角函数中正弦的定义（对边与斜边的比值）计算底角的正弦值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时：
过顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，底边被高平分为两段，每段长为$6÷2=3$。
由勾股定理可得高的长度为：$\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。
底角的正弦值为高与腰长的比值，即$\sinα=\frac{\sqrt{7}}{4}$。
2. 当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时：
同理作底边的高，底边一半的长度为$4÷2=2$。
由勾股定理可得高的长度为：$\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
底角的正弦值为$\sinβ=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
综上，底角的正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意等腰三角形未明确腰、底时，要先分情况讨论，同时要验证每种情况的三边是否满足三角形三边关系，再结合解直角三角形的相关知识计算即可，易错点是遗漏其中一种情况导致错选。
【难度系数】
0.7
